计数原理、概率(答案)

计数原理、概率

一、选择题:

1.(x+1)6的展开式中x3的系数为

A.1

B.6

C.15

D.20

解析:展开式中x3的系数为=20.

答案:D

2.为了测量椭圆+y2=1的面积,现向圆x2+y2=4内随机扔1000粒豆子,其中有500粒豆子落在椭圆内,则椭圆的面积大约为

A.π

B.2π

C.3π D .

解析:设椭圆、圆的面积分别为S、S',则有

=,即=,∴S=2π.

答案:B

3.某办公室为保障财物安全,需在春节放假的七天内每天安排一人值班.已知该办公室共有四个人,每人需值班一天或两天,则不同的值班安排种数为

A.360

B.630

C.2520

D.15120

解析:有一人值班一天,其余三人各值班两天,

则不同的值班安排共有=2520种.

答案:C

4.某学校数学竞赛小组由7人组成,其中有3名女生,现从该小组中任选3人参加省级数学竞赛,则

表示

A.恰有1名女生被抽到的概率

B.至少有1名女生被抽到的概率

C.至多有1名女生被抽到的概率

D.至多有2名女生被抽到的概率

解析:1名女生也抽不到的概率为,抽到1名女生的概率为,所以表示至多有1名女生被抽到的概率.

答案:C

5.在(1+x)3(1-x)2的展开式中,含x4的项的系数是

A.1

B.5

C.-1

D.-5

解析:(1+x)3的展开式中x2的系数为=3,x3

的系数为=1,(1-x)2的展开式中x2

的系数为=1,x的系数为-=-2,所以含x4

的项的系数是1×3-2×1=1.

答案:A

6.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={7,8},现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,可以组成含有两个元素的集合的个数为

A.24

B.25

C.26

D.27

解析:若抽取的两个集合为A和B,则得到的集合个数为=12;若抽取的两个集合为A和C,则得到的集合数为=8;

若抽取的两个集合为B和C,则得到的集合的个数为5.

故总个数为12+8+5=25.

答案:B

7.某电视台打算在直播世界杯足球赛时连续插播五个广告,其中有三个不同的商业广告和两个不同的世界杯宣传广告,要求最后播放的是世界杯宣传广告,且两个世界杯宣传广告不能连播,则不同的播放方式有

A.18种

B.120种

C.48种

D.36种

解析:最后播放的是世界杯宣传广告,

有种,第四个播放的是商业广告,

有种,剩余三个广告排在前三个,

有种,

共有=36种不同的播放方式.

答案:D

8.现将周长为24 cm的圆改为矩形(周长不变),则该矩形面积大于32 cm2的概率为

A .

B .

C .

D .

解析:设矩形的一边长为x cm,则另一边长为(12-x) cm,从而有0

由矩形的面积S=x(12-x)>32,解得4

故该矩形面积大于32 cm2的概率P==.

答案:B

9.甲、乙、丙三名学生和两名老师站成一排合影,其中学生甲必须站在学生乙的右边(可以不相邻),这样的排列种数为

A.12

B.20

C.40

D.60

解析:先排另外三人,有种,再排甲、乙.当甲、乙相邻时,有种;当甲、乙不相邻时,有种.所以共有(+)=60种.

答案:D

10.设(1+x)n=a0+a1x+…+a n x n,若展开式中系数最大的项的系数是70,则a1+a2+…+a n等于

A.255

B.256

C.127

D.128

解析:当n为偶数时,展开式中系数最大的项的系数是;当n为奇数时,展开式中系数最大的项的系数是=.

而

和都随n的增大而增大,结合n=7时

,

==35,n=8时

,

==70,n=9时

,

==126,可得n=8.又

a0=1,∴a1+a2+…+a n=28-1=255.

答案:A

11.在一次表演比赛中,主办方对舞台作了如下设计:舞台为圆形,把舞台的周围分成了6个区域,每个区域需要有1位裁判,如图所示.组委会从4个不同的地区抽取了6位裁判,其中有3位裁判来自同一个地区,其他3位裁判分别来自另外3个地区.若把这6位裁判随意安排在这6个区域,每个区域1个,则来自同一个地区的3位裁判互不相邻的概率为

A .

B .

C .

D .

解析:把这6位裁判随意安排在这6个区域,每个区域1个,

共有

种不同的安排方法,而来自同一个地区的3位裁判互不

相邻的排法有

种,故所求概率为P==

.

答案:A

12.一个箱子中装有9张卡片,分别标有数字1,2,3,…,9,现在有放回地依次抽取3张,然后按抽取的先后顺序依次构成一个三位数,则这个三位数中恰有两个数字重复的概率为

A .

B .

C .

D .

解析:有放回地依次抽取3张卡片,它们构成三位数的所有可能为93

=729个,其中三个数字都不重复的有

=504个,三个

数字都相同的有9个,所以这个三位数中恰有两个数字重复的有729-504-9=216个,故所求概率为

=

.

答案:C

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.(x 3-)4展开式的常数项为 .

解析:展开式的通项为T r+1=(x 3)4-r

(

-)r

=(-1)

r

x

12-4r

,令12-4r=0,得r=3,故常数项为(-1)

3

=-4.

答案:-4

14.春节时,王师傅购买了四种海鲜,打算放到冰箱的三个储鲜箱(每个储鲜箱至少放一种海鲜),但有两种海鲜相克(放在一起会加快食品的腐败),故不能放在一个储鲜箱,则不同的放法有 种.

解析:四种海鲜要有两种放到一个储鲜箱,其余两种海鲜各放一个储鲜箱,

共有

种放法,而相克的海鲜放在一个储鲜

箱,有种放法,故符合条件的放法有-

=36-6=30种.

答案:30

15.在区间[-2,2]内任取一个元素x 0,使抛物线y=x 2在x=x 0处的切线的倾斜角α满足α∈[0,]∪[,π)的概率

为 .

解析:当α∈[0,]∪[

,π)时,斜率k 满足-1≤k ≤1,

又y'=(x 2

)'=2x ,所以-1≤2x 0≤1,

-≤x 0≤,故所求概率P==.

答案:

16.若(2-3x )2014=a 0+a 1x+…+a 2014x 2014(x ∈R ),则++…+= .

解析:令

x=,得0=a 0+

++…+

,

令x=0,得a 0=2

2014

,

从而有++…+=-2

2014

.

答案:-2

2014

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(本小题满分10分)

现有6本不同的书,按下列要求分给甲、乙、丙三位同学,各有多少种不同的分配方法? (1)甲、乙、丙各两本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人一本,一人两本,一人三本; (3)甲、乙、丙三人中,一人四本,另两人各一本.

解析:(1)可分步进行,先分给甲两本,再分给乙两本,最后分给丙两本,共有

=90种不同分法.

3分

(2)先把6本书分成三份,一份一本,一份两本,一份三本,再把这三份分别分给甲、乙、丙三人,共有=360种不同

分法. 7分

(3)先从6本书中选4本分给其中一个人,再把另两本分给另外两个人,共有

=90种不同分法. 10分

18.(本小题满分12分)

在一次交通事故后,有10名献血志愿者的血型如下: