人教版最新高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案

高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案)

三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．

题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．

例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ）

A ．1-

B

C ．1

2

-

D ．

1

2

+分析：三角形的最小内角是不大于3

π的，而()2

sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．

解析：由

03

x π

<≤

，令

sin cos ),4

t x x x π

=+=+而

7

4

4

12

x π

π

π<+

≤

，得1t <≤． 又2

12sin cos t x x =+，得21

sin cos 2

t x x -=，

得22

11(1)122

t y t t -=+

=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ．

点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．

解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛

⎫=++=

++ ⎪⎝

⎭，

当4

x π

=

时，max 1

2

y =

，选D 。

例2．已知函数2

()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126

f f π

==．

（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．

分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．

解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．

（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，

3

()126

22

f b π

=+= ，

所以4b =，a =

（2）()24cos 248sin(2)46

f x x x x π

=++=+

+，

故当226

2

x k π

π

π+

=+

即()6

x k k Z π

π=+

∈时，函数()f x 取得最大值为

12．

点评：结论()sin cos a b θθθϕ+=

+是三角函数中的一个重要

公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的

证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．

题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．

例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭

的图象，只需将函数sin 2y x =的图象

A ．向左平移5π

12个长度单位 B ．向右平移

5π

12个长度单位 C ．向左平移5π

6

个长度单位

D ．向右平移5π

6

个长度单位

分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：

函

数

π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=+=++=+

=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎝

⎭，故要将

函数sin 2y x =的图象向左平移

5π

12

个长度单位，选择答案A ．

例 4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间

3(,)22

ππ

内的图象是 分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断． 解析：函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨

≥⎩

当时

当时．结

合选择支和一些特殊点，选择答案D ．

点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．

题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．

例 5 （2008高考山东卷理5）已

知πcos sin 6αα⎛⎫-

+= ⎪⎝

⎭，则7πsin 6α⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值是

A

．B

C ．45

-

D ．

45

分析：所求的7πsin sin()66

π

αα⎛⎫+=+ ⎪⎝

⎭，将已知条件分拆整合后解决． 解析： C

．

A

B

C

D

-