勾股定理公开课

B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
等腰直角三角形三边有什么关 系？
两直角边的平方和等于斜边的平方
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？ 探究：你会求出下列图形的面积吗？
C A
C A
B B
图1—1
图1—2
图1-1 图1-2
A、B、C面积关系
A的面积 （单位面积）
9
B的面积 （单位面积）
一
(2)
(2)
c
c
(3)
(a-b)2 = C2－4×12 ab
a2+b2－2ab = c2－2ab
可得：a2 + b2 = c2
(4)
赵爽弦图
赵爽指出：按 弦图，又可以勾股 相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾
aB
c
a 朱实
b c
C
b
A
朱实
股之差自相乘为中
朱实
黄实。加差实，亦
成弦实。
朱实
1 C2=2 ×(2× 2
同学们，在我们美丽的地球王国
上，原始森林，参天古树带给我们神 秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给 我们以美的享受。你知道吗？在古老 的数学王国，有一种树木它很奇妙， 生长速度大的惊人，它是什么呢？下 面让我们带着这个疑问一同到数学王 国去欣赏吧！
勾股树
活动2、 探索勾股定理
数学家毕达哥拉斯的故事
A
ab）+
(a-b)2
= a2+b2
“赵爽弦图’表现了 我国古代人对数学的钻研 精神和聪明才智，它是我 国古代数学的骄傲，因此， 这个图案被选为2002年在 北京召开的国际数学家大 会的会徽。取材于我国古 代数学著作《勾股圆方图》
在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现 的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理。
4、等腰直角△ABC中,斜边长为2,则直角边长为
5、在直角三角形中,如果有两边为3,4,那么另 一边为___5_或_____
二 选择题：
⑴如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ㎝ ，那么直角三角形的其它两边长是（ A ）
A 1，3 B 1 ，3 C 1，5 D 1 ,5
⑵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,
A
∠B=45°,AC=1,则AB=( C )
A2
B1
C2 D 3 C
B
⑶一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5㎝，
那么它的宽是（ B ）A 2 5 ㎝ B 5 ㎝ C 5 ㎝ D 5㎝
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则 A ａ2 +b2 =c2
常用的勾股数：3，4，5； 6，8，10；
5，12，13；
C
B
7，24，25。
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 “勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”， 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
ab 16 8 2 5 12 3 9 12
c c 2 a2 b2
10 100 100 13 169 169 15 225 225
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角
分别为a，b， 斜边c）；你能用这四个直角三角形拼成一个正方
吗？拼一拼试试看
b
C
(1)
a
c
c
证
法
(a-b)2 (3)
一 填空题：
1、在RT△ABC中∠C=90°, ⑴若a=4,b=3,则c=___5_ ⑵若c=13,b=5,则a=__1_2_ ⑶ 若 c=17,a=8,则b=_1_5__
2、 在Rt△ABC∠C=90°,BC:AC=3:4,AB=10,则 AC= 8 ,BC= 6
3、等边三角形的边长为12，则它的高为______
弦 勾
勾股
股
勾股定理的各种表达式：
在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C 的对边分别为a 、b 、c ,则:
c22=a22+b22 a2=c2-b2 b2=c2-a2
c= a2 b2 a= c2 b2 b= c2 a2
数学史话
商高
《周髀算经》
毕达哥拉斯 《勾股圆方图》
★ 公元前11世纪，周公与商高的对话（记录于公元前1世纪《周髀算经》） 中提出“勾三、股四、弦五”。——勾股定理、商高定理
证 法a 二
b
b
a
b
c c
(a+b)2 =c2 4 1 ab
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
c
a 可得: a2 + b2 = c2
a
b
大正方形的面积该怎样表示?
证 法 3： 毕达哥拉斯证法
a2
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2
证 法 4： 加菲尔德的“总统”证法
∟
∟
b ac
16
16
36
sA+sB=sC
C的面积 （单位面积）
25 52
Aa
C c b B
SA=a2 SB=b2 SC=c2
c2=a2+b2
命题1 如果直角三角形的两条
直角边长分别为a,b，斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
即 ：直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方．
弦
c
勾a
b股
在准备好的方格纸上，分别画三个顶点 都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9 和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角 形的斜边长,然后验证你的猜想！
★ 《周髀算经》中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次 提到勾股定理。——陈子定理 ★ 公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派发现勾股定理，命名 为“毕达哥拉斯定理” （百牛定理），而且给出了证明。
★ 古巴比仑人在公元前19世纪也发现此定理。
★ 定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密 斯搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法。
c b
a
1 2
(a
+
b)(b
+
a)
=
1 2ห้องสมุดไป่ตู้
c2 + 2(
1 2
ab )
1 a2
2
+
ab
+
1 2
b2
=
1 2
c2
+ ab
a2 + b2 = c2
你还想知道勾股定理的其它证法吗？ 请上网查询，你一定会有精彩的发现。若你 再能写一点有关勾股定理的小文章，那就更漂亮 了。
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做 定理。
17.1勾股定理（1）
勾股定理 外星人
勾股定理有着悠久的 历史，几乎所有具有古代 文化的民族和国家都对勾 股定理有所了解，它来源 于人们生产实践之中，对 人类发展起着十分重要的 作用。
我国著名数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股 定理的图形到宇宙中，如果宇宙有人的话，他们一定 会认识这种语言的。这条建议得到许多科学家的赞同。