7.8常系数非齐次线性微分方程

对应齐次方程通解 Y C1e x C2e 2 x ,
于是 y x ( x 1)e 2 1 x 2x 2x 原方程通解为 y C1e C 2e x ( x 1)e .
1 A 2 , 代入方程, 得 2 Ax B 2 A x B 1 1 2x
(1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x ) 为两个 m 次待定多项式，
0 , i 不是特征根 , k 1 , i 是特征根.
上述结论也可推广到 n 阶方程的情形，
例1 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 特征方程为 r 2 1 0 , 特征根为 r i , 对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C2 sin x , 方法一： f ( x ) e x [ Pl cos x Pn sinx ]
m max{ l , n} ,
e 2
ix Pnຫໍສະໝຸດ eixe 2i
ix
]
f1 ( x ) f2 ( x )
y py qy f ( x )
其中： f ( x ) e x [ Pl cos x Pn sin x ] f1 ( x ) f2 ( x )
代入 (2) 式得
y 2 y 2e 2 x 2 y 4 y ,
2 x y 4 y 4 y 2e .
所求方程为
解法2
因题设, 由解的结构知所求方程为二阶 对应齐次线性方程
常系数非齐次线性微分方程,
有两个特解 e 2 x , xe 2 x , 故有二重特征根
f1 ( x ) Pm ( x )e
( i ) x
, f2 ( x ) Pm ( x )e
( i ) x
,
Pl Pn Pl Pn f ( x ) f ( x ) , 2 Pm ( x ) , Pm ( x ) , 1 2 2i 2 2i * y1 x k Qm e ( i ) x , (1) y py qy f1 ( x )
例3
求以 y 2(C1 C 2 x x 2 )e 2 x
(其中 C1 , C2 为任意常数) 为通解的微分方程. 解法1 y 2 y (C 2 2 x )e 2 x , (1)
2 x 2 x 2 y 2 e 2 ( C 2 x ) e . (2) y 2 由式(1) 知 (C 2 2 x )e 2 x y 2 y ,
Pl Pn Pl Pn f ( x ) f ( x ) , 2 Pm ( x ) , Pm ( x ) , 1 2 2i 2 2i
故原方程的一个特解为
y* x k e x (Qm e ix Qm e ix ) x k e x [Qm (cos x i sin x ) Qm (cos x i sin x )]
故可设 y* x 2 Ae 3 x ,
代入方程, 化简得
1 , 2 A 1, A 0 ,, 不是特征根 2 k x y* x e Qm ( x ) , k 1 , 是单特征根 , 1 2 3x 于是 y* x e 2, 是重特征根 . 2 1 2 3x 3x 原方程通解为 y (C1 C 2 x )e x e . 2
2
2 是单根，设 y x( Ax B)e ,
2x
3x 求方程 y 6 y 9 y e 的通解. 例2
2 解 特征方程 r 6r 9 0, 特征根：r1 r2 3，
对应齐次方程通解 Y (C1 C 2 x )e 3 x ,
3 是重根，Pm ( x ) 1，
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 y Y y , 常见类型 Pm ( x ),
x
x
Pm ( x )e , Pm ( x )e sin x ,
方法：待定系数法.
x
Pm ( x )e cos x ,
难点：如何求特解？
设非齐方程特解为 y Q( x )e x 代入原方程
(1) ( 2) x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ] (1) ( 2) 其中 Rm ( x ), Rm ( x ) 为两个 m 次待定多项式，
m max{ l , n} ,
二、 f ( x ) e x [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx] 型
y py qy f ( x )
其中： f ( x ) e x [ Pl cos x Pn sin x ] f1 ( x ) f2 ( x )
f1 ( x ) Pm ( x )e
( i ) x
( i ) x f ( x ) P ( x ) e , , 2 m
y py qy f ( x )
其中： f ( x ) e x [ Pl cos x Pn sin x ]
Pl 和 Pn 分别是 l 和 n 次多项式， 是常数。
综上讨论，方程的特解总可设为
(1) ( 2) y* x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ]
y y 4e ix ,
sin x 是 e i x 的虚部 , Pm ( x ) 4, i
i 是单根, 故 y* Axe ix ,
代入辅助方程并化简 2 Ai 4, A 2i ,
y* x e Qm ( x ) , ky 12 , x 是单特征根 , cos x , （取虚部） 所以原方程的一特解为 2, 是重特征根 .. 原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x )
2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0,
可设 Q( x ) Qm ( x ),
y Qm ( x )e ;
x
( 2) 若是特征方程的单根，
2i 不是特征方程的根 ,
设 y* ( Ax B)e 2ix ,
代入辅助方程
1 4 4 Ai 3 B 0 A ，B i , 3 9 3 A 1 1 4 2 ix * y ( x i )e , 3 9
1 4 ( x i )(cos 2 x i sin 2 x ) 3 9 1 4 4 1 x cos 2 x sin 2 x ( cos 2 x x sin 2 x )i , 3 9 9 3
k x
0 不是特征根 , 2 x, cos x )i, y* 2ixe ix 2 x sin x (
例2 求方程 y y x cos 2 x 的通解. 解
对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x ,
作辅助方程 y y xe2ix ,
0x
原方程通解为： y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x .
例1 求方程 y y 4 sin x 的通解. 解 特征方程为 r 2 1 0 , 特征根为 r i , 对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C2 sin x , 方法二、作辅助方程
m max{ 0, 0} 0 ,
Pl 0, Pn 4,
0, 1, i i , 是特征根，
(1) ( 2) y* x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ]
y* xe ( A cosx B sin x ) x ( A cos x B sin x ) 代入原方程化简为：2 B cos x 2 A sin x 4 sin x B 0 , A 2, 所求特解为 y* 2 x cos x ,
7.7 二阶常系数非齐次 线性微分方程
x f ( x ) e Pm ( x ) 一、
型
二、 f ( x ) e x [ Pl ( x ) cosx Pn ( x ) sinx] 型
x f ( x ) e Pm ( x ) 型 一、
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
1 4 所求非齐方程特解为 y x cos 2 x sin 2 x , 3 9
（取实部）
1 4 原方程通解为 y C1 cos x C 2 sin x x cos 2 x sin 2 x . 3 9
注意 Ae x cos x , Ae x sin x
分别是 Ae( i ) x 的实部和虚部 .
例3
求以 y 2(C1 C 2 x x 2 )e 2 x
(其中 C1 , C2 为任意常数) 为通解的微分方程. 解法2 因题设, 由解的结构知所求方程为二阶 常系数非齐次线性微分方程, 对应齐次线性方程
2
有两个特解 e 2 x , xe 2 x , 故有二重特征根
r1 r2 2, 于是特征方程为 ( r 2) 0, 即 2 r 4r 4 0, y 4 y 4 y 0, 对应齐次线性方程为 y 4 y 4 y f ( x ), 令该方程为 因 x 2e 2 x 为其解, 故 f ( x ) ( x 2e 2 x ) 4( x 2e 2 x ) 4 x 2e 2 x 2e 2 x ,
f ( x ) e x [ Pl cos x Pn sin x ]
e [ Pl
x
利用欧拉公式
e
ix
Pl Pn ( i ) x Pl Pn ( i ) x ( )e ( )e 2 2i 2 2i