初等矩阵变换

1 2 r12r2 1 0 E 0 1 0 1
1 r2 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
即
1 0 1 2 1 0 A=E 1 0 1 0 3 1 2
1
1 0 A 3 1
(P1P2P3)-1=P3-1P2-1P1-1
1 0 0 0 0 1/ k 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 c
0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
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因为初等矩阵的逆仍是初等矩阵，所以上式表明可逆 矩阵可以表示成一些初等矩阵的乘积。
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1 2 例2 将矩阵A表示成初等矩阵的乘积，其中 A 3 4 1 2 r23r1 1 2 【解】 A 3 4 0 2
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一、初等矩阵及其性质 定义1 由单位矩阵经一次初等行(列)变换得到的矩 阵称为初等矩阵。 例如
1 0 0 1 0 0 r2 kr3 0 1 0 0 1 k , 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
§3.5 初 等 矩 阵
教学纲目 一、初等矩阵及其性质 二、矩阵的等价(相抵) 三、初等变换法求逆矩阵 四、初等变换法求解矩阵方程
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教学要求 1、理解和掌握初等矩阵及其性质。 2、理解和掌握矩阵的等价关系。 3、理解和掌握初等变换法求逆矩阵。 4、理解和掌握初等变换法求解矩阵方程。
【注】初等矩阵E(j, i(k))右乘一个矩阵A，就相当于把A 的第j列的k倍加到第i列上。 对于另两种初等矩阵也有类似的结论。
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定理1 用初等矩阵左(右)乘一个矩阵A，就相当于对 A作了一次相应的初等行(列)变换。
【注】E(j, i(k))既表示把单位矩阵E的第i行k倍加到第j行 上，也表示把单位矩阵E的第j列k倍加到第i列上而得的 初等矩阵。
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0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
【解】依定理1，
0 0 P1P2P3= 1 0
0 0 1 c
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 c 1
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
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0 0 0 0 0 1/ k 0 1 0 1 0 0
定理2 矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示成一 些初等矩阵之积。 【证】充分性。设A可以表示成初等矩阵的乘积，因为 初等矩阵可逆，所以A也可逆。 必要性。设A可逆，则A经初等行变换化成的简化行 阶梯形矩阵一定是单位矩阵E，所以有初等矩阵 P1, …, Pt，使得 Pt…P1A=E， 因此A=(Pt…P1)-1=P1-1…Pt-1。
0 k 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 k 1 1 0 0 0 1 c 0 0 1
0 1 0 k 0 0 0 0 0 0 0 1
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将其写成分块矩阵的形式，
E2 O O O
将矩阵经初等行(列)变换化为简单形式，将使研究简化。
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定义2 数域F上的矩阵A如果经过一系列初等行变换和 初等列变换变成矩阵B，则称A与B等价(或称相抵)， 记作 AB。
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容易看出，等价是数域F上所有mn矩阵组成的集合 Mmn(F)上的一个二元关系，它满足： 10 AA(反身性)； 20 ABBA(对称性)； 30 AB且BCAC(传递性)。 (其中A, B, CMmn(F))
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由定理1，要想将E(i, j)变成单位矩阵，只需 E(i, j)E(i, j)=E， 因此 E(i, j)-1= E(i, j)。 要想将E(i(k))变成单位矩阵，只需 E(i(1/k))E(i(k))=E， 因此 E(i(k))-1= E(i(1/k))。 要想将E(i, j(k))变成单位矩阵，只需 E(i, j(-k))E(i, j(k))=E， 因此 E(i, j(k))-1=E(i, j(-k))。
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设A是一个ns矩阵，它的行向量组为 1, 2, …, n, 列向量组为1, 2, …, s，则
1 1 1 i i 第i 行 1 E ( j , i (k )) A , j k i j 第j 行 k 1 1 n n
即PA相当于对矩阵A作了一系列初等行变换，由于初 等行变换不改变矩阵的秩，因此 rank(PA)=rank(A)。
【注】若Q是可逆矩阵，则rank(AQ)=rank(A)。
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若P, Q 均为可逆矩阵，则秩 r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ) 【证】由题设， P, Q 均为可逆矩阵，依定理2， P=P1P2…Pt，Q=Q1Q2…Qs， 又因为初等行、列变换不改变矩阵的秩，所以 r(PA)=r(P1P2…PtA)=r(A)， r(AQ)=r(AQ1Q2…Qs)=r(A)， r(PAQ)=r(P1P2…PtAQ1Q2…Qs)=r(A)。 【注】P136习题三50题。
初等矩阵的性质： 10初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵： E(j, i(k))T=E(i, j(k)), E(i, j)T=E(i, j)，E(i(k))T=E(i(k))。 20初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同种初等矩阵。 E(j, i(k))-1=E(j, i(-k)), E(i, j)-1=E(i, j), E(i(k))-1=E(i(1/k))。
1 0 AE (2,3(k )) 1 , 2 , 3 , 4 0 0 0 0 0 1 k 0 = 1 , 2 , k 2 +3 , 4 , 0 1 0 0 0 1
【注】初等矩阵E(2,3(k))左(右)乘一个矩阵A，就相当于 把A第3行k倍加到第2行上(A第2列k倍加到第3列上)。
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1 0 1 0 2
1
1 2 1 0 1 0 1 2 3 1 0 2 0 1 。 0 1
1
命题3 用一个可逆矩阵左(右)乘矩阵A，不改变A的秩。 【证】设P是可逆矩阵，依定理2，有初等矩阵P1, …, Pt, 使得 从而 P=P1P2…Pt, PA=P1P2…PtA，
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事实上，数域F上mn矩阵A与B等价 A经过初等变换变成矩阵B 存在F上m阶初等矩阵P1, P2, …,Pt与n阶初等矩阵 Q1, Q2, …,Qm，使得 Pt…P2P1AQ1Q2…Qm=B， 存在F上m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=B， 其中P=Pt…P2P1, Q=Q1Q2…Qm。
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关于矩阵秩的相关结论：其中设A为mn矩阵， 10. rank(A)min{m, n}; 20. rank(A)=rank(AT); 30 . rank(AB)rank(A)+rank(B); 40 . rank(AB)min{rank(A), rank(B)}, B为ns矩阵； 50 . rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A); 60 . 若AB=O，则rank(A)+rank(B)n, B为ns矩阵; 70 .rank(PA)=rank(AQ)=rank(PAQ), P, Q为可逆矩阵; n, rank(A) n, 0 8 . 设A为n阶方阵，则秩 rank(A ) 1, rank(A) n 1, 0, rank(A) n-1. A*为A伴随矩阵。
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例如 要互换矩阵A的第2, 3列，相当于 AE(2, 3) 矩阵A的第2行乘以非零数3，相当于 E(2(3))A 矩阵A的第2行的5倍加到第3行，相当于 E(3, 2(5))A 矩阵A的第2列的5倍加到第3列，相当于 AE(2, 3(5))
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0 1 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 c 0 0 0 1
0 0 0 1 0 1/ k 0 0 0 0 1 0 c 0 0 1
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例1 设初等矩阵
0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 P1 , P2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 c 1 0 0 0 0 k 0 0 P3 (k 0) 0 0 1 0 0 0 0 1 求 P1P2P3及(P1P2P3)-1。
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0 0 1 0 0 kr2 0 k 0 , (k 0) 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 r1r3 1 0 0 1 0 . 1 0 0 0 1
上述箭头右侧的矩阵称为初等矩阵，它们依次记作 E(2, 3(k)), E(2(k)), E(1, 3),
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设A是一个34矩阵，它的行向量组为 1, 2, 3，它的 列向量组为1, 2, 3, 4，
1 0 0 1 1 E (2,3(k )) A 0 1 k 2 2 k 3 , 0 0 1 3 3
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二、矩阵的等价(相抵) 引言 任意矩阵都可以经过初等行变换化为简化行阶梯 形矩阵J，如果再对J施以初等列变换，情形会怎样？ 请看示例。
1 3 2 1 0 1 1 0 0 A 1 2 1 0 1 1 0 1 0 , 2 4 6 0 0 0 0 0 0
【注】初等矩阵E(j, i(k))左乘一个矩阵A，就相当于把A 的第i行的k倍加到第j行上。
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第i列
第j列
1 1 AE ( j , i (k )) (1 , , i , , j , , s ) k 1 1 (1 , , i k j , , j , , s )