格林函数

第二章典型方程及其解法

第四节格林函数法

1 格林公式

在电磁学中我们学过两个定理：高斯定理和安培环路定理，数学上称为奥-高公式和司托克斯公式，它们分别把体积分化为面积分和把面积分化为线积分。物理上其意义是用矢量场的通量与环量来解释，然而，它们更为重要的数学物理思想是边界的信息决定了内部的信息。高斯定

理 (2-4.1)

安培环路定理 (2-4.2)

以上规律对所有矢量场都适用，现在我们利用两个标量函数和构造一个矢量场，最简单的方

法是取其中一个函数的梯度与另一个函数的乘积，于是我们能得到两个矢量场和

，分别对其使用高斯定理有

(2-4.3)

(2-4.4)

将体积分中的散度展开得

或 (2-4.5)

称为第一格林公式；

同理可得 (2-4.6)

两式相减得

(2-4.7)

称为第二格林公式。

利用格林公式我们依据边界面上的信息来求解拉普拉斯方程，选取积分体域为，

其中为以有点源为心，为半径的球体，即为挖去点源的无源空间。

取，，显然

对于，在域中，如果，则第二格林公式左方体积分为零，

剩下右边在两个边界面和上的积分：

在上 (2-4.8)

(2-4.9)

所以 (2-4.10)

其中，是的界面。

一般地

对于二维情况也有相应的格林公式，取二维拉普拉斯方程的解，

，，则以为心挖去半径的圆面，是该圆面的边

界围线，在域中，如果则

在上

所以 (2-4.11)

以上求解方法表明，我们借助一个满足拉普拉斯方程的点源函数，利用格林公式边界决定内

部的思想，能求解关于另一个函数的定解问题。

2 格林函数

我们定义：

定解问题

的解是狄利克雷问题

的格林函数。

用格林函数直接可表示解

(2-4.11)

由此看来，格林函数法就是把在域中求解的问题，转变成在域中求解格林函数

的问题。

一般域的格林函数不容易求解，利用镜像法可求半空间域和球体域的格林函数。

（1）半空间域的格林函数

静电学中，一点电荷放在无限大真空中，该真空置入无限大平面边界的半空间金属导体（），

要求解真空中各点的电势的问题即等同于求半空间域的格林函数。设导体表面（）及整体

电势为零，对应，点电荷的位置为，于是由镜像法得

(2-4.12)

（2）球体域的格林函数

(2-4.13) 其中，

（3）二维上半平面域的格林函数

(2-4.14)

（4）二维圆域的格林函数

(2-4.15)

3 应用举例

例 1 圆域上格林函数的直接应用在半径为的圆外，距圆心处有一电量为的点电荷，求电场的分布。解：可归结为求定解问

题

得解 (2-4.16)

于是由得

， (2-4.17)

其中

下面是借助镜像法并用计算机绘制的电场线分布图

参考源程序

float EE,FF, A,B=100,I,x,y,z,a,d,t=0.12,S,r,r1,r2,dt,Ey,Ez,E,PI=3.1415926; float b,c;

static Point3f q[2],q1[2],q2[2],q3[2],O[3],w;

Orient dir;

int i,j,n;

Color4f color[200],color1;

dir.phi=90;dir.theta=0;

A=P_omega; b=V; c=X*X/b;

S=P_radius; d=(b-c)/2;

w.x=1;w.y=0;w.z=-d-c;

glt::SetLineWidth(2);

for(j=0;j

{

I=2*PI*j/int(4*A);

z=d+S*cos(I)/2;

y=S*sin(I)/2;

for(i=0;i<200;i++)

{

wiz::Assign(color[i], 0,0,0,1);

if(I!=PI)

{ r1=sqrt(y*y+(d-z)*(d-z));

r2=sqrt(y*y+(d+z)*(d+z));

r=sqrt(y*y+(z+d+c)*(z+d+c));

Ez=B*((z-d)/(r1*r1*r1)-X*(z+d)/(r2*r2*r2)/b);

Ey=B*y*(1/(r1*r1*r1)-X/(r2*r2*r2)/b);

E=sqrt(Ez*Ez+Ey*Ey);

dt=0.9/E;

q[1].x=0;

q[1].y=y;

q[1].z=z;

}

if((i>0)&&(r>X))

draw::Line(q[0],q[1],color[i]);

q[0]=q[1];

z+=Ez*dt;

y+=Ey*dt;

}

}

for(j=-int(2*A);j

{

I=2*PI*j/int(4*A);

z=d+S*cos(I)/2;

y=S*sin(I)/2;

for(i=0;i<200;i++)

{

wiz::Assign(color[i], 0,0,0,1);

if(I!=PI)

{ r1=sqrt(y*y+(d-z)*(d-z));

r2=sqrt(y*y+(d+z)*(d+z));

r=sqrt(y*y+(-z+d+c)*(-z+d+c));

Ez=B*((z-d)/(r1*r1*r1)-X*(z+d)/(r2*r2*r2)/b); Ey=B*y*(1/(r1*r1*r1)-X/(r2*r2*r2)/b);

E=sqrt(Ez*Ez+Ey*Ey);

dt=0.4/E;

q1[1].x=0; q1[1].y=y; q1[1].z=-z;

}

if((i>0)&&(j<1)&&(j>-1)&&(r>X))

draw::Line(q1[0],q1[1],color[i]);

q1[0]=q1[1];

z+=Ez*dt;

y+=Ey*dt;

}

}

glt::EnableLight();

wiz::Assign(color1,1,0.35,0.35,1);

wiz::Assign(O[1],0,0,d);

wiz::Assign(O[2],0,0,-d+X-c);

draw::Balls(1,O+1, 2*S, 32, 32, color1);

glt::DisableLight();

draw::Line(O[1],O[2],color[50]);