简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
第一单元§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课件
(2)命题“∀x∈
π
0,
2
【解析】(2)“∀x∈ 0,
,sin x<1”的否定是
π
2
“∃x∈ 0,
π
2
,sin x<1”的否定是“∃x∈ 0,
π
2
,sin x≥1”
.
,sin x≥1”.
答案
解析
题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
【例 3】(1)若命题“∃x0∈R,02 +(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范
当 y= 2(sin 2x+cos 2x)=2sin 2
π
Ʊ4=2kπ-2,
3π
即 x=kπ- 8 ,k∈Z,故 q 为假命题.所以(�p)∧q
为假命题,故选
B.
点拨： “p∨q”“p∧q”“� p”情势命题真假的判断关键是对逻辑联结词
“或”“且”“非”含义的理解,其操作步骤:①明确其构成情势;②判断其中命题p,q的
.
π
π
【解析】(1)原命题等价于 tan x≤m 在 0, 4 上恒成立,即 y=tan x 在 0, 4
π
4
上的最大值小于或等于 m,又 y=tan x 在 0, 上的最大值为 1,
所以 m≥1,即 m 的最小值为 1.
(2)已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】p和q显然都是真命题,所以 p, q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.
2.命题“∃x0≤0,使得02 ≥0”的否定是( A ).
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
5 例1、已知命题p : x R, 使得 sin x ；命题q：x R, 2 C ________ 都有x 2 x 1 0, 下列结论中正确的是 __________D A.命题" p q" 是真命题 B.命题" p q" 是真命题 C.命题" p q" 是真命题 D.命题" p q" 是真命题
“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等. 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、
r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
3、全称命题与特称命题的改写
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x)
① 是真命题的为________.①p∨q;②p∧q.
5、已知命题P :" x [0,1]，a e x，命题q :" x R， x 2 4 x a 0" 若命题p q是真命题，则实数a的 C 取值范围是 __________ __ A.( 4,) B.[1,4] C.[e,4] D.( ,1]
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x， 有p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
2、短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通 常叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有
1.如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q” 是假命题,那么( C ) A. 命题p与命题q都是假命题 B. 命题p与命题q都是真命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
栏目 导引
第一章
集合与常用逻辑用语
互动探究 1.把例1中的要求改为“写出下列各组命 题构成的(¬ p)∨(¬ q),(¬ p)∧(¬ q)形式的
复合命题,并判断真假”.
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第一章
集合与常用逻辑用语
解：(1)¬ p：有些平行四边形的对角线 不相等,真命题.
¬ q：有些平行四边形的对角线不互相垂
第一章
集合与常用逻辑用语
【思路分析】
(1)利用“或”、“且
”、“非”把两个命题联结成新命题;
(2)根据命题p和命题q的真假判断复合 命题的真假.
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第一章
集合与常用逻辑用语
【名师点评】
正确理解逻辑联结词“
或”、“且”、“非”的含义是解题的 关键,应根据组成各个复合命题的语句
中所出现的逻辑联结词,进行命题结构
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第一章
集合与常用逻辑用语
【解】
2
(1)¬ p：存在一个实数 m0,使方程
x ＋m0x－1＝0 没有实数根.因为该方程的 判别式 Δ＝m2＋4>0 恒成立,故¬p 为假命题. 0 (2)¬ p：所有的三角形的三条边不全相等. 显然¬p 为假命题.
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第一章
集合与常用逻辑用语
(3)¬ p：有的菱形的对角线不垂直. 显然¬p 为假命题. (4)¬ p：∀x∈N,x2－2x＋1>0. 显然当 x＝1 时,x2－2x＋1>0 不成立,故¬p 是假命题.
a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2 ＋2ax
＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命
题，则实数a的取值范围是________． 【思路分析】 先判断p与q的真假，再 各自求出a的范围，p且q是真命题，因 而p、q皆真，可取a的范围的交集，即
1.3简单的逻辑连接词,全称量词与存在量词
解析:命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集 是{x|1<x<2}也是真命题,∴ ①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且(������ q)”是假 命题;③命题“(������ p)或 q”是真命题;④命题“(������ p)或(������ q)”是假命题,故应选 D.
1 2 2
5 2
2
解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1= ������ +
2
5
2
+ ≥ ,可得
4 4
3
3
命题 q 为真,则命题“p 且 q”是假命题;命题“p 且(������ q)”是假命题;命题“(������ p)且 q”是真命题;命题“(������ p)或(������ q)”是真命题.
1.命题 p:x2+y2<0;q:x2+y2≥0.下列命题为假命题的是( B ). A.p 或 q C.q B.p 且 q D.������ p
1.3简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词
第三节简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词考纲分析1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.高频考点1. 含有一个量词的命题的否定；2. 真值表的利用数学思想与方法分类讨论思想的运用、逻辑推理能力的提高高考出题分值5分基础知识1．逻辑联结词（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作⌝p，读作“非p”或“p的否定”．（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断2．全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为,()x M p x∀∈，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为00,()x M p x∃∈，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．3．全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．（2）“p或q”的否定为：“非p且非q”；“p且q”的否定为：“非p或非q”．（3）含有一个量词的命题的否定题型分类题型一含有逻辑联结词的命题1.【2017届山东青岛二模】已知命题,p q ，“p ⌝为假”是“p q ∨为真”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨p ；③p ∧(¬q)；④(¬p)∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 【领悟技法】1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．“p ∨q”“p ∧q”“⌝p”形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题p 、q 的真假；（3）确定“p ∧q”“p ∨q”“⌝p”形式命题的真假．3．含逻辑联结词命题真假的等价关系（1）p ∨q 真⇔p,q 至少一个真⇔(⌝p)∧(⌝q)假.（2）p ∨q 假⇔p,q 均假⇔(⌝p)∧(⌝q)真. （3）p ∧q 真⇔p,q 均真⇔(⌝p)∨(⌝q)假. （4）p ∧q 假⇔p,q 至少一个假⇔(⌝p)∨(⌝q)真.（5）⌝p 真⇔p 假; ⌝p 假⇔p 真.4．命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断规律：p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与非p 必定是一真一假．题型二全称命题与特称命题的真假判断 1.【2017届安徽安庆二模】设命题()0:0,p x ∃∈+∞，013x x +>；命题q ：()2,x ∀∈+∞，22xx >，则下列命题为真的是（ ）A. ()p q ∧⌝B. ()p q ⌝∧C. p q ∧D. ()p q ⌝∨2.已知命题2:4,log 2p x x ∀≥≥；命题:q 在ABC ∆中，若3A π>，则sin A >．则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨ 【领悟技法】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p(x)成立； （2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p(x 0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3. 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.1.命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是（ ）（A ）所有实数的平方是负实数（B ）不存在一个实数，它的平方是负实数 （C ）存在一个实数，它的平方是负实数 （D ）不存在一个实数它的平方是非负实数 2已知命题3:2,80p x x ∀>->，那么p ⌝是（ ）A.32,80x x ∀≤-≤ B ．32,80x x ∃>-≤ C ．32,80x x ∀>-≤ D ．32,80x x ∃≤-≤ 【领悟技法】1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．4．要判断“⌝p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p 与⌝p 的真假相反． 5．常见词语的否定形式有： ≤ 一个也没有至少有两个1.【2017山东，文5】已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a<b.下列命题为真命题的是A ．p q ∧ B.p q ∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ⌝∧⌝ 模拟练习1.【2017陕西师范附属二模】若命题:p 对任意的x R ∈，都有3210x x -+<，则p ⌝为（ ）A. 不存在x R ∈，使得3210x x -+< B. 存在x R ∈，使得3210x x -+<C. 对任意的x R ∈，都有3210x x -+≥ D.存在x R ∈，使得3210x x -+≥2. 【1-2】【2017届安徽蚌埠二模】在射击训练中 ，某战士射击了两次 ，设命题p 是“ 第一次射击击中目标”，命题q 是“ 第二次射击击中目标 ”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 （ ） A. ()()p q ⌝∨⌝ 为真命题 B. ()p q ∨⌝ 为真命题 C. ()()p q ⌝∧⌝ 为真命题D. p q ∨ 为真命题3. 【1-4】已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－12，－4]∪[4，＋∞) B ．[－12，－4]∪[4，＋∞) C ．(－∞，－12)∪(－4,4) D ．[－12，＋∞)每日一练1、函数的定义域为 。
1.3逻辑联结词、全称量词与存在量词
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组第 课时1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 考纲定位 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解全称量词与存在量词的意义；能正确对含有一个量词的命题进行否定. 疑难提示 1、逻辑联结词的特性；2、命题的否定；3、区分命题的否定与否命题；4、注意全称命题与特称命题的其他不同表述方法. 【考点整合】1、简单的逻辑联结词：(1) 叫做逻辑联结词.(2)复合命题：由简单命题和 构成的命题. (3)复合命题的三种形式及其真假性：p q p q ∧ p q ∨ p ⌝ 真 真 真 假 假 真 假假2、全称量词与存在量词(1) 等短语在逻辑中通常叫全称量词，含有全称量词的命题叫做 . (2) 等短语在逻辑中通常叫存在量词，含有存在量词的命题叫做 . 3、命题的否定： 对命题的全盘否定 ；否命题：(1)命题的否定与否命题之间的区别： (2)一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至少有一个 至多有一个 任意的 否定词语(3)全称命题与特称命题的否定：全称命题:,()p x M p x ∀∈，则:p ⌝ ； 特称命题00:,()p x M p x ∃∈，则:p ⌝ .【真题演练】1、(2008 广东)已知命题p:所有的有理数都是实数，命题q:正数的对数都是负数，则下列命题是真命题的是（ ）A.()p q ⌝∨B.p q ∧C.()()p q ⌝∧⌝D.()()p q ⌝∨⌝ 2、(2010 湖南)下列命题中是假命题的是（ ） A.1,20x x R -∀∈> B.*2,(1)0x N x ∀∈-> C.,lg 1x R x ∃∈< D.,tan 2x R x ∃∈=3、(2009 天津)命题“00,20xx R ∃∈≤”的否定是（ ） A.不存在00,20x x R ∈> B.00,20x x R ∃∈≥ C.,20x x R ∀∈≤ D.,20x x R ∀∈>4、(2012 湖北)命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是（ ）A.300,R x C Q x Q ∃∉∈ B.300,R x C Q x Q ∃∈∉ C.3,R x C Q x Q ∀∉∈ D.3,R x C Q x Q ∀∈∉【经典例题】一、含有逻辑联结词的命题真假的判断 例1、判断下列命题的真假 （1）命题()A AB ⊄；（2）下列两组命题构成的“p 且q ”形式的命题的真假：①:0{0},:{0}p q φ⊂≠∈ ②:2p 是自然数，:q π是有理数（3）下列两组命题构成的“p 或q ”形式的命题的真假： ①p:3是7的约数，q:3是9的约数 ②p:3不是7的约数，q:3不是9的约数变式训练：1、已知命题p 2:,tan 1;:,10p x R x q x R x x ∃∈=∀∈++<，给出下列结论： （1）命题“p q ∧”是真命题；（2）命题“()p q ∧⌝”是假命题；（3）命题“()p q ⌝∨”是真命题；（4）命题“()()p q ⌝∨⌝”是真命题；其中正确的是 （只需填写所有正确的序号） 2、已知命题p 和q 满足p q ∨为真命题，q ⌝为真命题，则（ ）A.p 为假命题B.p 为真命题C.p q ∧为真命题D.()p q ⌝∨为真命题 二、含有量词的否定及真假判断例2、试判断下列命题的真假并写出该命题的否定（1）2,10x R x ∀∈+>； （2）2,1x N x ∀∈≥； （3）3,1x Z x ∃∈<； （4）2,3x Q x ∃∈=变式训练：1、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 .2、下列命题中(1)[0,],sin cos 22x x x π∃∈+≥;(2)2(3,),21x x x ∀∈+∞>+; (3)2,1x R x x ∃∈+=-（4）(,),tan sin 2x x x ππ∀∈>,其中真命题是（ ）A.(1)B.(1)(2)C.(2)D.(3)(4) 三、根据命题真假求参数的取值范围例3、已知0c >，设p:函数xy c =在R 上单调递减，q:不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.变式训练：已知命题p:2[1,2],0x x a ∀∈-≥；命题q ：2000,220x R x ax a ∃∈++-=.(1)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围 (2).若命题p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.【作业】《胜券在握》P119页 第1、2、3题；【上本作业】《胜券在握》P119页 第4、5题.。
03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
知识网络
命题 四种命题
原命题：若p则q
互否 互逆
命题及 其关系
四种命 题的相 互关系
逆命题：若q则p
互否
互为逆否
等价关系
否命题：若p则q
互逆
逆命题：若q则p
常 用 逻 辑 用 语
充分条件 必要条件 充要条件
充分条件
p ⇒q
必要条件 充要条件 且∧
p ⇐q p ⇔q p∧q
根据含有逻辑联结词的命题的真假,求参数的取值范围
【例 3】 设 a 为实数，给出命题 p：关于 x 的不等式
( 1 )| x 1| ≥ a 的 解 集 为 ∅ ， 命 题 q ： 函 数 f(x) ＝ 2 lg[ax 2 (a 2) x 9 ] 的定义域为 R，若命题“p∨q”为真， 8
“p∧q”为假，求 a 的取值范围.
解：①若 p 正确，则由 0 ( 1 )| x1| ≤ 1 ，得 a>1.
2
②若 q 正确，则 ax ＋(a－2)x＋ 8>0 解集为 R. 8 8 9 当 a＝0 a＝0 时，－2x＋9>0 不合题意，舍去； 时，－2x＋ >0 9 当 a＝0 时，－2x＋不合题意，舍去； 8 当 >0 8 不合题意，舍去； 8 a>0a>0 a>0 1
命题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
忆一忆知识要点
(1)含有一个量词的命题的否定 命题的否定 ∃x0∈M , ￢p(x0) ∀x∈M, ￢p(x)
全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否定是全称命题. (2) p或q, p且q的否定
p⋀q 的否定 p⋁q 的否定
高考数学统考一轮复习第一章1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件文新人教版
p∧(綈q)是真命题，故选C.
4．[202X·广州市高三年级阶段训练题]已知命题p：∀x∈R，x2－x
＋1<0；命题q：∃x∈R，x2>2x.则下列命题中为真命题的是(
)
A．p∧q
B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q)
D．(綈p)∧(綈q)
解析：当x＝1时，x2 －x＋1＝1>0，所以p为假命题，綈p为真命
题．当x＝3时，x2>2x，所以q为真命题，綈q为假命题．所以p∧q为假
命题，(綈p)∧q为真命题，p∧(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，
故选B.
悟·技法
判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤
(1)判断复合命题的结构；
(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假；
(3)根据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假
二、必明2个易误点
1．对于省略量词的命题，应先发掘命题中隐含的量词，改写成
含量词的完整情势，再写出命题的否定．
2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成
“綈p且綈q”．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)．
(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．( × )
B．∃x0∈R，02 ＋x0<0
C．∀x∈R，x2＋x≤0
D．∀x∈R，x2＋x<0
)
解析：由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．
3．命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是
有些表面积相等的三棱锥体积不相等．
__________________．
三、易错易混
4．[202X·济南模拟]若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：p q p∧q p∨q非p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0) 4．全称命题与特称命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．考点一判断含有逻辑联结词命题的真假[典例](1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧非qC．非p∧q D．非p∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是()A．p∧(非q)B．(非p)∧qC．p∧q D．(非p)∨q[解析](1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q)B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q)D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2，<0，2<m<2，可得－2<m<0.所以m的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q<0，≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q≥0，2<m<2，所以0≤m<2.所以m的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q变为：存在x0∈R，x20＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，所以m>2或m<－2.≥0，2≤m≤2，得0≤m≤2，所以m的取值范围为[0,2]．答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是()A．∃x0≥0，x0x0－1≤0B．∃x0>0,0≤x0≤1C．∀x>0，xx－1≤0D．∀x<0,0≤x≤1解析：选B∵xx－1>0，∴x<0或x>1，∴xx－1>0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．2．下列命题中，假命题的是()A．∀x∈R,21－x>0B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称C．函数y＝x a的图象经过第四象限D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切解析：选C对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立．3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧(非q)C．(非p)∧q D．p∧(非q)解析：选D由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是()A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件B．命题p：∀x∈R,2x>0，则非p：∃x0∈R,2x0<0C．命题“若a>b>0，则1a <1b”的逆命题是真命题D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件解析：选A对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是非p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若1a<1b，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则()A．(非p)∨q为真命题B．p∧(非q)为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题解析：选D由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p∨q为真命题．6．下列说法错误的是()A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．若命题p：存在x0∈R，x20＋x0＋1<0，则非p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy”的充要条件D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假解析：选D由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(0,4]C．(－∞，4]D．[0,4)解析：选C当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.8．下列命题为假命题的是()A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0B．“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β解析：选C对于A选项，令x＝1，y＝1e，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝π2”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n ⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋110．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“非q”同时为假命题，则x ＝________.解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，由题意，得x＝－2.答案：－211．已知p：a<0，q：a2>a，则非p是非q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p：a≥0，非q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以非p是非q的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p∨q；②p∧q；③(非p)∧(非q)；④(非p)∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p为真命题，非p为假命题．∵f(x)＝x2－x－1 4，∴函数f(x)在区间1 2，＋∴命题q为假命题，非q为真命题．∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(非p)∧(非q)为假命题，(非p)∨q为假命题．答案：②③④13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)，1x －x≤4t2－1.(1)当t＝1时，判断命题q的真假；(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．解：(1)当t＝1＝0，1x－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1<t<1；当q≤4t2－1，即4t2－1≥0，解得t≤－12或t≥12，∴当q为假命题时，－12<t<12，∴t －1 2，。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第二讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教学目标：1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词与存在量词的意义．3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、知识回顾课前热身知识点1、命题p∧q、p∨q、非p的真假判定p q p∧q p∨q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真知识点2．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．知识点3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)例题辨析推陈出新例1已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答]命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．[答案] D变式练习1．(2013·长春名校联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．非p 为假命题D ．非q 为假命题 解析：选B ∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题.例2(1)下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x(2)已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若m 满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤f (m )B ．∃x 0∈R ，f (x 0)≥f (m )C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (m )D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (m )[自主解答] (1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤ 2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．(2)∵a >0，∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在x ＝－b2a处取得最小值．∴f (m )是函数f (x )的最小值．故C 错误． [答案] (1)B (2)C变式练习2．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数解析：选D 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题.例3写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.[自主解答] (1)非p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题． (2)非q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． (4)非s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．变式练习3．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0. 答案：有些可以被5整除的数，末位不是0例4已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)[自主解答] 命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案] C4．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解：∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴非p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1， ∴非q ：c >12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.三、归纳总结 方法在握归纳1个规律——含逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即一真全真； (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即一假即假； (3)非p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2种方法——含量词的命题的否定及真假判断方法 (1)全称命题真假的判断方法(见例2)； (2)特称命题真假的判断方法(见例2)；(3)含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．2个易错点——命题否定中的两个易错点 (1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． (2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为：非p 或非q . 3．常见词语的否定形式正面词语 是 都是> 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定词语 不是 不都是 ≤一个也没有 至少有两个存在x 0∈A ，使p (x 0)假四、拓展延伸 能力升华例1、(2012·辽宁高考)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则非p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0[解析] 题目中命题的意思是“对任意的x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x 1，x 2，使得(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0即可，故命题“∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0”的否定是“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0”．[答案] C变式练习1．命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1<0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1≥0B ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0解析：选C 因为特称命题p ：∃x 0∈A ，P (x 0)，它的否定是非p ：∀x ∈A ，非P (x )，所以命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”．2．若命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题非p ：( ) A ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0 C ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－∞，－π2∪⎝⎛⎭⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：选C ∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题非p 为∃x 0∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 五、课后作业 巩固提高一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·长沙模拟)设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( ) A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假解析：选C ∵p 或q 为真⇒p 、q 中至少有一个为真；p 且q 为假⇒p 、q 中至少有一个为假， ∴“命题p 或q 为真，p 且q 为假”⇒p 与q 一真一假． 而由C 选项⇒“命题p 或q 为真，p 且q 为假”． 2．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3 B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0解析：选D 1<4x 0<3，14<x 0<34，这样的整数x 0不存在，故A 错误；5x 0＋1＝0，x 0＝－15∉Z ，故B 错误；x 2－1＝0，x ＝±1，故C 错误；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74>0. 3．(2013·揭阳模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧非q 是真命题C ．命题非p ∧q 是真命题D ．命题非p ∨非q 是假命题解析：选C 命题p 是假命题，命题q 是真命题， ∴p ∧q 是假命题，p ∧非q 是假命题，非p ∧q 是真命题，非q ∨非p 是真命题．4．已知命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0＝12，则非p 为( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ＝12 B ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12C ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0≠12D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0>12解析：选B 依题意得，命题非p 应为：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12. 5．已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－12；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(非q )C ．(非p )∧(非q )D ．p ∨q解析：选D 抛物线y ＝2x 2，即x 2＝12y 的准线方程是y ＝－18；当函数f (x ＋1)为偶函数时，函数f (x ＋1)的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称(注：将函数f (x )的图象向左平移一个单位长度可得到函数f (x ＋1)的图象)，因此命题p 是假命题，q 是真命题，p ∧q 、p ∨(非q )、(非p )∧(非q )都是假命题，p ∨q 是真命题．6．(2013·南昌模拟)下列命题正确的是( )A ．已知p ：1x ＋1>0，则非p ：1x ＋1≤0B ．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件C ．命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则非p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0D ．存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立解析：选B 对于A ，非p 应是x ＋1≤0，因此A 不正确；对于B ，在△ABC 中，a >b ⇔A >B ⇔cos A <cos B ，因此B 正确；对于C ，命题非p 应是∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0，因此C 不正确；对于D ，注意到sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2， 2 ]，且π2∉[－2， 2 ]，因此不存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立，D 不正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________．解析：全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为：∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3. 答案：∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤38．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”中是真命题的有________．解析：依题意p 假，q 真，所以p ∨q ，非p 为真．答案：p ∨q ，非p9．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0.答案：[－8,0]三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些素数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.解：(1)非q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)非r ：每一个素数都不是奇数，假命题．(3)非s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．11．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题． p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1， 所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0， 只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2， 所以命题q ：a ≥1或a ≤－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2 故实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2.12．已知命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围．解：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2，即m >2时，p 真．存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3，即1<m <3时，q 真．因“p ∨q ”为真，所以命题p 、q 至少有一个为真， 又“p ∧q ”为假，所以命题p 、q 至少有一个为假，因此，命题p 、q 应为一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真． 故⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.。
人教版选修2-1第一章第二节简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词
解析：由 C 选项，若 p∨q 为真命题，则 p ，q 中至少有一 个是真命题，所以 C 选项命题是假命题，故选 C.
1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特 称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题 否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其 否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举 反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命 题为真．
p
真 真 假 假
q
真 假 真 假
p∨q
p∧q
非p
3. 全 称 量 词 (universal quantifier) 与 存 在 量 词 (existential quantifier) (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一 个”、“任给”、“所有的”等． (2)常见的存在量词有： “存在一个”、 “ “有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等． (3)全称量词用符号“ 表示． ”表示； 存在量词用符号“∃” 有一个”、
【解析】 (1)∵方程 x2＋x＋1＝0 的判别式 Δ＝12－4＝－ 3<0， ∴x2＋x＋1<0 无解， 故命题 p1 为假命题， 綈 p1 为真命题； 由 x2－1≥0，得 x≥1 或 x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故 命题 p2 为真命题，綈 p2 为假命题．∵綈 p1 为真命题，p2 为真 命题，∴綈 p1∧p2 为真命题，选 C.
(2)∵y＝2 在 R 上为增函数，y＝2 数，∴y＝－2
－x
x
－x
1 ＝ x 在 2
R 上为，
∴y＝2x－2－x 在 R 上为增函数，故 p1 是真命题． y＝2x＋2－x 在 R 上为减函数是错误的，故 p2 是假命题． ∴q1：p1∨p2 是真命题，因此排除 B 和 D，
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
特称命题存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立∃x 0∈M ，p (x 0)∀x ∈M ，⌝p (x )知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p ，q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真． (2)p ∧q ：p ，q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假． (3)⌝ p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则⌝q ”，否命题是“若⌝p ，则⌝q ”．题型三 含参命题中参数的取值范围【例题精讲】例1. 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．例2. 已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．【课堂练习】1. 已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1)2. 已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断典例1 (1)(佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(全国名校大联考)已知命题p ：∀x ∈R,3x <5x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(⌝ p )∧q C ．p ∧(⌝q ) D ．(⌝p )∧(⌝q )二、充要条件的判断典例 2 (1)(广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件1．已知命题p ，q ，“⌝ p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．下列命题中， 为真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1 C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<03．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1. 简单的逻辑联结词2. 全称量词与存在量词及含有一个量词的否定【课后作业】1．已知命题p ：“x >3”是“x 2>9”的充要条件，命题q ：“a 2>b 2”是“a >b ”的充要条件，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 为真 B ．p ∧q 为真 C ．p 真q 假 D ．p ∨q 为假2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．⌝ q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真9．命题“∃n 0∈N ，n 20＞02n”的否定是________________．10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．12．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____________．13．已知命题p ：－4<x －a <4，命题q ：(x －2)(3－x )>0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(⌝q )”是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．15．已知命题p ：∃x 0∈R ，e 0x －mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨( q )为假命题，则实数m 的取值范围是________．16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．。
1.3简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词
【解析】选A．“非p或非q”是假命题，可得“非p”与“非q” 均为假命题，即p,q均为真命题，故结论①③正确．
4．已知命题p： x∈R,sin x≤1，则(
(A) p: x∈R,sin x≥1 (C) p: x∈R,sin x>1
)
(B) p: x∈R,sin x≥1 (D) p: x∈R,sin x>1
b 2
项C中的命题为假；根据不等式的性质，a>1，b>1⇒ab>1，但 反之不成立，故选项D中的命题为真．
(2)选D．由于x2+x+1= (x 1 ) 2 3 0 对任意实数x恒成立，故选
2 4
项A中的命题为真命题；令y=ex,y=-x+1，结合两个函数的图象 可知这两个函数的图象存在公共点，故“ x∈R,ex+x=1”为 真命题；f′(x)=3x2+a，只要a≥0，f′(x)≥0即在(-≦,+≦) 上恒成立，函数f(x)=x3+ax即在(-≦,+≦)上单调递增，故选 项C中的命题为真命题；由于Δ=a2-4a，当Δ<0，即0<a<4时， 函数f(x)=x2+ax+a不存在零点，故“ a∈R,f(x)=x2+ax+a存 在零点”是假命题．
x 2 (2)“ a∈R，函数 f x a 是R上的奇函数”的否定是 2x a
_________． 【思路点拨】(1)已知命题是一个含全称量词的命题，其否定 是一个含存在量词的命题． (2)已知命题是一个含存在量词的命题，其否定是含全称量词 的命题，注意“奇函数”的否定为“不是奇函数”．
p是对p的否定，故有 p: x∈R,sin x>1. 【解析】选C．
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(3)
1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(4)命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．复合命题的否定(1)“綈p”的否定是“p”；(2)“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”；(3)“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．[诊断自测]1．概念思辨(1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之，若p∨q为真，则p∧q必为真．()(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－1P27T3)命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.故选B.(2)(选修A2－1P18T1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，x2>0，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是真命题D．命题p∨(綈q)是假命题答案 C解析由于x＝10时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题p为真命题，令x＝0，则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，綈q是真命题，进而得到命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题．故选C.3．小题热身(1)(2015·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题．故选D.(2)(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 若0≤x ≤π4，则0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.题型1 含有逻辑联结词的命题的真假典例1 (2018·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法．答案 B解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题．故选B.典例2(2017·武汉模拟)若存在正常数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin x 2，其中是“限增函数”的是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．③注意放缩法的应用．答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为 (x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，即x ≤－a 2－a ＋b 2a对一切x ∈R 均成立，因函数的定义域为R ，故不存在满足条件的正常数a ，b ，故f (x )＝x 2＋x ＋1不是“限增函数”；对于②，若f (x )＝|x |是“限增函数”，则 f (x ＋a )≤f (x )＋b 可化为：|x ＋a |≤|x |＋b ， ∴|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |恒成立，又 |x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |， ∴|x |≥a －b 22b ，显然当a <b 2时式子恒成立， ∴f (x )＝|x |是“限增函数”； 对于③，∵－1≤f (x )＝sin x 2≤1， ∴f (x ＋a )－f (x )≤2，∴当b ≥2时，a 为任意正数，使f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，故f (x )＝sin x 2是“限增函数”．故选B.方法技巧1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．见冲关针对训练1.(2)判断命题真假的步骤确定含有逻辑联结词的命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．见典例1.冲关针对训练1．(2018·天星二联)已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a<c<b；命题q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 C解析因为0<a＝0.30.3<0.30＝1，b＝1.20.3>1.20＝1，c＝log1.20.3<log1.21＝0，所以c<a<b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2－x－6>0可得x<－2或x>3，故“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)∧q为真命题．故选C.2．(2018·山西八校联考)已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x∈R，x2＋2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案 C解析 当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x ∈R ，x 2＋2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )均为假命题，p ∧(綈q )为真命题．故选C.题型2 全称命题与特称命题角度1 全称命题、特称命题的真假判断典例(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点本题用赋值法、分离常数法．答案 B解析 取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 正确；取φ＝π2时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋lnx ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确．故选B.角度2 全称命题、特称命题的否定典例 (2018·厦门模拟)已知命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x <x ，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xB ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0C ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ≥xD ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0 用构造函数法，求导法．答案 B解析 令f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1<0， 函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2递减，f (x )max <f (0)＝0，故sin x <x ，命题p 是真命题，由命题的否定的定义，要否定命题的结论，同时改写量词知綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0≥x 0.故选B.方法技巧全(特)称命题的常见题型及解题策略1．全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．见角度1典例．2．全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．见角度2典例．冲关针对训练1．(2018·晋中模拟)已知f (x )＝e x －x ，g (x )＝ln x ＋x ＋1，命题p ：∀x ∈R ，f (x )>0，命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0，则下列说法正确的是( )A ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0C ．q 是真命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0D ．q 是假命题，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0 答案 C解析 f ′(x )＝e x －1，由f ′(x )>0得x >0，由f ′(x )<0得x <0，即当x ＝0时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f (0)＝e 0－0＝1－0＝1>0，所以∀x ∈R ，f (x )>0成立，即p 是真命题．g (x )＝ln x ＋x ＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x →0时，g (x )<0，g (1)＝0＋1＋1＝2>0，则∃x 0∈(0，＋∞)，使得g (x 0)＝0成立，即命题q 是真命题．则綈p ：∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，綈q ：∀x ∈(0，＋∞)，g (x )≠0， 综上只有C 成立．故选C.2．(2017·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题．故选B.题型3 由命题的真假求参数的取值范围典例1已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是假命题，则实数a的取值范围是________．注意分情况讨论．答案 a ≤－2或a >2解析 命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增，∴0<a <1. 又∵命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即－2<a ≤2.若P ∨Q 为假命题，则P 假Q 假，命题P 为假时，有a ≤0或a ≥1；命题Q 为假时，有a ≤－2或a >2，所以P ∨Q 为假时a ≤－2或a >2.[结论探究] 在本例条件下，若P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤0或1≤a ≤2解析 若P ∨Q 为真，P ∧Q 为假，命题P 和Q 一真一假，若P 真Q 假，无解；若P 假Q 真，有－2<a ≤0或1≤a ≤2.典例2 (2018·河北调研)对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，lg e －lg (lg e)]B ．(－∞，1]C ．[1，lg e －lg (lg e)]D ．[lg e －lg (lg e)，＋∞)用数形结合法．答案 A解析 对任意的x >0，总有f (x )＝a －x －|lg x |≤0，即a －x ≤|lg x |恒成立，设y ＝－x ＋a ，g (x )＝|lg x |，如图，当直线y ＝－x ＋a 与g (x )相切时，a 取得最大值，设切点为A (x ，y )，则－1＝(－lg x )′，得到x ＝lg e ，所以y ＝－lg (lg e)，所以切线方程为：y ＋lg (lg e)＝－(x －lg e)，令x ＝0得到y ＝lg e －lg (lg e)， 所以a 的取值范围为(－∞，lg e －lg (lg e)]．故选A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例1.2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例2.冲关针对训练(2018·寿县月考)已知命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[25，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫143，＋∞ D ．(－∞，25]答案 A解析 若∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 恒成立，则a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，x ∈(2,3)． ∵f (x )＝x ＋5x 在(2，5)上是减函数，在(5，3)上为增函数，∴函数f (x )的最小值是f (5)＝25，则a <2 5.∵命题P ：∀x ∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命题，∴a ≥25，实数a 的取值范围是[25，＋∞)．故选A.1．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x ＞0，ln (x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln (x＋1)＞ln 1＝0，∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.2．(2018·郑州质检)设命题p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为()A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3答案 B解析由全称命题的否定为特称命题，知綈p为∃x>0，log2x≥2x＋3.故选B.3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则ln a<ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题答案 D解析A中，因为函数y＝ln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，错误；B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，错误；C中，命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，错误；D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”，该逆命题是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，正确．故选D.4．(2017·皖南名校联考)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1,1]上单调递减；命题q：函数y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p 且q为假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)答案 B 解析 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1，1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3. 综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武邑模拟)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为() A．∃x0≤0，使得(x0＋1)e x0≤1 B．∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1 D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤1答案 B解析“∀x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e x0≤1”．故选B.2．下列四个命题：其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案 D解析3．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)答案 C解析 由题知：x 0＝－b 2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．故选C.4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( )A ．若p ∨q 为假命题，则p ∧q 为假命题B ．若a ，b ∈[0,1]，则不等式a 2＋b 2<14成立的概率是π16C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”D ．已知函数f (x )可导，则“f ′(x 0)＝0”是“x 0是函数f (x )的极值点”的充要条件答案 D解析 选项A ，若p ∨q 为假命题，则p 为假命题，q 为假命题，故p ∧q 为假命题，正确；选项B ，使不等式a 2＋b 2<14成立的a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故不等式a 2＋b 2<14成立的概率是14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π16，正确；选项C ，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D ，令f (x )＝x 3，则f ′(0)＝0，但0不是函数f (x )＝x 3的极值点，错误．故选D.5．(2017·河西区三模)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，e 2]B ．(－∞，e]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 B解析 命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0.∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e.则实数a 的取值范围为(－∞，e]．故选B.6．已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)答案 C解析 由题可知若p ∧q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p 为真，则m <0，对于命题q 为真，则m 2－4<0，即－2<m <2，所以命题p 和命题q 均为真命题时，实数m 的取值范围是(－2,0)．故选C.7．(2018·黄冈模拟)下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件；④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3.故选C.8．(2017·广东七校联考)已知命题p ：∃a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增；命题q ：函数g (x )＝x ＋log 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上无零点．则下列命题中是真命题的是( )A ．綈pB ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．p ∧(綈q )答案 D解析 设h (x )＝x ＋a x ＋1.易知当a ＝－12时，函数h (x )为增函数，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16>0，则此时函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上必单调递增，即p 是真命题；∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12<0，g (1)＝1>0，∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上有零点，即q 是假命题，根据真值表可知p ∧(綈q )是真命题．故选D.9．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x >0，e x －ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 作出y ＝e x 与y ＝ax ＋1的图象，如图．当a ＝1时，e x ≥x ＋1恒成立，故当a ≤1时，e x －ax <1不恒成立；当a >1时，可知存在x ∈(0，x 0)，使得e x －ax <1成立，故p 成立，即p ：a >1，由函数f (x )＝－(a －1)x 是减函数，可得a －1>1，得a >2，即q ：a >2，故p 推不出q ，q 可以推出p ，p 是q 的必要不充分条件．故选B.10．(2017·泰安模拟)已知命题p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1<1，q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R答案 C解析 对于命题p ，mx 2＋1<1，得mx 2<0，若p 为真命题，则m <0，若p 为假命题，则m ≥0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(綈q )为假命题，则需要满足命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，解得0≤m ≤2，故选C.二、填空题11．若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________． 答案 12解析 因为∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使a sin θ≥a 成立，所以sin θ≥1.又sin θ∈[－1,1]，所以sin θ＝1，故θ＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＝cos π3＝12. 12．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.13．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 由于函数g (x )在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 14．(2017·衡水调研)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记OP →＝aOM →＋bON →(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．(1)当OP →与ON →平行时，b ＝________；(2)给出下列命题：①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形；②∃a <0且b <0，使得OP →与ON →垂直；③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1恒成立．其中，所有正确命题的序号是________．答案 (1)－1 (2)①②③解析 (1)∵OM →＝(1,2)，ON →＝(1，－2)，∴OP →＝aOM →＋bON →＝(a ＋b,2a －2b )．∵OP →∥ON →，∴2a －2b ＋2(a ＋b )＝0，∴a ＝0.∵抛物线的准线为x ＝－1，点P 在准线上，∴P 点的横坐标为－1，∴a ＋b ＝－1，∴b ＝－1.(2)对于①，假设是等边三角形，则P (－1,0)，|PM |＝22，|MN |＝4，|MN |≠|PM |，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于②，OP →与ON →垂直，OP →·ON →＝0，得到a ＝53b ，∴②正确；③显然成立．三、解答题15．(2018·吉林大学附中模拟)设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝9x ＋a 2x ＋7.若“∃x ∈[0，＋∞)，f (x )<a ＋1”是假命题，求实数a 的取值范围．解 y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋a 2x －7，x >0，0，x ＝0，9x ＋a 2x ＋7，x <0.又“∃x ≥0，f (x )<a ＋1”是假命题，则∀x ≥0，f (x )≥a ＋1是真命题，①当x＝0时，0≥a ＋1，解得a ≤－1；②当x >0时，9x ＋a 2x －7≥a ＋1，结合基本不等式有6|a |－7≥a ＋1，得a ≥85或a ≤－87，①②取交集得a 的取值范围是a ≤－87.16．(2018·福建晨曦中学联考)已知命题p ：函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，命题q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求a 的取值范围．解 若命题p 为真，则函数y ＝x 2－2x ＋a 在区间(1,2)上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12－2×1＋a <0，22－2×2＋a >0，所以0<a <1.若命题q 为真，则函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，由Δ＝(2a －3)2－4>0，得4a 2－12a ＋5>0，解得a <12或a >52.因为p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，所以p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧ 0<a <1，12≤a ≤52，所以12≤a <1；②若p 假q 真，则⎩⎨⎧ a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，所以a ≤0或a >52.故实数a 的取值范围是a ≤0或12≤a <1或a >52.。
简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词
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变式训练2.写出下列命题的否定并判断其真假： (1)p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根； (2)p：有的三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)p：x0∈N，x－2x0＋1≤0.
解析： 根． (1)┐p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数 因为该方程的判别式Δ＝m02＋4＞0恒成立，故┐p为假命题． (2)┐p：所有的三角形的三条边不全相等． 显然┐p为假命题． (3)┐p：有的菱形的对角线不垂直． 显然┐p为假命题． (4)┐p：x∈N，x2－2x＋1＞0. 显然当x＝1时，x2－2x＋1＞0不成立，故┐p是假命题．
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2 y (2)[文]已知命题p：a0∈R，曲线 x2 + = 1 a0
为双曲线；
命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}． 给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧┐q”是 假命题；③命题“┐p∨q”是真命题；④命题“┐p∨┐q”是假命 题． 其中正确的是________．
b ， 2a
又a>0，∴f(m)是函数f(x)的最小值， 即x∈R，有f(x)≥f(m)，故选D.
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1.判断全(特)称命题真假时，要注意假命题时 只需举出一个反例否定即可，而真命题必须保证对 限定的集合中每一个元素都成立． 2．写含有一个量词的命题的否定，首先要明确 这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词 的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成 存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结 论．
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第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[知识能否忆起]
一、简单的逻辑联结词
1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．
2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．
3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．
二、全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
三、含有一个量词的命题的否定
命题命题的否定
∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)
1．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则()
A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题D．綈q是真命题
答案：D
2．(教材习题改编)下列命题中的假命题是()
A．∃x0∈R，x0＋1
x0＝2 B．∃x0∈R，sin x0＝－1
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0
答案：C
3．(2012·湖南高考)命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是()
A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉Q
C．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q
解析：选D其否定为∀x∈∁R Q，x3∉Q.
4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________.
答案：所有的三角形都不是等边三角形
5．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0为假命题，则∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤2 2.
答案：[－22，2 2 ]
1.逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
含有逻辑联结词命题的真假判定
典题导入
[例1](2012·齐齐哈尔质检)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是()
A．②③B．①②④
C．①③④D．①②③④
[自主解答]命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
[答案] D
由题悟法
1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤
(1)准确判断简单命题p、q的真假；
(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；
(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；
(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
以题试法
1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；
④命题“p或q”是假命题．
其中正确的结论是()
A．①③B．②④
C．②③D．①④
(2)(2012·江西盟校联考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()
A．(4，＋∞) B．[1,4]
C．[e,4] D．(－∞，1]
解析：(1)选A“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．
(2)选C“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0,1]，a≥e x，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.
全称命题与特称命题的真假判断
典题导入
[例2]下列命题中的假命题是()。