一房室模型

关于药动学中一房室模型的数学建模

摘 要 本文讨论了药动学中一房室模型，旨在分析不同注射条件下，血药浓度

的变化规律。

药动学通常用房室模拟人体，只要体内某些部位接受或消除药物的速率相似，即可归入一个房室。本文讨论一室模型，即给药后，体内药物瞬时在各个部位达到平衡，血液浓度和全身各组织器官部位浓度迅速达到平衡，可看为开放性一室模型。

本文利用数学建模思想，考虑不同人体吸收药物能力λ不同，讨论了在不同给药方式下人体血药浓度的变化，以及在多次重复给药方式下血药浓度的变化，并画出图像。 针对问题一，运用微分方法，通过血药浓度变化率平衡关系及有关血药浓度的初值条件，建立微分方程模型，通过计算得到结论：在快速静脉注射条件下，药物浓度随时间的增加而指数减小;在恒速静脉滴注条件下，在持续时间τ处，药物浓度指数增加达到峰值，在τ之后指数减小;在口服或肌肉注射条件下，药物浓度随时间呈现增加后减小趋势。

针对问题二，首先由问题一可求解第n 次注射后血药浓度，在稳态要求下，即∞→t ，血药浓度c 在人体能够承受最大值1c 与最小值2c 之间，求出固定时间间隔T 和固定剂量D 。

针对问题三，采取问题二解题方法，在恒速静脉注射和口服或肌肉注射及多次重复给药方式下条件下，分别求出人体血药浓度解析表达式，并作图，求出在恒速静脉注射条件下固定时间间隔T 和固定剂量D 。

关键词：一室模型 快速静脉注射 恒速静脉注射 口服或肌肉注射 固定时间 固

定剂量 多次重复给药

一、 问题重述

药动学通常用房室模拟人体，一房室模型准确性稍差，却比较简单，便于理解推广应用，且有些药物用单室模型处理已能满足要求。讨论按固定时间间隔、每次给予固定剂量的多次重复给药方式。为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度控制在合理范围内。现解决一下问题：

问题一：根据已知的二室模型，建立只有一个中心室的一室模型，并给出解析表达式。

问题二：在快速静脉注射的多次重复给药方式下，求解血药浓度解析表达式，并作图，讨论如何确定固定时间间隔和固定剂量使血药浓度的变化，满足上述要求。

问题三：在快速静脉注射和口服或肌肉注射的多次重复给药方式下，求解血药浓度解析表达式并作图。讨论在恒速静脉注射条件下如何确定固定时间间隔和固定剂量使血药浓度的变化满足上述要求。

二、问题分析

由题目可知，在注入人体内的药物转移速率与药物注入速率共同作用下，联系实际，考虑到个体差异而吸收药物能力不同，建立微分方程模型，可求解出不同给药方式下人体血药浓度变化解析表达式。

针对问题一，运用微分方法，通过血药浓度变化率平衡关系，建立微分方程模型。在快速静脉注射注射条件下，注射开始时，血药浓度在人体内浓度瞬时达到最大值，给药速率0)(0=t f ，以此为初值条件求解，并作出图像。在恒速静脉注射条件下，给药速率00)(k t f =，血药浓度在初始时为零作为初始条件，设

τ为注射时间，当],0[τ∈t 和],[∞∈τt 时，建立分段函数，并求解画图。在口服或肌肉注射条件下，注射开始时，血药浓度在人体内瞬时达到最大值，血药含量的变化率与血药含量呈线性关系，以此求出注射速率)(0t f ，再求出血药浓度

)(t c ，然后作出图像。

针对问题二，由问题一结论可知，在快速静脉注射条件下，第n 次注射后血药浓度，在稳态要求下，即∞→t ，血药浓度c 在人体能够承受最大值1c 与最小值2c 之间，求出固定时间间隔T 和固定剂量D 。

针对问题三，采取问题二解题方法，在恒速静脉注射和口服或肌肉注射及多次重复给药方式下条件下，分别求出人体血药浓度解析表达式，并作图，并求出在恒速静脉注射条件下固定时间间隔T 和固定剂量D 。

三、模型假设

1. 药物进入机体后，全部进入中心室（血液较丰富的心、肺、肾和组织），中心室的容积在给药过程中保持不变；

2. 不同个体对药物利用率是一定常数；

3．药物排除的速率与中心室的血药浓度成正比； 4.个体对药物无排异反应。

四、符号表示

五、模型建立

运用微分方法，通过血药浓度变化率平衡关系，建立微分方程模型：

⎪⎩⎪⎨

⎧⨯=⨯+⨯=V

t c t x t f x k x )()()(-0.λ

（1） 5.1 快速静脉注射

注射开始时，血药浓度在人体内浓度瞬时达到最大值，即给药速率

0)(0=t f ，λ⨯=

V

D

c )0(. 5.2 恒速静脉滴注（持续时间为τ）

依据滴注速度0k ，得初始条件00)(k t f =，0(0)=c 。当滴注结束，即τ=t 时，血药浓度)(t c 达到最大值，当τ>t 时，血药浓度变化类比于快速静脉注射。 5.3 口服或肌肉注射

依据吸收室药量的变化率及初始条件⎪⎩⎪

⎨⎧=⨯=D

x x k t x )0(-)(0001.

0，

解得t

k e

k D t x k t f 01-010010)()(⨯⨯=⨯=

六、模型求解

依据（1），得到其齐次方程通解：

kt e A c -⨯=

6.1 针对问题一的模型求解

6.1.1 快速静脉注射模型求解

将初值条件0)(0=t f ，λ⨯=

V D

c (0)代入（1）解得， 1)(0)(-<<⨯⨯=λλkt e V

D

t c

利用matlab7.8.0画出图1：

图1

6.1.2 恒速静脉滴注模型求解

利用初值条件00)(k t f =，0(0)=c 代入（1）解得，

当τ≤≤

t 0时，

λλλ⨯+⨯+=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯⨯+⨯=k

k e B A e B k k e A e B e k k e A x kt kt kt kt kt kt 0--0--0-)()(

)-1()(000kt kt e Vk

k

Vk k e Vk k t c --⨯⨯=⨯+⨯⨯-=

λλλ 当τ>

t 时，

)-(0

)-1()(τλt k kt e e Vk

k t c --⨯⨯⨯=

利用matlab7.8.0画出图2：

图2

6.1.3 口服或肌肉注射模型求解

依据吸收室药量的变化率及初始条件⎪⎩⎪

⎨⎧=⨯=D

x x k t x )0(-)(0001.0，

解得t

k e

k D t x k t f 01-010010)()(⨯⨯=⨯=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⨯⨯⨯⨯≠⨯⨯⨯⨯=01

-01

--0101,,)-()

-()(01

k k e t V

D

k k k e e k k V

D k t c kt t

k kt λλ

利用matlab7.8.0画出图3：