多项式的方幂及其应用

多项式的方幂及其应用

太原师范学院数学系王桂英

一个多项式表示成另一个一次多项式的方幂，所采用的基本方法，不外乎综合除法、泰勒展开式以及幂级数展开等等，讨论的方法也多种多样，这里不做赘述。但当另一个多项式不是一次多项式的时候，也就是说，要将一个多项式表示成另一个一般多项式的方幂时，一般的教材及其教辅资料介绍的就很少了，在应用方面也鲜有报道！本文只就两个方面的应用做一简要介绍。

一、用于分解部分分式 大家知道，在计算一个有理函数的积分时，首先应该把被积函数分解成部分分式，即A x a -，()

n A x a -，2Ax B x px q +++，2()n Ax B x px q +++（240p q -<）四种类型的分式，然后根据该四种类型各自的积分方法进行积分。笔者见到的多个版本的数学分析教材中所介绍的有理真分式化部分分式方法都是待定系数法。这种方法的好处是理论简单、简明易懂。缺点是：通常计算量比较大，如果分母的次数较高时，往往需要待定的系数较多，计算量非常大，给研究工作带来很大的不便。

例1. 求23

26(1)x x dx x +--⎰ 解：令2326(1)x x x +--=

231(1)(1)A B C x x x ++--- 等号两边同乘3(1)x -

⇒2226(1)(1)x x A x B x C +-=-+-+

2(21)(1)A x x B x C =-++-+

2

(2)()Ax B A x A B C =+-+-+

比较系数后，得到下面的联立方程式 1226A B A A B C =⎧⎪-=⎨⎪-+=-⎩

（1）

⇒1,4,3A B C ===-，于是

23

26(1)x x dx x +--⎰23143()1(1)(1)dx x x x -=++---⎰

=123ln 14(1)(1)2

x x x K -----+-+ 例2. 7653224

27733(1)x x x x x x dx x +++--++⎰ 分析：由于2

1x +是一个二次多项式，所以不能应用泰勒公式展开，如果还像例题1那样用待定系数法的话，需要8个待定系数，即 7653224

27733(1)x x x x x x x +++--++=2222324(1)(1)(1)(1)Ax B Cx D Ex F Gx H x x x x +++++++++++ （２） 通分后，由等式两边的分子相等得到一个和（1）类似的关于8个未知量的线性方程组，然后解得待定系数,,,,,,,A B C D E F G H ，不仅计算的工作量很大，也非常容易出错。

笔者在多年的初等代数教学中，解决这类问题一直用“多项式表示成另一个多项式的方幂”来解决的。

1、最简分式

定义：如果()Q x 是既约多项式，非零多项式()P x 的次数小于()Q x 的次数，那么真分式

()()k P x Q x （k 为正整数）称为最简分式。 定理：若()()

n P x Q x 是真分式，()Q x 是既约多项式，非零多项式()P x 的次数不小于()Q x 的次数，那么()()

n P x Q x 可以唯一地表示成最简分式之和（即分解成部分分式之和）。 2、一个多项式表示成另一个多项式的方幂

由于()P x 和()Q x 都是多项式，且()P x 的次数不小于()Q x 的次数，所以()P x 可唯一地表示成

()P x =121210()()()()()()()n n n n r x Q x r x Q x r x Q x r x ----++

++ （３） 这里0121(),(),(),,()n r x r x r x r x -的次数小于()Q x 的次数或有零多项式。于是有

()()

n P x Q x = 120121()()()()()()()()n n n n r x r x r x r x Q x Q x Q x Q x ---++++ 以此方法用来解决例1和例2

例1中的()P x =2

26x x +-的次数比()Q x =1x -的次数高，所以由综合除法（也可以按泰勒公式在1点的展开式） 226x x +-=2(1)x -+4(1)x -3-

两边同除以3

(1)x -得

23

26(1)x x x +--=231431(1)(1)x x x -++---，然后再进行积分. 以例2来说明，若将765322427733(1)

x x x x x x x +++--++化成部分分式，由于 ()P x =7653227733x x x x x x +++--+的次数比()Q x =21x +的次数高

所以，由带余除法知

7653227733x x x x x x +++--+=（21x +）（5432252x x x x x ++-+）+（53x -+）①

5432252x x x x x ++-+=（21x +）（32232x x x ++-）+（2x -+） ②

32232x x x ++-=（21x +）（21x +）+（3x -） ③

于是由（３）式，将7653227733x x x x x x +++--+表为2

1x +的多项式为 7653227733x x x x x x +++--+

=（21x +）23(1)x ++（3x -）22(1)x ++（2x -+）2(1)x ++（53x -+）

两边同除以24(1)x +得

765322427733(1)

x x x x x x x +++--++=2222324213253(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x +--+-++++++++ 通过比较可知，这里只做了①②③三次带余除法，比解（２）中关于８个未知数,,,,,,,A B C D E F G H 的线性方程组要简单多了。

例3 把32492448(2)(1)

x x x x x -+-+分解成部分分式之和. 解： 设 32492448(2)(1)

x x x x x -+-+=1A x ++4()(2)f x x - 那么 3292448x x x -+=4(2)(1)()A x x f x -++，取1x =-，得1A =-

因此 (1)()x f x +=3292448x x x -++4(2)x -，

于是 ()f x =316x +

所以 32492448(2)(1)

x x x x x -+-+=11x -++34 16(2)x x +-