大学物理——量子力学基础

在量子力学中微观粒子的运动状态是用波函
数(x,y,z,t)来描述的。
但描述微观粒子运动状态的波函数(x,y,z,t)
又到那里去寻找呢？ 答案是：求解薛定谔方程。
§17-5 薛定谔方程
一.自由粒子的波函数和薛定谔方程 根据德布罗意关系式,能量为E和动量为p的自由粒
子与一单色平面波相联系,波长和频率为
长的不确定量为=10-3Å，求光子坐标的不确定量。
解 光子的动量
px
h
h px 2
按不确定关系: xpx h, 则光子坐标的不确定
量为
h 2 x 2.5m
px
例题17-7 用不确定关系估算氢原子的最小能量。
解 电子在氢原子内运动时, x=r
x px h
p
px
p
p
h r
最小的动量:
2m
t
这是薛定谔方程的一般形式。
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
—拉普拉斯算符
Hˆ 2 2 V —哈密顿算符 2m
于是薛定谔方程的一般形式可写为
Hˆ ψ( x, y, z, t) i ψ( x, y, z, t) (17-7) t
若势能V不显含时间t ,则
ψ(x, y, z,t) ψ(x, y, z) f (t)
二.经典波动与德布罗意波(物质波) 的区别
经典的波动(如机械波、电磁 波等)是可以测出的、实际存在于 空间的一种波动。
而德布罗意波(物质波)是一种 概率波。简单的说，是为了描述 微观粒子的波动性而引入的一种 方法。
§17-2 德布罗意波的实验验证
戴维逊-革末单晶电子衍射实验 约恩孙的单缝电子衍射实验 缪仁希太特-杜开尔双缝电子干涉实验
先考虑中央明纹。电子衍射前，
x
单能电子束
... p
p
px=0, py=p
缝后, 由于衍射, 落在中央明纹范 围内的电子动量 y 的不确定范围为
0≤px≤psin
图17-2
即电子在x方向上动量的不确定量为
px= psin
对第一级衍射暗纹，有
xsin = , 其中x—缝宽
于是
px
p sin θ
h
7.3106 (m /
s)
电子速度的不确定量是如此之大！ 可见,微观粒子的速度和坐标不能同时准确测定。 这也表明，不确定关系施加的限制不允许我们用 经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的微观 粒子只能用量子力学理论来处理。
例题17-5 子弹质量m=0.1kg , 速度测量的不确定量 是x=10-6 m/s (应当说这个测量够精确的了！)，求
一.波函数
对微观粒子，由于不确定关系施加的限制不可以忽 略，它的速度和坐标不能同时确定，因此微观粒子的 运动状态,不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。
由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述微 观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和 粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。波 函数就是作为量子力学基本假设之一引入的一个新的 概念。
x
h x
x
p
单能电子束
... p
y
图17-2
就得
xpx= h
若计及更高级 次的衍射, 应有
xpx h
对y和z分量,也 有类似的关系。
xpx h
还可写为
xpx
xpx 2
(17-3) (17-4) (17-5)
实际上上述公式只用于数量级的估计,所以 这些公式所反映的物理内涵是相同的。
玻恩对波函数的这种统计解释，把微观粒子的波粒 二象性作出了完美的描述。
1.因为在整个空间内粒子出现的概率是1, 所以有
2
Ψ dxdydz 1 (17-6)
上式一般称为波函数 的归一化条件。波函数都应当
是归一化的。
2.波函数的标准条件
由于一定时刻在空间给定点粒子出现的概率是唯 一的, 并且应该是有限的(具体说应该小于1), 在空 间不同点处,概率分布应该是连续的,不能逐点跃变 或在任何点处发生突变。
度、质量和德布罗意波长。
解 因加速电压大，应考虑相对论效应。
Ek mc2 moc2 moc2(
1 1 ) 5104eV
12 / c2
=1.24×108(m/s)
m mo =10×10-31 (kg) 12 / c2
h =0.0535Å mυ
mo=9.11×10-31 (kg)
例题17-3 为使电子波长为1Å，需多大的加速电压？
在以上式子中消去p, E，就得
2 2ψ
ψ
2m
x 2
i t
2ψ
p2
x2 2 ψ
ψ i Eψ t
E
Ek
p2 2m
2 2ψ
ψ
2m
x 2
i
t
二.定态薛定谔方程
若粒子在某势场V中运动, 则粒子的总能量应为
E
Ek
V
p2 2m
V
ψ( x, y, z, t) : p2 ψ Vψ Eψ 2m
当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只 能用量子力学理论来处理问题。
例题17-4 估算氢原子中电子速度的不确定量。
解 电子被束缚在原子球内, 坐标的不确定量是
x=10-10m(原子的大小), 按不确定关系: xpx h,则
电子速度的不确定量为
h x mx
6.631034 9.111031 1010
解 因电子波长较长，速度较小，可用非相对论公 式求解。
eU
Ek
1 2
mυ2
p2 2m
h2 2m2
h2 U 2me2=150V
m=9.11×10-31
( p h)
h= 6.63×10-34
§17-4 不确定关系
波和粒子是两个截然不同的概念。既然微观粒子具 有明显的波粒二象性,那么采用经典力学的方法描述微 观粒子,就将受到限制。
子定态； • 多电子原子； • *关于量子力学的争论。
§17-1 德布罗意物质波假设
一.实物粒子的波粒二象性
法国物理学家德布罗意仔细分析了光的波动说和 粒子说的发展过程，他看到：整个世纪以来，人们 对光的本性的认识，注重了它的波动性,而忽视了 它的粒子性。而在实物粒子的研究上,我们是否犯 了相反错误：即只考虑了实物粒子的粒子性,而忽 略了它的波动性呢？
Hˆ ψ( x, y, z, t) i ψ( x, y, z, t) t
Hˆ ψ( x, y, z) f (t) i ψ( x, y, z) f (t) t
将上式两端除以ψ( x, y, z) f (t), 并注意到
Hˆ 2 2 V 2m
得
Hˆ ψ( x, y, z) i
1
df (t)
=E
r1
xp
K=2
电子束
s1
x
K=1
...
d
r2
o
K=0Biblioteka 图17-1 s2 LK=1 K=2
x k L h
d
m
例题17-1 (1)电子动能Ek=100eV；(2)子弹动量
p=6.63×106kg.m.s-1, 求德布罗意波长。
解 (1)因电子动能较小，速度较小，可用非相对
论公式求解。
Ek
1 2
mυ2
因此，波函数 的标准条件应该是：单值、有限、
连续 。 应当指出，物质波与经典物理中的波动是不同。
对机械波,y表示位移;对电磁波,y表示电场E或磁场B， 波强与振幅A的平方成正比。
在量子力学中,物质波不代表任何实在的物理量
的波动, 波的振幅的平方(x,y,z,t)2表示粒子在t
时刻在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率。
1924年，德布罗意提出了一个大胆而具有深远 意义的的假设：
一切实物粒子也具有波粒二象性。
实物粒子—静质量不为零的粒子。
能量为E、动量为p的粒子与频率为v、波长为的
波相联系，并遵从以下关系：
E=mc2=hv
(17-1)
p m h
(17-2)
m mo
1
c
2 2
这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意 波(物质波或概率波),其波长称为德布罗意波 长。
为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准?
这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时 具有确定量。
这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反 映。
由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客 观规律,不是测量技术和主观能力的问题。
4.不确定关系提供了一个判据：
当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以 用经典理论来研究粒子的运动。
近出现的概率成正比。
r1
xp
K=2
s1
x
K=1
电子束
...
d
r2
o
K=0
K=1
图17-3 s2 L
K=2
1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计 解释：
波函数模的平方(x,y,z,t)2 表示粒子在t 时刻在 (x,y,z)处的单位体积中出现的概率，即概率密度。
而(x,y,z,t)2 d表xd示yd粒z 子在t 时刻在(x,y,z)处的体 积元dxdydz中出现的概率。
大学物理
主讲： 物理电子学院
方丽梅
Chap 17
量子力学基础
(fundament of quantun mechanics)
本章要点
• 德布罗意假设，电子衍射实验，波函数 的统计解释，不确定度关系；
• 薛定谔方程，*力学量算符的概念； • 一维势箱，隧道效应； • *原子的振动，*分子的转动； • 电子的轨道角动量，电子的自旋，氢原
2 2ψ( x, y, z) Vψ( x, y, z) Eψ( x, y, z) (17-8) 2m