高中数学必修4平面向量复习3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式
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5．3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式 要点透视：
1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
2．遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件．
3．线段的定比分点公式，要注意求定比分点A 的值，以便顺利求出分点坐标．
活题解析：
例1．(2002年天津卷)平面直角坐标系中， O 是坐标原点，已知两点A (3， 1)，B (－1，3)，若点C 满足OC OA OB αβ=+ ，其中α，β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程是( )
A ．3x ＋2y －11＝0
B ．(x －1)2＋(y －2)2=25
C ．2x －y ＝0
D ．x ＋2 y －5＝0 要点精析：I 设OC =(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB =(－1，3)， α·
OA =(3α，α)，βOB =(－β，3β)，又αOA +βOB =(3α－β，α+3β)， ∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴ 33x y αβαβ=-⎧⎨=+⎩
， 又α＋β＝1，因此得x ＋2y ＝5，所以选D ．
思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法． 例2．(2003年江苏卷)已知常数a >0，向量c =(0，a )，i ＝(1，0)，经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A (0，a )以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ，试问是否存在两个定点E ，F ，使得|PE |＋|PF |为定值？若存在，求出E ，F 的坐标；若不存在，说明理由．
要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．
解：根据题没条件，首先求出点P 满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得P 到两定点的距离之和为定值． 因为i =(1，0)，c ＝(0，a )， 所以c +λi =(λ，a )，i －2λc ＝(1，－2λa )．
因此直线OP 和AP 的方程分别为λy =ax 和y －a =－2λax ，
消去参数λ，得点P (x ，y )的坐标满足y (y －a )=－2a 2x 2，
整理得222
()211()82
a y x a -+= ① 因为a >0，所以得
（1）当a =2