微分几何曲面论曲面的第二基本形式

(5 )若(曲 S ):z 面 f(x ,y)则 .r {x ,y ,z (x ,y )， }
于 r r x xx 是 {{0 1 ,,0 0,,rp }} ， ， r rxyy{{00,,10,,qs}}， ， ryy{0,0,t}，
其
中 p
f ，q x
fy，r 2 xf2， sx2fy， t2 yf2 .
(1 4 a 2 x 2 )d2 x 8 a 2 xy d (1 4 x a 2 y d 2 )d2 y .y
I I r d2 x 2 s dx dty d2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
2 a
d2x
2 a
d2y
14 a2x24 a2y2
14 a2x24 a2y2
E r 2 R 2c2 o,F sr r 0 ,G r 2R 2,
n rr
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
{c c o o ,c ss o s s i,s n i} n
与定义比较可知：
L r u n u r u n u , M r un v r u n v rvnu, N r v v n r v n v . ( 4 ) 事I 实 上I ，d n d n r d r 0 ， d n d r n 2 d r 0 ， 故 I n I 2 d r d n d r .
例4 在球面上验证梅尼埃定 理. 证：
(C )C . P
n (C 0 )
3.3 杜邦(Dupin)指标线
II Ld 2u 2Md uNd2 dvv knI Ed 2u 2Fd uG d2 d v v
随着方d向 u:dv的变化而变 . 化 ( S )
P.
rv
N( x, (d ) ru
y)
k0
II I
,法截线 n 的向 正侧弯曲,反时 之取取 负号 正 .
kn
II I
, 设曲面上 (C)和 的法 曲 (C 截 0)线 相 线 切P于 ,
kcos II, 其 中 k为曲(C线 )在P点的 曲 . 率
I
所以
kn kcos 梅尼埃定理
若
令R
1 ,
k
Rn
1 kn
，则
RRncos
其中R是曲线(C)的曲率半径，
即 E2 x2F xG y2 yE2 d2 u Fd u Gd2dvv Ld 2u 2Mdu Nd 2dvv
P/N d /)/ (r / u d u r v d, v d:u d vx:y, 上式化为：
E2x 2Fx G y2y E2x 2Fx G y2y L2x 2M xN y2y
L2x 2M xN y2y1
(1 4 x 2 )d2 x 1x 6y d (1 x 1y d 2 6 )dy 2 .y
I I r d2 x 2 s dx dty d2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
2
d2x
4
d2y
14x28y2
14x28y2
kn(0,0) III(0,0) 2d d2 2 x x d 4d2y2y.
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
复习
二次曲线 F ( x ,y ) a 1 x 2 1 2 a 1 x 2 a 2 y 2 2 2 a 1 x 3 2 a 2 y 3 a 3 0 3 1. 渐近方向
下 面Q 计P算n .(Q P P P)n Qn P P P n PPn
[ r ( s s ) r ( s )n ] [r s1( r ) (s)2]n
1(n r n )(s)2
2
1n 2
r(2s)2
1 2
n
rds2(s0时)
即 2 n r d2.s
rr rddut2ddr2 us[r ru v ddu d dvsu sr uvd d]v sd du sr ud d2u 2s [r vud du sr vvd d]v sd dv sr vd d2v 2s
(2)若L, M, N不全为零，
当I2
L
M
MLNM20时杜， 邦 指 标 线 为 椭 圆 N
.
当I2
L
M
MLNM2 N
0时， I3
0，
杜邦指标线为一对的 共双 轭曲线 .
当I2
L
M
MLNM2 0时， L M 0,
N
MN0
杜 邦 指 标 线 为 两 条 平 行直 线.
曲面上点的分类 （ 1 ）如 LN M 果 20 ， 则称点P为曲面的椭圆. 点
3.1 曲面的第二基本形式
1.切平面到曲面上点的无穷小有向距离
. n
P .( s )
P(s((S C )):s:r u ) r u( (u s,)v v) , C v(2 s)或 r r [u (s)v ( ,s)]
r(s)
.Q
O . r(ss)
QP n， (其为 中 平 到(面 S 曲 )上面 P 的 的) 点 离
r u ( d d u ) 2 u s r ud d vd d u s r v v sd d ud d u s r v v s ( d d v) 2 v s r u d d 2 u 2 s r v d d 2 v 2
令 则 n L 2 r d r u n 2 s n n ( r , r u d M u [ r 2 u n d ) r u d u n 2 s 2 n u d 2 , 2 v N r 2 r u ( u r d u u L r v n ) v v d n d 2 r . v v u 2 d u M 2 ( v u r v r u d d n 2 v ) u u d v N d 2 d d r v d 2 dv 2 v v v ] v v
EGF2
EGF2
EGF2
( 3 ) ru,rv在 切 平 面 r u 上 n 0 ， ,r vn 0 ， 上 式 两 边 关 u,v于 求 微 分 得 ： r r u un u n v r r u u n n u v 0 0 ,,r r v vv u n n r r v vn n v u 0 0 ,,
定义 在 P点沿(切 d)d方 :ud上 向 v 取N ， 一点
使PN
1 kn
(kn 0), 随切方向 (d)改变，
N点的轨迹称为曲(面 S)在P点的杜邦指.标线 方程 在标 {P ;r u,架 r v}下 P， N xr uyr v,
(xr ru u2x 2y rv2)r2 ur vk1xn y r IvI2Iy2III
此时，杜邦指标线为一椭圆. （ 2 ）如 LN M 果 20 ， 则称点P为曲面的双曲. 点
此时，杜邦指标线对 为共 一轭双曲.线
（ 3） 如 LN 果 M20，L 但 ,N,M 不 全 为 零 ， 则称点P为曲面的抛物. 点 此时，杜邦指标线对 为平 一行直.线
（ 4 ）L 如 N 果 M 0 ， 则称点P为曲面的平. 点 此时，杜邦指标线不存 在.
称为曲面的第二类基本 量.
注 第二基本形式的几何意 义：II2.但不是正定的 .
计算公式：
(1
)
用定义计算：
L r u n , u M r u n , v N r v n v
( 2 ) n ru rv rurv
ru rv EGF2
L(ruu,ru,rv), M (ruv,ru,rv) ,N (rvv,ru,rv) .
Mrn 0,
Nrn R,
球面的第二基本形式为：
I I (R co 2d s2R2 d ).
例2 计算抛物 z面 a(x2 y2)的第一和第二基 . 本
解：pz2a， xqz2a， y
x
y
r x 2z 22a， s x 2 zy0 ， t y 2z 22a.
I (1 p 2)d2 x2pq d (1 x q 2) d d2 y y
I (1 p 2)d2 x2 pq d (1 x q 2) d d2.y y
n
rx ry
{ p,q,1}
.
rx ry 1 p2 q2
Lrx x n
1
r p2
q2
,
Mrxyn
s ,
1 p2 q2
Nryyn
t ,
1 p2 q2
I I r d2 x 2 s dx dty d
1 p 2 q 2
则 0n ,
0 ( 0 ,n ) 0 或 , k0

II I
,
即k0
II I
,
法 法截 截线 n n 线 的 的向 向 正 负侧 侧弯 弯曲 曲 ,. 时 时 取取
定义 (法 kn曲 率 )k k 曲0 0 面 法 法 在截 截 给定 n n 线 线 的 的 点向 向 负 正 沿一 的侧 侧 方 法弯 弯 向 曲k率 n为 曲 曲：
即
kn kcos
梅尼埃定理
法截面
RRncos
例3 求z 曲 x2 面 2y2 在 (0 ,0 点 )沿d 方 :x d的 向 y 法 .
解： pz2x，qz4y，
x
y
r x 2z 22 ， s x 2 zy0 ， t y 2z 24. I (1 p 2)d2 x2pq d (1 x q 2) d d2 y y
3.2 曲面上曲线的曲率
P.
P.
1.曲面上曲线的曲率
由伏雷内公式， r k,
(S ):r r(u ,v)
其 则 r 中 kn 为 k 曲 (n C线 )在 kcP点 os, 的 曲 . 率
又n rndd2sr2
n d 2r ds2
II I
.
. P(C
)
r u r u [(u s()sv), v(,vs()s)]
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
例1 求r 球 {R c面 o cs o ,R s c o ss i,n R s i} n
的第二 . 基本形式
解：r { R cs o , i R c s n c o , 0 o } ss r { R sc i, n R o ss i s , R n i c n } o
又 r { R c c o , R o c s s s o , 0 } is n r r { { R R s c s i c n o , i , R s R n o c c s i s n , o s 0 o } , R i s s n s } in
Lr n Rco2s,
第二章
曲面论
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
30.06.2020
L2 x2M x N y 2 y 1
注 (1)杜邦指标n 的 线选 的.取 方无 程关 与
(2)杜 邦 指 标 线 的表 方示 程P以 为 一中 般心 的 有 心.二 (3)杜邦指标线是在切 上平 的面 一条曲 . 线
形状
L2x 2M x N y2 y1
(1)若 LMN0， 杜邦指标线不存在 .
Rn是法截(C线0)的曲率半称径为， 法曲率半径 .
定理 (梅尼埃定理 )
法截线
曲面曲线 (C )在给定点 P的
曲率中心 C就是与曲线 (C ) 具有共同切线的法截线 (C 0 )
S(C 0 )
P. (d ) R
上同一点 P的曲率中心 C 0在 曲线 (C )的密切平面上的投影 .
(C ) n C C 0 密切平面
r n
kco sIIIL Ed 2 2 d u 2 2 u M Fdd u G u N dd 2 2 d d vvv v
2.法截线、法曲率
法截线
法截线
0
S
0 P
.
n(C
0)
(d)du:dv
S
P.
(C 0 )
(d)du:dv
n
法截面
法截面
设法(截 C0)在 线点 P的曲率 k0,主 为法向0量 , 为
2.曲面的第二基本形式
定义 关于du,dv的二次微分形L 式d 2u 2MduNd2 dvv
称为曲面的第二基本形 式.用II表示.
即 I n I r d 2 n s d 2 r L 2 2 M d u N d 2
其中
L r u n , u M r u n , v N r v n v