高中物理竞赛讲义 2-4麦克斯韦方程组

属棒，距圆心O为h，求
解： 方法一
i
L
E dl
AB
在棒上沿A
B方向任一点取
dl , 则
d i E感dl cos
B l
×× × × ×× × × × × × × × × × × × ×× × ×感 ×
AB
r dB h E感 cos dl dl A 0 2 dt r h dB l 1 dB dl hl 0 2 dt 2 dt
奥 赛· 电磁理论 麦克斯韦方程组
中学生物理奥赛理论培训(2)
武汉大学 徐斌富
静电场的基本定理
导体和电介质 静磁场的基本定理 麦克斯韦方程组
奥 赛· 电磁理论 麦克斯韦方程组
第四单元 麦克斯韦方程组
4.1 感生电场 4.2 自感与互感 4.3 磁能密度
4.4 位移电流 4.5 麦克斯韦方程组
4.6 电磁波
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
4.1.1 电磁感应的基本定律
1. 楞次定律
闭合线圈中Ii产生的磁通量（ Bi线数）
v
Bi
总是反抗原磁通量（ Bo线数）的变化 d 2.法拉第电磁感应定律 i dt
Ii
B0
4.1.2. 与动生电动势相联系的非静电力
1. 动生电动势 当整个闭合导体回路或闭合导体回路的一部分以及当一段孤 立导体在稳恒磁场中运动时，回路或导体内产生的感应电动势。
环形 真空室
麦克斯韦方程组 4.2 自感和互感
4.2.1 自感现象
1.定义
it

因线圈中电流变化而线圈自身引起感生电动势的现象，称为 自感现象，此种感生电动势又称为自感电动势。
2.实验演示 3. 规律
（1）自感系数 L
通电自感现象 (动画)
断电自感现象 (动画)
B o nI I 或 LI L I 式中，L为自感系数，仅与线圈的形状、大小、匝数及周围介
5. 电子感应加速器简介
4.1.3 与感生电动势….
100MeV的小型电子感应加速器 中
电子感应加速器中的 B有下述几种作用：
电磁铁重达130t; 激磁线圈单位长度匝数 为82 激磁电流功率近 500KW ;电流峰值约 1.4 A 频率f为60Hz; 环形真空室平均半径约 1.5米
d d 1.8 i 430(V ) 3 dt dt 4.2 10 T 100MeV , 在 内23万圈，约1.2千公里. 4
铁 芯 磁场 B 线圈
fm
v 0.999986c
⊕ ⊕ ⊙ ⊙
v
○ ○ v ○ v ○
fm
Fra Baidu bibliotek
v
fm
fm
电 子 束
to

to
o
1 2 Ri dt LI 2
o
A
× ×× × ×
h
E

dl × ×l ×
B
L
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
4.1.3 与感生电动势….
B 方法二： i S t dS 取回路ABOA，则 B dB 1 dB i dS dS hl × × S t dt S 2 dt
R ( ) O ( )
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
4.1.3 与感生电动势相联系的非静电力
1. 感生电动势 当一段相对观察者静止的导体或一个导体
J .C.Maxwal
回路处于随时间变化的磁场中时，在导体内产生的感应电动势
2.与感生电动势相联系的非静电力 Fk
1）感生电场的假设：
感生电场施于导体中电荷的力就是与感生电动势相联系的 Fk
d 1 i B L2 dt 2
―–‖表示 i 的方向为逆时针, 即
× × × × × ×
× × × × × ×

R×
×
× ×
× × × × × × × ×

× × × ×● × × × × × ×
o × × ×
×
a × ×
× ×
× × × × × × × × × × × × × ×
1、定义
两个线圈的电流可以互相提供磁通，当电流变化
时互相在对方回路中激起 感生电动势的现象，称为
互感现象，此种感生电动
势称为互感电动势。
12
21
I1 I2
麦克斯韦方程组 4.2 自感和互感
2、规律
4.2.2 互感现象
21 M 21I1 或 12 M12 I 2
且 M12 M 21 M
左边 2 rE感
dB r dB 右边 r E感 dt 2 dt
2
方向逆时针（r R)
E感
（2）r>R，取回路l2，同理可得
R 2 dB E感 2r dt 方向逆时针（r R)
o
R
r
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
感 的计算 4、
4.1.3 与感生电动势….
dB 例4.4在上例中， 均匀速率增加，现在横截面内放置长为l的金 dt
F e(u v ) B
F ev B k i Ek dl dl dl (v B) dl q e 例4.1 在与均匀磁场 B 垂直的平面内，有长为 l 的直导线以速度
例4.3
B l E感 dl l Ek dl S t dS B 按 l E感 dl S t dS 求E感的分布
o
E静 dl 0
l
常数, 求 E的分布
dB 半径为R的长直螺线管中通有变化的电流使 dt 为大于零的
1 L dI dt
dI L大， 小，电磁状态参数 I 的变化困难，反之， dt
较容易；自感现象的这种保持原有电流不变的性质，
称为电磁惯性，L为回路“电磁惯性”大小的量度。
麦克斯韦方程组 4.2 自感和互感
4、L的计算步骤 （1）设回路通有电流 I （3）根据定义 L
I
4.2.1 自感现象
（2）计算回路中 B 的分布和
例4.5：有一长直螺线管，长为 l，横截面积为S，每单位

l
2
s
长度上的匝数为n，管中介质磁导率为 ，求L。
解： nl1 (nIS )nl n VI
2 L n V I
麦克斯韦方程组 4.2 自感和互感 4.2.2 互感现象
N12 L1 o S l
2 2 N N1 N 2 2 2 1 N2 L1L2 o 2 S o S M 21 M l l
一般地
M k L1L2 (0 k 1) 为耦合系数
麦克斯韦方程组 4.3 磁能密度
R
4.3.1 自感储能
1.电路
当 k 与1接通时， i : 0
×
× × × × ×
i AB BO OA
显然 BO OA 0
AB 1 dB i hl 2 dt
× × × × × ××
E感 × × × × × × ×
o
A
×
h × × ×
L
×

dl × ×l ×
B
方向A() B()
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场

to
o
idt
麦克斯韦方程组 4.3 磁能密度
1 2 LI 2
4.3.1 自感储能
为电源反抗自感电动势所做的功, 将其他形式的
能量转化为磁能

to
o
Ri 2dt 为回路中的导体所放出的焦耳热。
di L Ri 或 dt
2
当 k 接通 2 时有：
即

0
I
Lidi Ri 2dt
0
控制电子在园形路线上运动; 使电子在这条园形路线上加速 使电子运动的轨道半径保持恒定 在开始时把电子引入轨道，达满载能量后引出轨道 提供一恢复力来防止电子沿铅直或径向离开轨道的任何趋向
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
4.1.3 与感生电动势….
1.8 sin t
T 4.17 10 3 S 4

在距O端 r 处取 dr ，其线速度的大小为
d i (v B) dr vBdr
L L 0 0
v r
R ×× × × ×× ×× × × ×× ×× × × × × × × × × ×× × × ×× × × ×× a o● × × ×× × × × × × × ×× × × × × × × ×× × × × ×
变化的磁场在其周围会激发一种电场，称为感生电场.
2）静电场与感生电场的异同点
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
相同点：对处于场中电荷有作用力
4.1.3 与感生电动势….
F感 qE感 qEk
不同点：

S
q E静 dS

S
E感 dS 0
3. E感的计算
质有关. 单位：亨利(H)
1mH 103 H 1H 106 H
麦克斯韦方程组 4.2 自感和互感
d dI dL 又 L L I dt dt dt
4.2.1 自感现象
L dL 而 0 L dt dI dt
（2）L的物理含义——电磁惯性 若两个线圈 L 相同，则有
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
4.1.3 与感生电动势….
l2
解：（1）r<R, I，B 为轴对称分布。
由 E感 dl
l
l 1 ×××× ×
××××××× o ● ××× ×××× ××××× ×××
×××
设 l1为逆时针绕向（亦设为电场线绕向）。
S
r
B dS 可得 t
麦克斯韦方程组 4.2 自感和互感
I1 引起的穿过外层线圈 N2 的全磁通量为：
4.2.2 互感现象
N1 N 2 S 21 N 2 B1S o I1 l
（2）讨论 M= f (L1,L2)：
M 21
21 NN o 1 2 S I1 l
2 N2 L2 o S l

i
L K

R
，在 i 变化不是太快的情况下，
仍可用基尔霍夫定律来研究回路中电流增长时能量转换的情况。
2.计算
di L Ri 或 idt Lidi Ri 2dt dt to to 1 2 2 i d t LI Ri dt o o 2
为电源在 0 to 这段时间内所做的功
3、M的计算步骤（类似于L的计算）
4.2.2 互感现象
例.4.6：在真空中有一长螺线管，上面紧绕着两个长度
为 l 的线圈，内层线圈的匝数为N1，外层线圈的为N2，
求 M，并讨论 M= f (L1,L2)。
解： （1）求 M 设内层
线圈中通有 I1，I1在螺线
N1
N2
管中产生的磁场为
0
l
s
N1 B1 o I1 l
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
2.与动生电动势相联系的非静电力
4.1.2. 与动生电动势….
运动电荷在磁场中受到洛仑兹力 可以证明 F 的两个分量对电子所作的功之和为零，洛仑兹力 是起传递能量的作用，即外力克服 F 所作的功通过 Fk 对电子作 正功而转化为导体的动生电动势。 3. 动生电动势的计算公式
式中,M为互感系数,仅与两个线圈的几何形状,大小,匝数 及周围介质相对位置有关, M的单位与L的单位相同。
d 21 dI1 又 21 M dt dt
M
或

21
d12 dI 2 12 M dt dt
12
dI1 / dt
dI 2 / dt
麦克斯韦方程组 4.2 自感和互感
v
运动,求 i
解： i b ( )
a()
(v B) dl Bvl
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场
4.1.2. 与动生电动势….
例4.2：在与均匀磁场 B 垂直的平面内，有长为L的直导 线OR，且绕O以 转动，转轴与 B平行，求 i
解： 方法一：按 i (v B) dl 计算； 取回路 ORaO

i vBdr B
1 2 rdr B L 2
R ( ) O ( )
―–‖表示 i的方向为
麦克斯韦方程组 4.1 感生电场 解：
4.1.2. 与动生电动势….
d 方法二：按 i 计算, 取回路 aORa (顺时 dt
1 2 针)，则 BS B L 2