网络图论
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的集合，称为网络N 的图，或线形图，用符号G 代表。
网络的图只表明网络中各支路的联接情况，而不涉及 元件的性质。
有向图 ： 标明各支路参考方向的图称为有向图。
子图(subgraph) ： 如果图Ga中的每一个节点和支路都是图G中的节点和支 路，即图Ga是图G的一部分，则Ga叫做G的子图。 补图（complement subgraph）： 如果图G的子图Ga和Gb包含了G的所有支路和节点， 而且Ga和Gb又没有公共的支路，则Ga和Gb互为补图。
C1 1 0 01 0 1
Q C2 0 C3 0
1 0
01 10
1 1
1
1
Q [In F ]
F——基本子阵（fundamental submatrix)
§1-7 基本回路矩阵
基本回路矩阵(fundamental loop matrix)
b1 b2 b3 b4 b5 b6
1 1 1 0 1 0 0
B
2
0
1 1 0 1 0
3 1 1 1 0 0 1
B [E I l ]
§1-8 矩阵Q与矩阵B之间的关系
12 3
b1 b2 b3 b4 b5
C1 1 0 0 1 0 QBT C2 0 1 0 1 1
C3 0 0 1 0 1
b6 1
1 1
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0 1 0
0 1 1 0 1
1 b1 1 b2
对于具有s个分离部分的非连通图，符合下列条件的 支路集叫做割集 。
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以 保留)后，原非连通图留下的图形将具有s+1个分离部 分；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原非连通图留下的图形仍然只具有s个 分离部分。
基本割集(fundamental cut set) ： 只包含一条树支的割集叫做基本割集 。 由每一树支决定的基本割集是唯一的。
路径(path)： 由m条不同的支路和m+1个不同的节点依次联接成的一 条通路称为路径。
回路 (loop):
如果路径的始端节点和终端节点重合，这样的路径称 为回路。
连通图(connected graph)和非连通图(disconnected graph) :
在图G中，如果任意两个节点之间至少有一条路径存 在，则此图称为连通图，否则就称为非连通图。
连支数等于全部支路数b减去树支数n，因基本回路
的数目等于连支数，所以，具有nt=n+1个节点、b条 支路的图G，恒具有(b-n)个基本回路。
对于具有nt个节点、b条支路、s个分离部分的非连通图， 在每一分离部分中选一树，则总树支数(即基本割集数) 为nt-s，总连支数(即基本回路数)为b-(nt-s)=b-nt+s。
1 0
b3 b4
0
b5
0 0 1 b6
(1) 1 0 (1) 1 0 0 0 (1) 1 1 (1) (1) 1 0 0 0 0
0 (1) 1 1 (1) 0 0 0
QBT 0
BQT 0
[In F][EIl ]T
ET [In F][ Il
]
0
ET F 0
F ET
§1-3 割 集
割集(cut set) ：
任一连通图G中，符合下列两个条件的支路集叫做图 G的割集。
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以 保留)后，原连通图留下的图形将是两个彼此分离而 又各自连通的子图；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连通的。
E F T
§1-9 对偶图
设有一个连通的平面图G，具有n+1个节点、b条支 路、l(=b–n)个网孔。如果还有另一个连通的平面图
Gˆ 满足下列条件，则称图G与图 Gˆ 互为对偶图。 (1) G的网孔（包括外网孔，总共是l+1个）与 Gˆ
的节点一一对应，Gˆ 的网孔（包括外网孔）也与
G的节点一一对应；
(2) G的支路与 Gˆ 的支路一一对应，而且G中任意两个网孔(包括 外网孔)之间的公共支路对应于 Gˆ 中两相应节点间的支路；
反之亦然。
由此可知：G的对偶图具有b条支路，l+1个节点、n+1个网孔(包 括外网孔)。
平面图(planar graph)：
凡是能在一个平面上绘出，而又不致有两条支路在一 个非节点处交叉的图，称为平面图。
一个平面图的网孔数m等于图的基本回路数l 。
为什么要研究图的基本割集数目和基本回路数目？
§1-5 关联矩阵
节点-支路关联矩阵(node-to-branch incidence matrix)
§1-4 图的基本回路数和基本割集数
一个节点数为nt=n+1支路数为b的连通图G，无论如 何选树，恒具有n个基本割集和b-n个基本回路。
把n+1个节点全部连通以构成一种树时，至少需要n 条支路。若支路数多于n，则必形成回路，而不成 其为树。因为基本割集数等于树支数，所以，具有 nt=n+1个节点的图G，恒具有n个基本割集。
b1 b2 b3 b4 b5
① 1 1 0 0 0
Aa
②
③
0 0
1 0
1 0
1 1
0
1
④ 1 0 1 0 1
若以节点④为参考节点
1 1 0 0 0 A 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1
§1-6 基本割集矩阵
基本割集矩阵(fundamental cutset matrix)
b1 b2 b3 b4 b5 b6
电路原理
电子教案
（下册）
第一章 网络图论
本章主要介绍网络图论的基本知识 本章重点：
有向图、树、树支、连支、基本割集、基本回路等概念。 关联矩阵、基本割集矩阵、基本回路矩阵。
§1-1 网络的图
线形图 ：
将网络中的每一个元件(即支路)用一条线段代替，称之为支 路；将每一个元件的端点或若干个元件相联接的点(即节点) 用一个圆点表示，并称之为节点。如此得到的一个点、线
§1-2 树和树余·树支和连支
树(tree)：
树是一个连通图的子图，该子图中包含了连通图G
的全部节点，但不包含任何回路。
树余(cotree) ：
连通图中与树互补的子图叫做树余。
树支(tree branch)： 树中的支路叫做树支。
连支(link) ： 树余中的支路叫做连支。
基本回路(fundamental loop)： 只包含一条连支的回路叫做基本回路。 基本回路是唯一的。
网络的图只表明网络中各支路的联接情况，而不涉及 元件的性质。
有向图 ： 标明各支路参考方向的图称为有向图。
子图(subgraph) ： 如果图Ga中的每一个节点和支路都是图G中的节点和支 路，即图Ga是图G的一部分，则Ga叫做G的子图。 补图（complement subgraph）： 如果图G的子图Ga和Gb包含了G的所有支路和节点， 而且Ga和Gb又没有公共的支路，则Ga和Gb互为补图。
C1 1 0 01 0 1
Q C2 0 C3 0
1 0
01 10
1 1
1
1
Q [In F ]
F——基本子阵（fundamental submatrix)
§1-7 基本回路矩阵
基本回路矩阵(fundamental loop matrix)
b1 b2 b3 b4 b5 b6
1 1 1 0 1 0 0
B
2
0
1 1 0 1 0
3 1 1 1 0 0 1
B [E I l ]
§1-8 矩阵Q与矩阵B之间的关系
12 3
b1 b2 b3 b4 b5
C1 1 0 0 1 0 QBT C2 0 1 0 1 1
C3 0 0 1 0 1
b6 1
1 1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0 1 0
0 1 1 0 1
1 b1 1 b2
对于具有s个分离部分的非连通图，符合下列条件的 支路集叫做割集 。
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以 保留)后，原非连通图留下的图形将具有s+1个分离部 分；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原非连通图留下的图形仍然只具有s个 分离部分。
基本割集(fundamental cut set) ： 只包含一条树支的割集叫做基本割集 。 由每一树支决定的基本割集是唯一的。
路径(path)： 由m条不同的支路和m+1个不同的节点依次联接成的一 条通路称为路径。
回路 (loop):
如果路径的始端节点和终端节点重合，这样的路径称 为回路。
连通图(connected graph)和非连通图(disconnected graph) :
在图G中，如果任意两个节点之间至少有一条路径存 在，则此图称为连通图，否则就称为非连通图。
连支数等于全部支路数b减去树支数n，因基本回路
的数目等于连支数，所以，具有nt=n+1个节点、b条 支路的图G，恒具有(b-n)个基本回路。
对于具有nt个节点、b条支路、s个分离部分的非连通图， 在每一分离部分中选一树，则总树支数(即基本割集数) 为nt-s，总连支数(即基本回路数)为b-(nt-s)=b-nt+s。
1 0
b3 b4
0
b5
0 0 1 b6
(1) 1 0 (1) 1 0 0 0 (1) 1 1 (1) (1) 1 0 0 0 0
0 (1) 1 1 (1) 0 0 0
QBT 0
BQT 0
[In F][EIl ]T
ET [In F][ Il
]
0
ET F 0
F ET
§1-3 割 集
割集(cut set) ：
任一连通图G中，符合下列两个条件的支路集叫做图 G的割集。
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以 保留)后，原连通图留下的图形将是两个彼此分离而 又各自连通的子图；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连通的。
E F T
§1-9 对偶图
设有一个连通的平面图G，具有n+1个节点、b条支 路、l(=b–n)个网孔。如果还有另一个连通的平面图
Gˆ 满足下列条件，则称图G与图 Gˆ 互为对偶图。 (1) G的网孔（包括外网孔，总共是l+1个）与 Gˆ
的节点一一对应，Gˆ 的网孔（包括外网孔）也与
G的节点一一对应；
(2) G的支路与 Gˆ 的支路一一对应，而且G中任意两个网孔(包括 外网孔)之间的公共支路对应于 Gˆ 中两相应节点间的支路；
反之亦然。
由此可知：G的对偶图具有b条支路，l+1个节点、n+1个网孔(包 括外网孔)。
平面图(planar graph)：
凡是能在一个平面上绘出，而又不致有两条支路在一 个非节点处交叉的图，称为平面图。
一个平面图的网孔数m等于图的基本回路数l 。
为什么要研究图的基本割集数目和基本回路数目？
§1-5 关联矩阵
节点-支路关联矩阵(node-to-branch incidence matrix)
§1-4 图的基本回路数和基本割集数
一个节点数为nt=n+1支路数为b的连通图G，无论如 何选树，恒具有n个基本割集和b-n个基本回路。
把n+1个节点全部连通以构成一种树时，至少需要n 条支路。若支路数多于n，则必形成回路，而不成 其为树。因为基本割集数等于树支数，所以，具有 nt=n+1个节点的图G，恒具有n个基本割集。
b1 b2 b3 b4 b5
① 1 1 0 0 0
Aa
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若以节点④为参考节点
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§1-6 基本割集矩阵
基本割集矩阵(fundamental cutset matrix)
b1 b2 b3 b4 b5 b6
电路原理
电子教案
（下册）
第一章 网络图论
本章主要介绍网络图论的基本知识 本章重点：
有向图、树、树支、连支、基本割集、基本回路等概念。 关联矩阵、基本割集矩阵、基本回路矩阵。
§1-1 网络的图
线形图 ：
将网络中的每一个元件(即支路)用一条线段代替，称之为支 路；将每一个元件的端点或若干个元件相联接的点(即节点) 用一个圆点表示，并称之为节点。如此得到的一个点、线
§1-2 树和树余·树支和连支
树(tree)：
树是一个连通图的子图，该子图中包含了连通图G
的全部节点，但不包含任何回路。
树余(cotree) ：
连通图中与树互补的子图叫做树余。
树支(tree branch)： 树中的支路叫做树支。
连支(link) ： 树余中的支路叫做连支。
基本回路(fundamental loop)： 只包含一条连支的回路叫做基本回路。 基本回路是唯一的。