微分中值定理与导数的应用习题.docx

第四章微分中值定理与导数的应用习题

§ 微分中值定理

1．填空题

（１）函数 f ( x)arctan x 在 [ 0, 1] 上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是4

．

（２）设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 5) ，则 f (x) 0 有3个实根，分别位于区间 (1,2), (2,3), (3,5) 中．

2．选择题

（１）罗尔定理中的三个条件: f (x)在[ a,b]上连续，在(a, b)内可导，且f ( a) f (b) ，是 f (x)在 (a,b) 内至少存在一点，使 f () 0 成立的（B）．

A．必要条件B．充分条件C．充要条件 D ．既非充分也非必要条件

（２）下列函数在[1,1] 上满足罗尔定理条件的是（ C ）．

A. f ( x)e x

B. f ( x) | x |

C. f ( x) 1x2

D.

f ( x)x sin

1

, x0 0,

x

x0

（３）若 f ( x) 在 ( a,b) 内可导，且 x1、 x2是 ( a, b) 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B）．

A． f ( x2 ) B． f ( x1 )f ( x1 )(x1x2 ) f()(a,b)

f ( x2 )( x1x2 ) f ()在 x1 , x2之间

C． f ( x1 ) D．

f ( x2 )f ( x2 )(x2x1 ) f()x1x2 f ( x1 )(x2x1 ) f()x1x2

3．证明恒等式：arctanx arc cot x(x) ．

2

证明：令 f (x) arctan x arc cot x ，则 f

11

0，所以 f ( x) 为一常数．( x)

2

1 x2

1 x

设 f ( x) c ，又因为 f (1)，

2

故arctan x arc cot x

2

(x) ．

4．若函数f (x)在(a, b)内具有二阶导数，且 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) ，其中 a x1x2

x3 b ，证明:在 ( x1 , x3 ) 内至少有一点，使得 f ( ) 0．

证明：由于 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上连续,在 (x1 , x2 ) 可导,且 f (x1 ) f ( x2 ) ，根据罗尔定理知，存

在1( x1 , x2 ) ，使 f ( 1 )0．同理存在2( x2 , x3 ) ，使 f ( 2 )

0 ．又 f ( x) 在 [1, 2]上

符合罗尔定理的条件，故有( x1 , x3 ) ，使得 f() 0．

5．证明方程1x x2x3

0 有且仅有一个实根．26

证明：设 f ( x)1

x2x3

则 f (0) 10, f (2)

1

0 ，根据零点存在定理至x，

3

26

少存在一个(2,0) ，使得 f () 0．另一方面，假设有x1 , x2(, ) ，且 x1x2，使

f ( x1 ) f (x2 )0 ，根据罗尔定理，存在(x1 , x2 ) 使 f (

12

0 ，这与) 0，即1

2

1

1 2

0 矛盾．故方程1

x2x3

0 只有一个实根．

2

x

6

2

6．设函数f ( x)的导函数f( x) 在 [ a,b] 上连续，且 f ( a) 0, f (c)0, f ( b) 0，其中 c 是介

于 a, b 之间的一个实数．证明：存在(a, b) ,使 f( )0成立.

证明：由于 f (x)在 [a,b]内可导，从而 f ( x) 在闭区间 [ a,b] 内连续，在开区间( a,b) 内可导．又因为 f (a)0, f (c)0 ，根据零点存在定理，必存在点1( a, c) ，使得 f ( 1 )0．同理，存在

点

2

( c, b)，使得 f ( 2 )0 ．因此 f (x)在 1 ,2上满足罗尔定理的条件，故存在( a, b)，使

f ( )0成立．

7.设函数 f ( x)在 [ 0,1]上连续 ,在 (0,1)内可导 .试证 : 至少存在一点(0,1) ,使

f () 2 [ f (1) f (0)].

证明：只需令g( x)x2，利用柯西中值定理即可证明.

8．证明下列不等式

（１）当

x

时， sin x

cos x ．

x

证明： 设 f (t ) sin t t cost ，函数 f (t ) 在区间 [0, x] 上满足拉格朗日中值定理的条件，且

f (t ) t sin t , 故 f (x) f (0) f ' ( )( x 0), 0 x , 即

sin x x cos x

x sin

0 ( 0

x

)

因此，当0

x

时， sin x cos x ．

x

（２）当

a

b 0 时，

a

b

ln

a

a b ．

a

b

b

证明：设 f ( x)

ln x ，则函数在区间 [b, a] 上满足拉格朗日中值定理得条件，有

f (a)

f (b)

f ' ( )(a b), b

a

因为 f '

( x)

1 ，所以 ln a 1

( a b) ，又因为 b

a ，所以 1

1 1 ，从而

x b

a

b

a b ln

a

a b ．

a

b

b

§ 洛毕达法则

1． 填空题

（１） lim cos5x

5

3 x

cos3x

2

1

)

ln(1

（２） lim

x

x

arctan x