变分原理与变分法

变分原理与变分法

1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）

一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理:

昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体;

对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。

变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。

Exa mp les

① ②

Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理；

在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方

法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义

定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的

（映射）关系

第一章

光线最短路径传播；

光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）；

AE+ EB A AC +CB

③

特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R }

Exa mp les

① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域

泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使

i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2

ii.弹性地基贮存的能量： n f

1 J 2

=一 J kw dx

2 0

iii.外力位能：

口 l l =-0 qwdx

iv.系统总的势能：

)2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4

；|A L = max 2 a ij ； I A

2

仁

)12

②函数的积分：函数空间i 数域

b

J = a f n （X ）dX

fn U D

Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ：

①判定下列那些是泛函：

c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0)

f i=ma 少（x ）i ；

ex ②试举另一泛函例子。

物理问题中的泛函举例

q(x)

/■'■'I

rmTrfT

① 弹性地基梁的系统势能 ■

d 丨 L

l

d 2

w 2

□卡E J(

dxr)

2

Tkw - qW}dx; x = 0

d

w = 0 dx

x

x = 0,固支；x =

系统势能泛函取最小值。

② 最速降线问题

问题：已知空间两点A 和B, A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到B 所需时间最短(忽略摩擦 力)。 作法：

i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B 点坐标(a, b),

设曲线为 y = y(x),并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = b

ii. 建立泛函：

设P(x , y)是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得：

2mv

2

=mgy 二 v =^2®

泛函驻值提法：在0W x < a 的区间内找一个函数y(x)使其满足端点几何条 件并使T 取

最小值。

③ 圆周问题

问题：在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。

作法：

i.假设所考虑的曲线用参数形式表示：

x = x(s), y = y(s)

s 为参数。取S 1为曲线上的某一定点，则坐标表示X i =x(s i ), y i =y(s i ),因曲 线

是圭寸闭的，必存在一个 s 2点使X 2 = x(s 2), y 2 = y(s 2)与点s i (x i,y i )重合。

命ds 为曲线弧长的微分，有：

ds -J 円 dx ds

匚— U

=V = 4 2 gy dt — 1 — —

厨

重物从A 点滑到B 点的总时间:

ii.该封闭曲线的周长:

2

+（¥）2

ds

该曲线所围成的面积:

R

= Jb dxdy

,S 2

••• R=1J xdy-ydx=2

S

1

泛函驻值的提法：等周问题即是在满足端点条件

X （S 1）= x （S 2）, y

（s i ） = y （S 2）

及周长一定广J （翱+ （寻）2

= L 条件下，寻找一个曲线函数［x （s

）使泛

函

n

i y （s ）

R 取驻值。

④ Discussion

悬索线问题：已知空间中A , B 两点及一条长度L>AB 的悬索，单位长的 质量为

m 。假设绳索的长度是不变的，并忽略绳索的弯曲刚度，把此绳索 的两端挂在A ，B

两点，求在平衡状态下绳索的形状。

要求：列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。 提示：绳索在平衡状态下，其势能应为最小值。

1.2变分法（泛函驻值的计算方法）

关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法

① 这里所研究的泛函一般用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显 式积分表

达。

②所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域内的函数及其导数 （或偏导数）的积分形式，即：

b

□ 1 = 1 F(f (x), f'(x),

f"(x);x)dx a

b ■口 2 = JJ F( f(X, y), fx (x, y), f y (x, y); x, y)dxdy Q c.泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量（argumen ），x 或y 仅

iii.转换R 的表达式

由Green 公式:

Q

cP 一—

S 2

=J P dx+Qdy

S i

取P =-

cQ cP , ——-——=1 ex cy

S 2

J (xy'(s) - yx'(s))ds S i

a.