通信系统仿真技术 第4章蒙特卡洛仿真与随机数产生

X k U k Float M
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
评价随机数生成器的输出结果的方法：代数 （时间的）特性和统计特性 产生32位有符号均匀分布随机数，其产生器的 迭代公式如下：
X k 16807 X k 1mod 231 1 产生32位无符号均匀分布随机数，其产生器的 迭代公式如下
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4.2.1 均匀分布随机数的产生
重要性：各类形式随机数产生的基础首先是产 生具有独立均匀分布的随机数序列。 产生：迭代算法实现，使用的迭代公式如下
X k aX k 1 cmod M
其中 a 是在 1 与 M 间的整数， M 是一个很大的素 数，或者是一个素数的整数幂，种子值为X(0)。 产生均匀分布于1和M间的整数
4.1.1 蒙特卡洛仿真的定义
MC法是一种计算方法，它是以概率统计理论为
基础的。
基本思想：当所求问题的解是某个事件的概率，
或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、
数学期望有关的函数时，通过某种试验的方法，可 以得出该事件发生的频率，通过它们就可以得到问
题的解。
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2、离散随机变量的变换法
设离散随机变量 Z 分别以概率 p(z1)、p(z2)、…、 p(zN)取值z1、z2、…、zN，其中0＜p(zi)＜1，其分布 函数如图所示
F(z) 1
U
z1
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z2
z3
z4
zN-1
对于一个通信系统模型，假设系统的输入信号 为U(t)、V(t)和W(t)， 则
S正方形

1 1


4
U(t) V(t) W(t)
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通信系统模型
Y(t)
4
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如果利用系统中所有可能的波形形式，来估计 系统性能，这实际就是在进行完整的MC仿真。
实例4、产生泊松型分布随机变量X的算法。
2、经验变换方法
当反变换不能采用具体的解析表达式进行表示 时，则可以利用经验搜索算法来实现变换方法。
预处理：如果Z是一连续的随机变量，首先将 其分布函数进行量化处理，如图所示。
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几何解释
由MC仿真所获得的误码率估计值，其准确性 取决于估计程序、采样值长度N，以及模型的假 设和近似情况。
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4.1.2 准解析MC仿真
定义：只有一部分系统输入随机过程被直接仿 真，而其它过程的影响利用解析方法进行处理，这 种MC仿真被称为局部MC仿真或准解析仿真。 例如：对加性高斯噪声采用解析描述。
f , f ( X , Y ) J
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可以证明ρ服从瑞利分布
f
f , d


2
0
2 2 exp d exp 2 2 2
zN
z
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有限型离散随机变量Z的产生算法
①设定k=1；
②产生在 [0，1]上均匀分布的独立随机变量U； ③U≤Fk，输出Z=zk，并返回(1)，否则； ④令k=k+1，返回到(3)。 解释：在算法中p(zi)和F(zi)都是预先计算出来的 ，并且存放在一个表中，具体产生过程见下面的例 题。
, Z k 0 Z k X k Z k b , Z k 0
0 , Z k 0 C k 1 , Z k 0
数b、r和s必须满足下面的规则
M br bs 1
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典型算法介绍： ① Wichman-Hill 算法 ： 利用两个短周期序列 进行合理的线性组合，构建的随机数生成器能够 产生长周期序列。 定理：两个周期分别为 N1、N2 波形相加，那 么得到波形的周期为：
N lcmN1 , N 2
基于上述原则的 Wichman-Hill 算法，按以下 步骤合并了三个随机数生成器的输出。
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几何解释
F(Z) 1 Uk
F
Z
0
Zk
Z
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实例1、产生指数型分布随机变量的算法；
实例2、产生几何型分布随机变量的算法；
实例3、产生伽马型分布随机变量的算法；
fz(z)
阴影面积=pi Ci z
a
zi
b
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产生步骤
①产生在 [0，1]上均匀分布的独立随机变量U；
②令 Fi p j , i 0,
j 1 i
1, N , 且F0 0
；
③找到满足下式最小的i值：Fi-1 < U≤Fi ④输出 Z Z i1 U Fi1 Ci ，返回到第一步。 解释：上述算法中的最后一步是为了获得区间 内的插值。 Z i 1 , Z i
对于字长为32位的计算机来讲，b=232-5，r = 43，s = 22，则周期为
M 1 b r b s 1.6510414
得到在区间内均匀分布的随机数序列，需要 将X(k)换成U(k)，即
X k U k Float b
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X
U k 6.0
k 1
12
其中 k 1, 2, 12
说明：U(k)在[1,0]内均匀分布同时相互独立的随 机变量，其均值为0.5，方差为1/12。 取数值12是传统参数，它反映了产生速度与 “准确性”之间的折衷。
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pk 1 ⑤令 C Ak 1C ， B B C 其中 Ak 1 p ，返回 k
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4、舍选法 当随机变量的分布函数不存在封闭形式时，反 变换法难于使用，因此，出现了舍选法。 实现步骤： ①确定f(X)的最大值为C； ②产生在[0， 1]上产生均匀分布的独立随机变 量U1和U2； ③令U1＝CU1； ④如果 CU1 f U 2 ，则输出 X＝U2，否则，拒 收U2返回(2)。
X k 69069 X k 1 1mod 232 产生更长周期的随机数序列，可以利用同余算 法的线性组合来构建随机数生成器
X k a1 X k 1 am X k mmod p
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4.2.2由任意概率密度函数生成随机数的方法
要求：准确性和快速性。
1、解析变换法
理论依据：以概率积分变换定理为基础，通过 对均匀分布随机变量U的变换，可以得到具有任意概 率密度函数的的随机变量Z。 产生步骤： ①产生在 [0，1]上均匀分布的独立随机变量U； ②根据Z的分布函数F(Z)，输出 Z F 1 U 。
例4.1-1 利用MC方法估计圆周率π。
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其中有 N1 粒落入扇形区域，则落入扇形区域的 N1 比例为 P
如果均匀撒无穷多粒豆子，则 S扇形 N1 1 1 4
P lim
N
N
N

至此，完成了利用MC方法估计圆周率π。
2、Box-Muller算法 正态分布随机变量的分布函数没有直接的封闭 形式，但若将其转换到极坐标系后，则可以得到其 封闭形式，这时就可以可采用反变换法产生正态分 布随机变量。 设 X和 Y 是两个相互独立的 N(0，1)随机变量， 将其转换成极坐标形式 ：
X cos Y sin
通信系统仿真模型，利用该仿真模型可以估计 数字通信系统的比特误码率。
输入比特 A(k) 二进制 调制 滤波器 非线性 放大器 信道 AWGN N(j)
Y(k) 比较与误码 率计数
采样与 检测
滤波器
ˆ 1 P e N
k 1
g Y k
N
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无限型离散随机变量Z的产生算法
①设定k=1， C=p1，B=C ；
②产生在 [0，1]上均匀分布的独立随机变量U； ③如果 U≤B( 即 U≤Fk)，输出 Z=zk，并返回 (1) ， 否则； ④令k=k+1； 到(3)。
yk Z k X k U k 3 30269 30307 30323
p 30268 30306 30322 2.781013
可以证明，如果处理上述算法的计算机变量字 长超过24位，算法就能正常运行，并且输出一个具 有长周期和良好统计特性的随机序列。
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4.2 随机数产生
重要性：系统仿真结果的准确性，往往依赖于 所产生的随机数序列是否能够准确地再现仿真随机 过程的统计特性。 理论依据：对某随机过程进行建模和仿真时， 通常假设该随机过程是各态历经的。 参数需求：统计特性仅由一阶和二阶特性即可 确定，并且这些特性是时不变的。
①生成输入序列采样值{A(j)}和噪声{N(j)}， 它们均为随机序列； ②通过功能模块处理采样数据，并且产生输 出序列{Y(k)}； ③估计E{g[Y(k)]}，其中
1 ˆ P ： e N
gY k
k 1
N
1, Y k Ak g Y k 0, Y k Ak
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②Zarsaglia-Zaman算法：该算法是一个线 性迭代算法，它有两种相似的版本：带借位的减 法和带进位的加法。
带借位的减法形式的线性迭代算法
Z k X k r X k s C k 1
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4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 蒙特卡洛仿真原理 随机数产生 独立随机序列的产生 相关随机序列的产生 随机数产生器的测试
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4.1 蒙特卡洛仿真原理
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X k 171 X k 1mod 30269
Y k 171 Y k 1mod 30307
Z k 170 Z k 1mod 30323
然后计算
算法的到的周期是

相位服从均匀分布
f
f , d


0
它们相互统计独立，相应的分布函数分别为
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几何解释
f(X) C f(U2) p
CU1 0
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U2
X
1
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4.2.3 高斯随机变量的产生
1、12求和方法
理论依据：利用中心极限定理，可以构建出生 成公式 。