高考数学(理)二轮专题练习【专题3】(1)三角函数的图象与性质(含答案)

第1讲 三角函数的图象与性质

考情解读 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．

1．三角函数定义、同角关系与诱导公式

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ， tan α＝y

x .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α

cos α

＝tan α.

(3)诱导公式：在k π

2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

2．三角函数的图象及常用性质

3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―————————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)

平移|φ|个单位

y ＝sin(x ＋φ)

y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍

横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．

(2)y ＝sin x

y ＝sin ωx ―———————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)

平移|φω

|个单位

y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍

横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系

例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐

标为( ) A ．(－12，3

2)

B ．(－32，－1

2) C ．(－12，－32

)

D ．(－

32，12

) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π

2

＋α)sin (－π－α)

cos (11π2－α)sin (9π2

＋α)

的值为________．

思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 答案 (1)A (2)－34

解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝3

2.

∴Q 点的坐标为(－12，3

2

)．

(2)原式＝－sin α·sin α

－sin α·cos α＝tan α.

根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－3

4，

∴原式＝－3

4

.

思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

(1)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于

点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________. (2)已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π

4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )

A.π4

B.3π4

C.5π4

D.7π

4 答案 (1)18

25

(2)D

解析 (1)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝4

5

，

∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋

sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)

sin α＋cos αcos α

＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. (2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos

π4

sin

π4＝－1，

又sin

3π4>0，cos 3π

4

<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π

4.

热点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式

例2 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π

2

)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向

右平移π

6

个单位后，得到的图象解析式为( )

A ．y ＝sin 2x

B ．y ＝cos 2x

C ．y ＝sin(2x ＋2π

3

)

D ．y ＝sin(2x －π

6

)

(2)若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π

2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为

________．

思维启迪 (1)先根据图象确定函数f (x )的解析式，再将得到的f (x )中的“x ”换成“x －π

6”即

可．

(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案 (1)D (2)(－2，－1]

解析 (1)由图知，A ＝1，3T 4＝11π12－π6，故T ＝π＝2π

ω，

所以ω＝2，又函数图象过点(π

6，1)，代入解析式中，

得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，故φ＝π6.

则f (x )＝sin(2x ＋π6)向右平移π

6

后，

得到y ＝sin[2(x －π6)＋π6)＝sin(2x －π

6)，选D.

(2)由题意可知y ＝2sin(2x ＋π

6

)＋a ，

该函数在[0，π2]上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin(2x ＋π6)在[0，π

2

]上有两个不同的交点．

结合函数的图象可知1≤－a <2，所以－2

思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变