维纳和布朗运动_杨静

第38卷第10期2008年5月数学的实践与认识M A THEM A TICS IN PRAC TICE AND THEO RY V o l.38　No.10　M a y,　2008　

维纳和布朗运动

杨　静1,　唐　泉2

(1.北京联合大学基础部,北京　100101)

(2.咸阳师范学院数学系,陕西咸阳　712000)

摘要:　布朗运动,作为一种特殊的随机过程,在随机过程理论处于一个中心地位.布朗运动理论在其他许

多领域也有重要应用.在布朗运动理论的发展和完善过程中,布朗,爱因斯坦和维纳等人都作出了重要贡献.

通过解读原始文献,考察了维纳建立布朗运动数学理论的过程.揭示了维纳在布朗运动的数学理论严格化

进程中的重要作用.

关键词:　维纳;布朗运动;随机过程

0　引 言

收稿日期:2007-09-26基金项目:国家自然科学基金资助项目(10671053) 1827年,英国植物学家布朗(R.Brow n,1773～1858)用显微镜观察悬浮在水中的花粉时,发现了水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的折线运动.事实上在布朗之前,已经有人报告了这种现象.但由于布朗第一个系统而深入地研究了这一现象,因此这种现象被称作布朗运动.在布朗之后很长一段时间内,人们都不知道布朗运动发生的原理.直到19世纪70年代,才有一些学者对布朗运动作出了定性分析,他们指出,这些微小颗粒的运动是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的.1905年,爱因斯坦(A.Einstein,1879～1955)发表了关于布朗运动的数学描述,他把布朗粒子视为理想气体巨分子系统.1908年,佩兰(J .Perrin ,1870～1942)用一系列出色的实验,证明了布朗粒子作为一种巨分子系统的热学性质.爱因斯坦和佩兰等物理学家关于布朗运动的文章,深深影响了维纳的早期工作.1923年,维纳(N.Wiener,1894～1964)给出了布朗运动的严格的数学理论,并作出了一系列工作,极大地促进了布朗运动数学理论的发展.本文旨在考察维纳建立布朗运动数学理论的过程.

1　维纳的生平和学术背景

维纳1894年11月26日生于美国密苏里州的哥伦比亚.他的父亲列奥维纳出生于俄国,18岁时移居美国.列奥维纳通过刻苦自学,成为哈佛大学斯拉夫语教授.列奥维纳对儿子寄予厚望,希望他在学术上有所成就.

维纳是一个名符其实的神童,他的父亲很早就发现了儿子的天赋,并坚信借助于环境进行教育的重要性,他从一开始学习就实施严格的教育计划.维纳三岁半开始读书,生物学和天文学的初级科学读物就成了他在科学方面的启蒙书籍.从此,他兴致勃勃,埋首于五花八门的科学读本.七岁时,开始深入物理学和生物学的领域,甚至超出了他父亲的知识范围.从

达尔文的进化论到夏尔科、雅内的精神病学著作,从儒勒·凡尔纳的科学幻想小说到18、19世纪的文学名著,维纳几乎无所不读.

维纳怀有强烈的好奇心,而他父亲则用严厉的态度坚持实施以数学和语言学为核心的教学计划.在这种严格的训练下,他的数学长进非常显著.父母几次设法送他到学校去受教育,但不寻常的智力和训练使维纳在学校里很难被安排.他的阅读远远地走在书写的前面,他刻苦地学习并掌握了初等数学,但仍需要扳着手指做算术.直到9岁时,维纳才作为一名特殊的学生,进了艾尔中学,不满12岁就毕业了.

1906年,维纳被父亲送进塔夫茨学院数学系就读,他用三年时间读完了大学课程,于1909年春毕业.之后维纳开始攻读哈佛大学研究院生物学博士学位,然而由于他动手能力差,并且缺乏从事细致工作所必需的技巧和耐心,同时深度近视给他增添了不少麻烦,因此他不得不转学到康奈尔大学去学哲学.第二年维纳又回到哈佛,开始研读数理逻辑,并于18岁获哈佛大学哲学博士学位[1].

在哈佛的最后一年,维纳向学校申请了旅行奖学金并获得了批准.他先后留学于英国剑桥大学和德国哥丁根大学,在罗素、哈代、希尔伯特等著名数学家指导下研究逻辑和数学.

罗素是维纳的主要良师益友,维纳跟他学习数理逻辑和科学与数学哲学,从这位大师身上得到许多深刻的教益.罗素的哲学课程和数学原理课,维纳感到很新鲜,富有启发性.罗素建议维纳阅读爱因斯坦1905年发表的三篇论文,学习卢瑟福的电子理论和波尔的学说.罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉,他的教导使维纳牢牢记住,不仅数学是重要的,而且还需要有物理概念.

对于维纳未来的数学家生涯,罗素的另一个重要影响是,他向维纳提出,一个专攻数理逻辑和数学哲学的人最好能懂一些数学.因此,维纳选读了许多数学课程,接受了哈代等人的指导.哈代清晰、有趣和发人深思的讲演,涉及了包括勒贝格积分在内的实变函数基础和复变函数引论,给了维纳深刻的启示,并直接导致他早期生涯中的主要成就.

在维纳研究数学基础时,他曾随意地读过数学分析的书籍.但是在1919年早期他空闲的时候,他才研究了诸如奥斯古德(W. F.Osg ood,1864～1943),沃尔特拉(V.Volterra,1860～1940),弗雷歇(M .Frechet ,1878～1973)和勒贝格(H .Lebesg ue ,1875～1941)等重要分析学家的经典著作.这些著作是他姐姐的未婚夫格林(Gabriel M arcus Green )的遗赠品,格林是哈佛大学数学系的一位有前途的数学家,死于战后的一次流行病.这些书令维纳惊讶万分,毫无疑问,它们激励了他向分析的转变.

1923年,维纳发表了一系列论文.在这些论文中,维纳给出了布朗运动的严格的数学定义,从而极大地推进了布朗运动理论的研究.

维纳曾在自传中写道:“我后期的大部分数学研究工作总是可以追溯到我对于布朗运动的研究.首先,这种研究把我引向概率论的研究.此外,它还很直接地把我引向周围分析图,引向谐波分析的形式的研究,这种研究比古典的傅立叶级数和傅立叶积分更为概括.所有这些思想与马萨诸塞理工学院的一位教授所抱有的工程专业思想相结合,使得我在讯息论的理论和实践方面都有了一些进展,从而最后建立了控制论这门学问.这门学问实质上是用统计学的方法来研究讯息论.这样,尽管我的科学兴趣象是变化多端,可是从始至终,整个贯穿我的第一次成熟的工作和现在的工作的,只有一条线”[1].维纳还在巴拿赫空间、概率论、位势分布和广义调和分析等理论取得重大成果,并将傅16310期杨　静,等:维纳和布朗运动