函数的奇偶性PPT课件

图所示，画出函数y=f(x)在y轴左边的图象.
y
0
x
两直线的位置关系
直线与直线的位置关系：
（ 1 ） 有 斜 率 的 两 直 线 l1：y=k1x+b1；l2：
y=k2x+ b2
① l1∥l 2 k1=k2 且 b1≠b2； ②l1⊥l2
k1·k2= -1；
③l1与l2相交 k1≠k2 ④l1与l2重合
x x
例如: f (3) 1 f (3) , f (1) 2 (2) f ( 1)
3
2
2
这时我们说函数 f (x) x与 f (x) 1 为奇函数．
x
那么奇函数又该如何去定义？
一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个x,
都有 f (x) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做奇函数．
定理：
⑴奇函数的图象关于原点对称，反过来， 若一个函 数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
⑵ 偶函数的图象关于y轴对称，反过来，若一个函 数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
例2已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴的右
边的图象如图所示，画出函数y=f(x)在y轴左
边的图象.
y
0
x
小结
2.3 函数的性质
——奇偶性
我们看到这两个函数的图象都关于y轴对称，而且 从刚才的演示中可以看出：当自变量x取一对相反数时， 相应的两个函数值相同．
实际上，对于函数 y x2 ，在R内任意取一个x,都
有 f (x) (x)2 x2 f (x),比如：
f (3) 9 f (3) f (1.2) 1.44 f (1.2)
点与直线的位置关系：
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0
（3）点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0
为：
d Ax0 By0 C
A2 B2
的距离
（ 4 ） . 两 条 平 行 线 l1 ： Ax+By+C1=0 ， l2 ：
同样的对于函数 y x ，在R内任意取一个x,都有
f (x) x x f (x)
比如： f (3.4) 3.4 f (3.4) ，f (7) 7 f (7)
我们就说 y x2与y x都是偶函数．
• 通过我们刚才的分析，同学们能否给偶函数下个定义？
• 一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个x,
都有 f (x) f (x) 那么函数 f (x) 就叫做偶函数，例如：
• 函数
f (x) x2 1
，f
(x)
x2
2 11
都是偶函数．
观察函数 f (x) x 和 f (x) 1 的图象，并完成课本３８
页的两个表格．
x
• 这两个函数的图象都是关于原点对称的．通过刚才的演
示，我们知道当x取一对相反数时，相应的函数值也是
一对相反数．
实际上，对于函数 f (x) x ，在定义域R内任取一
个x,都有 f (x) x f (x)
例如：f (3) 3 f (3)，f (2) 2 (2) f (2) .
同样对于函数 f (x) 1
x
在其定义域 (,0) (0,)内任意
取一个x都有 f (x) 1 1 f (x) .
(2)k一1=般k式2且的b直1=线b2l1。：A1x+B1y+C1=0，
l2：A2x+B2y+C2=0
①l1∥l2 A1B2-A2B1=0 且
B1C2-
B2C1≠0
②l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
③l1与l2相交 A1B2-A2B1≠0
到角与夹角：
两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，把l1
•
如函数
f (x) x5 和
f (x) x 1 x
都是奇函数．
• ⑴定义中的等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）
对定义域里的任意x都要成立，若只对个别x值 成立，则不能说这函数是偶函数（或奇函数）；
• ⑵等式f(-x)=f(x)（或f(-x)=-f(x)）成立，除
了表明函数值相等（或互为相反数）外，首先 表明对定义域中的任意x来说，－x也应在定义 域之中，否则f(－x)无意义；
f
(x)
x 1 1 x
观察常数函数f(x)=a(x∈R) 的图像，判断其奇偶性
y
a
0
x
y
0
x
当a≠0时
当a＝0时
常数函数f(x)=a(x∈R)，当a≠0时是偶函数， 当a=0时，它既是奇函数又是偶函数.
三、奇偶函数图象的性质定理
y
y x2
y
y x3
0
x
0
x
偶函数y=x2的图象关于y轴对称；奇函数y=x3 的图象关于原点对称.
⒈要正确理解奇、偶函数的定义，一对实数x与-x 必须同时在定义域内，f(x) 与f(-x)才能都有意义， 奇、偶函数的定义才有意义，所以判断函数的奇 偶性，必须先考虑定义域是否关于原点对称；
⒉奇偶函数的定义公式是判断奇偶函数的依据，有 时需将原式变形，化为等价形式：
3.f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0或f(-x)/f(x)=1(f(x)≠0)；
• ⑶奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对
称的，由此得结论：凡是定义域不关于原点对 称的函数一定是非奇、非偶的函数.
二、函数奇偶性的判断方法
例1．判断下列函数是否具有奇偶性：
(1) f (x) x4;(2) f (x) x5;(3) f (x) x 1 ; x
(4)
f
(x)
1 x2
; (5)
4.f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0
或f(-x)/f(x)=1(f(x)≠0).
练习:
1、判断下列函数是否具有奇偶性
1
(1) f(x)=x4 (4)f(x)=2x+1
(2)f(x)=2x+ 3 x (3) f(x)=x+
f(x)=x (x=-2,-1,0,1,2)
x
2、已知函数y=f(x)是奇函数，它在y轴的右边的图象如
依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的
角，l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不
大
tan θ k2 - k1
于夹直角的t角an，θ 简 称k2夹- k角1 .到角的公式是
1 k1k2 ，
1 k1k2
角公式是
，以上公式适用于两直线斜
率都
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.