第八章 结构构件抗力的统计分析

第三节 结构构件抗力的统计特征
fci ——构件中第i种材料的实际性能值；
ai ——与第i种材料相应的构件实际几何参数；
fi ——构件中第i种材料的材料性能随机变量；
k0i ——反映构件第i种材料的材料性能差异的影响系 数； fki ——构件中第i种材料的性能标准值；
ai ——与第i种材料相应的构件几何参数随机变量；
aki ——与第i种材料相应的构件几何参数标准值。
第三节 结构构件抗力的统计特征
Rp的均值、标准差和变异系数为
R p R（fc1 a1， ，fcn an）
R
2
p
Rp X i 1 i

n
2 X i
2
R
p
Rp Rp
第三节 结构构件抗力的统计特征
f
1
k0
0 1
0 f s
k0 f k
2 2 f fs 0
式中 、 、f ——随机变量0、1的平均值及试件 0 1 s 材料性能fs的平均值； fs的变异系数。
0 、 f s ——随机变量0的变异系数及试件材料性能
第三节 结构构件抗力的统计特征
抗力R的计算模式多为R = X1X2X3…或R = X1X2 ＋X3X4X5 ＋
X6X7 ＋…等形式，因此可近似认为：无论X1，X2，…，Xn
为何种概率分布，抗力R的概率分布类型均可假定为对数正 态分布。
为什么？
第三节 结构构件抗力的统计特征
概率论的中心极限定理：若随机变量序列X1，X2，…，Xn
钢、木、砖等组成的结构构件，其抗力R的表达式为
R f c a Ωp (Ωf k0 f k ) (Ωa ak ) Ωp Ωf Ωa Ωp Rk
式中 Rk——按规范规定的材料性能和几何参数标准值及抗 力计算公式求得的抗力标准值，可表达为
Rk k0 f k ak
第一节 抗力统计分析的一般概念
二、抗力分析方法 采用间接方法，即 对抗力的各种主要影响因素进行统计分析，确定其统计 参数； 通过抗力与各有关因素的函数关系，从各种因素的统计 参数推求抗力的统计参数和概率分布类型； 统计分析时，采用以下近似公式：
第一节 抗力统计分析的一般概念
设随机变量Z为相互独立的X1，X2，…，Xn的函数，即
第二节 影响结构构件抗力的不定性
几何参数的变异性一般随几何尺寸的增大而减小。
建筑工程：表8.2列出了我国对各类建筑结构构件几何参 数进行大量实测得到的统计参数。 公路工程：根据各级公路不同的目标可靠指标，将统计 的变异范围分为低、中、高三级水平（见下表）。
公路技术等级 变异水平等级 高速公路 低 一级公路 低～中 二级公路 中
荷载与结构设计方法
第八章 结构构件抗力的统计分析
第八章 结构构件抗力的统计分析
本章内容
第一节 抗力统计分析的一般概念
第二节 影响结构构件抗力的不定性
第三节 结构构件抗力的统计特征
第一节 抗力统计分析的一般概念
一、结构抗力概念
构件抗力（R）——指构件承受各种外加作用的能力，它 与构件的荷载效应S相对应。 结构抗力分四个层次： 整体结构抗力（如整体结构承受风荷载的能力）
Z g（X 1，X 2， ，X n）
则Z的均值、方差、变异系数分别为
Z g（ X1， X2， ， Xn）
g 2 Z X i 1 i

n
2 X i
2
误差传递公式
Z Z Z
第二节 影响结构构件抗力的不定性
影响构件抗力的不定性因素：
试件材料性能换算为构件材料性能的不定性
第二节 影响结构构件抗力的不定性
以随机变量f来表示构件材料性能的不定性，即
fc 1 fc fs Ωf k0 f k k0 f s f k
fc ——结构构件实际的材料性能值； fs ——试件材料性能值； fk ——规范规定的试件材料性能的标准值； k0 ——规范规定的反映结构构件材料性能与试件材 料性能差别的系数，如考虑缺陷、尺寸、施工质量、加荷 速度、试验方法等因素影响的系数或其函数。 式中
第三节 结构构件抗力的统计特征
由误差传递公式，可得抗力R的平均值为
R f a p Rk
可用无量纲的系数R表示，即
R
R
Rk
f a p
抗力R的变异系数为
2 2 2 R a p f
第三节 结构构件抗力的统计特征
多种材料构件 钢筋混凝土构件等抗力R的表达式为
第二节 影响结构构件抗力的不定性
以随机变量a来表示结构构件几何参数的不定性 ，即
a Ωa ak
式中 a ——结构构件的实际几何参数值； ak ——结构构件的几何参数标准值，一般取设计值。 则a的统计参数为
a
a
ak
a a
式中 a、a ——构件几何参数的平均值及变异系数。
第二节 影响结构构件抗力的不定性
水泥混凝土路青路面： 几何参数不定性则指结构层的底基层厚度、基层厚 度和面层厚度的变异性。
表a 水泥混凝土路面面板厚度的变异系数
变异水平 变异系数 h（%）
低 2～4
中 5～6
高 7～8
第二节 影响结构构件抗力的不定性
第二节 影响结构构件抗力的不定性
令
fc Ω0 ; fs
Ωf
1
fs Ω1 fk
则
k0
Ω0 Ω1
式中 0 ——反映结构构件材料性能与试件材料性能差别 的随机变量； 1 ——反映试件材料性能不定性的随机变量。
第二节 影响结构构件抗力的不定性
由误差传递公式，f的平均值与变异系数为
材料性能（如强度、弹性模量） 几何参数（如截面尺寸、惯性矩） 计算模式（如基本假定、计算公式） 均为相互独立的随机变量
第二节 影响结构构件抗力的不定性
一、结构构件材料性能的不定性 材料性能的不定性： 指材料品质、制作工艺、受荷情况、环境条件等因素引 起材料性能的变异。材料性能一般采用标准试件和标准试 验方法确定，还要考虑实际构件与标准试件、实际工作条 件与标准试验条件的差异。 材料性能的不定性 ＋ ＝ 标准试件材料性能的不定性
面层厚度 （mm）
第二节 影响结构构件抗力的不定性
三、结构构件计算模式的不定性 计算模式的不定性： 指抗力计算中采用的某些基本假定的近似性和计算公 式的不精确等引起的对抗力估计的变异性，反映了计算抗 力与实际抗力间的差异。
R0 Ωp c R
R0 ——构件实际抗力值，取试验值或精确计算值； Rc ——按规范公式计算的结构构件抗力值，计算应采 用材料性能和几何尺寸实测值。 式中
第二节 影响结构构件抗力的不定性
二、结构构件几何参数的不定性 几何参数的不定性： 指制作尺寸偏差和安装偏差等引起的几何参数的变异性， 反映了设计构件和实际构件之间几何上的差异 。 一般构件可仅考虑截面几何特征（如宽度、高度、有效高 度、面积、面积矩、抵抗矩、惯性矩、箍筋间距等参数） 的变异，而构件长度和跨度可按定值处理。
表b 沥青路面结构层厚度的变异系数
项
目
变异系数（%）
低
4～6 4～6 10～13 7～10 4～5 5～10 4～7 2～3
中
7～10 7～9 14～18 11～13 6～8 11～15 8～10 4～6
高
11～14 10～12 19～23 14～16 9～10 16～20 11～13 7～8
底基层厚度（mm） 基层厚度（mm） 平地机 摊铺基层 摊铺机 摊铺基层 50～80 90～150 160～200 50～80 90～150 160～200
中的任何一个都不占优势，当n充分大时，无论X1，X2，…， Xn具有怎样的分布，只要它们相互独立，则 Y X i 近 似服从正态分布。
n
n
i 1
如Y = X1X2…Xn，则 ln Y ln X i ，当n充分大时，lnY近 似服从正态分布，则Y近似服从对数正态分布。
i 1
第二节 影响结构构件抗力的不定性
我国规范通过对各类构件p的统计分析，求得其平均值和 变异系数，见表8.6。

不定性f、a和p均是无量纲随机变量，其统计参数适 用于各地区和各种使用情况。随着统计数据的不断充分 和统计方法的不断完善，这些统计参数将会有所变化。
第三节 结构构件抗力的统计特征
一、结构构件抗力的统计参数 单一材料构件
结构构件抗力（如构件在轴力、弯矩作用下的承载能力）
构件截面抗力（构件截面抗弯、抗剪的能力） 截面各点的抗力（截面各点抵抗正应力、剪应力的能力）
第一节 抗力统计分析的一般概念
结构抗力与结构荷载效应相对应，即：
作用效应为作用内力 作用效应为作用变形 抗力为构件承载能力 抗力为刚度
变形验算——针对结构构件或整体结构 承载力验算——一般针对结构构件 对结构抗力的讨论只针对结构构件（含构件截面）
抗力R的统计参数为
R
R
Rk

p R p
Rk
2 2 R Rp p
其中
Rk R（k 01 f k1 ak1， ，k 0n f kn akn）
各种结构构件抗力的统计参数R和R见表8.7。
第三节 结构构件抗力的统计特征
二、结构构件抗力的概率分布 结构构件抗力R是多个随机变量的函数。 已知每个随机变量的概率分布，通过多维积分求出抗力R的 概率分布是很困难的，可采用模拟方法（如Monte-Carlo模 拟法）来推求抗力的概率分布函数。 对实际工程，可由概率论原理假定抗力的概率分布函数。
R Ωp Rp
Rp R（f c1a1，f c2 a2， ，f cn an）
考虑材料性能及几何参数不定性后，有
Rp R（Ωf 1k01 f k1 Ωa1ak 1， ，Ωfn k 0n f kn Ωan ak n）
式中 RP=R（）——由计算公式确定的构件抗力值，为各 种材料性能和几何参数不定性的函数；