分形几何与混沌ppt

2 美色 图画软件流行天下
• 分形学最明显的应用，还是在艺术方面。上世纪80年代，以德国布来 梅大学的数学家和计算机专家佩欧根（H.Peotgen）与雷切特 （P.Richter）等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了 大量的分形图案；胡巴德（J. Hubbard）等人还完成了一部名为《混 沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片甚至T 恤衫纷纷出笼。“巴恩斯利蕨”就是分形学和艺术相结合的完美例子。 • 很多人喜欢“分形学”，是因为倾心于分形之美。数学上的审美很难 为一般人所理解：一大堆数字、公式、符号怎么体现出来呢？然而， 计算机能让数学的某些内在的美直观呈现出来，给出其形式化的表达。 而继科学家之后，越来越多的艺术家借助现成软件，漫步于分形图像 的领地。对于电脑动画来讲，无论是模拟海浪还是植物的生长，分形 都是不可缺少的工具。
第二部分：混沌蝴蝶
分形几何主要研究吸引子在空间上的结构， 吸引子？？？那是什么？？？ 它和混沌有共同的数学祖先—动力系统。如 果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发 散过程，那么由迭代法生成分形吸引子正好 是一个稳定的收敛过程。 吸引子是微积分和系统科学论中的一个概 念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这 个稳态就叫做吸引子。吸引子可以分为平庸 吸引子和奇异吸引子。例如一个钟摆系统， 它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系 统向停止晃动的稳态发展。 奇异吸引子表现了混沌系统中非周期性， 无序的系统状态，例如天气系统。
－0.04 0.85 0.26
－0.26 0.23
－0.15 0.28
这就是计算机按照图中的公式 9 为规则生成的巴恩斯利蕨。
如图，这是在网上找的标准图样。按照以上思路，我编写了如下程 序：
clear all; global a b x y r; x=1; y=1; for i=1:1:10000 r=rand(1,1); if r>=0 & r<0.25 a=0.5*x; b=0.16*y+0.01; x=a; y=b; elseif r>=0.25 & r<0.5 a=0.85*x+0.06*y+1.2; b=-0.06*x+0.85*y+0.85; x=a; y=b; elseif r>=0.5 & r<0.75 a=0.22*x-0.36*y+1.6; b=0.24*x+0.4*y+0.47; x=a; y=b; else a=-0.15*x+0.32*y+0.64; b=0.24*x+0.17; x=a; y=b; end plot(x,y,'g.'); hold on; drawnow; end
吸引子！
• “混沌学”继相对论和量子力学之后再一次深刻地改变了非科学人士 的世界观，它说明即使世界的每一个局部都被清晰认识，世界仍然是 不可预测的，牛顿式的决定论世界受到致命一击。一时间，“蝴蝶效 应”和“混沌”成为流行词汇。通过深入研究，科学家发现混沌系统 虽然从局部来说不可预测，但从更大的视角来看还是有其规律的，所 谓“混沌吸引子”又叫“奇异吸引子”就是规律之一。一个混沌系统 存在着“混沌吸引子”，这个吸引子内部的运动非常不稳定，但从外 部看，它的形状是相当稳定的。而“混沌吸引子”的形状往往是分形 的，也就是说它的一个小的局部很像其整体。 “混沌吸引子”在不稳定中有稳定，而其形状又是由无数个“小混 沌吸引子”组成的，这颇让人想起老子说的“玄而又玄，众妙之门”。 分形学从此和混沌学联手闯天下，锐不可当。接下来，就让我们继续 探究分形与混沌之间的微妙联系~~~~
巴恩斯利蕨就是依此规则生成的。它的仿射变换组内含有四个公式，形式如下——
a、b、c、d、e、f 都是参数，参数对应的数值表格如下，p 是该运算规则 R 被选中的概 率。
R 1 2 3 4 a 0 0.85 0.2 b 0 0.04 c 0 d 0.16 0.22 0.24 e 0 0 0 0 f 0 1.6 1.6 0.44 p 0.01 0.85 0.07 0.07
分形学看上去很美，但它真的有用吗？
1.模拟 模仿自己运用广泛
• 法国巴黎高师信息学研究生方文杰说，分形这个理论，可以让我们能更好地 描述自然中的很多现象。因为自然中的现象很多都有“自相似”的现象。在 这种情况下，用一般的、连续的数学是难以描述的。这个时候，分形作为一 种处理自相似性的工具就能起到作用了。分形的应用是很广泛的，比如说在 计算机领域，有一种图像压缩算法就叫“分形压缩”。 所谓分形压缩是一种有损耗的图像压缩方法，这种方法最适合具有特定质感 和自然的图像。这种压缩的思想是自然的图像通常都会以某种规律“自己模 仿自己”。比如说，一块石头质感是由无数个小石纹组成的，如果每一个小 石纹都用一组数字表示的话，会占用很多存储空间。但是这些小石纹不是完 全无规律的，经过放大，会发现那些小的石纹很像大的石纹的“仿制品”， 这就是自然界的“分形规律”的体现。“分形压缩”的思路就是抹去那些小 石纹的图像，代之以通过分形计算得到的“人工石纹”，它虽然不如天然石 纹自然，但也可以骗过人的眼睛。因为这些人工石纹是由数学运算得到的， 占用的空间较少，而且可以无限放大。用JPEG、GIF和MPEG等格式压缩过 的石纹放大之后会“糊”，但“分形压缩”的石纹从理论上说可以无限放 大。 另外，分形的数学方法可以模拟很多表面的复杂形状，在高分子化学和材料 领域有广泛应用；它还可以用来模拟金融交易中复杂的涨落现象。
分形蕨草 混沌蝴蝶
——————由一棵分形树想到的
第一部分：分形蕨草
1985年的某一天，世界上第一棵巴恩斯利蕨（Barnsley fern）从美国佐 治亚理工学院的巴恩斯利教授手中诞生了。与此同时，他成为了第一个 提出迭代函数系统(IFS，简称迭代函数系)的人，他实际上研究的是如何 利用自相似性把描绘自然景观的信息进行大幅压缩。基本思路是以一些 运算规则为基础，把原始图形(生成元)进行收缩、旋转、平移等收敛性 的仿射变换（affine transformations），最终形成具有自相似的分形结 构的极限图形, 该集就被称为 IFS。 为了生成植物的形状，巴恩斯利教授把两种运算规则相结合：确定性算 法与随机性算法。一方面他规定了一组N个确定的仿射变换(记为R-1，R2，R-3……R-N) ，每次迭代的规则都必定来源于组内。另一方面，具体 每次迭代哪一个规则是随机决定的。 运算时，每个规则R-i被选中的可能性记为P-i。每次随机地从R-i(i=1,…， N)中挑选一个迭代规则迭代一次，然后再随机地在R-i(i=1,…，N)中选一 个规则迭代一次，不断重复，最后生成一张类似植物形态的极限图形。
什么是分形？
分形难下确切的定义．分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎 的”，故又可称为“碎形”．分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎 而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复 杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具 有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧 氏几何学)排斥在外的不规则“病态”,不可微的事体,形体.在尺度变换(放 大,缩小)下具有“自相似性”和“标度不变性(无特征长度)”的,从有限认 识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,• 息,功 信 能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象；或在多个层次上,适当地 放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等 不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义 下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性, 是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性．分 形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性 质和形态的总称．
让我们来直观地理解吸引子！
对于吸引子，学术上并没有完善的定义，目前仅处于概念阶段。
吸引子是一个数学概念，描写运动的收敛类型。简言 之，吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大 时，在任何一个有界集上出发的非定向的所有轨道都 趋于它。这样的集合有很复杂的几何结构.由于吸引子 与混沌现象密不可分。 我们还可以将吸引子分为三类：第一类是最简单的 吸引子，可以称为定点吸引子或不动点吸引子。打个 比方：海纳百川，大海就是百川的定点吸引子；落叶 归根，树根是一个定点吸引子；热力学系统的平衡态 是该系统的定点吸引子。
3 哲学 和混沌学联手
• 分形学的“美色”不可阻挡，很快它又和同时代的一种特别有“才” 的物理学理论搭上了关系，这种理论就是混沌学。 1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一洛伦 兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为“蝴蝶效应”的论 文。在演讲中，他用一个比喻描述气象模型绘制出的蝴蝶形曲线：在 巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风。他以 此描述气候的长期预测难以精确实现。“蝴蝶效应”的含义并非强调 偶然性，而是强调一个多参数系统，一个参数的微小变化就会引起系 统的巨大变化。1975年，也就是曼德博提出“分形”一词的那年，美 国马里兰大学数学教授约克（James A. Yorke）和研究生李天岩正 式提出了“混沌学”这个名称。一般地，如果一个接近实际而没有内 在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系 统是“混沌”的。
分形特征
大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形．一般地说，分形具 有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无 限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维 数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如 此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在 大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产 生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.
为什么会分形？
• 一般认为非线性,随机性,以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件. 非线性是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间轨迹)发 生分支,是混沌的根本原因. 随机性分为两大类,即噪声热运动和混沌, 它们反映了系统的内在随机性. 而随机性系统未必就是完全无序的.耗 散性强调开放性,研究熵变的过程和机制,即传统的无序熵增过程,及未 来的有序熵减过程,宇宙的“有序与无序,物质与能量与信息的相互转 换的两大循环”． • 系统产生分形结构的充分条件是“吸引子(Attractor)”,不严格地说, 一个吸引子就是一个集合,并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合 上.非线性耗散系统能产生无规运动, 耗散系统的无规运动,最终会成为 趋向吸引子的无规运动,而无规运动的吸引子(结果)便是相间的分形结 构.奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失稳为前提,如对称破缺等. 涨 落形成波动,具有周期性的波动,单个周期是简单有序,周期3便是混乱 (混沌)．
按照运行结果，一万个点组成的图像如下：
可以发现蕨叶已经具体而微了，进一步增加到50万个点，所 得图像如下：
Байду номын сангаас 另一方面，改变x,y对应的变换公式中的参数，可以得到形 态各异的分形树。当然也有可能得到的不是树。
IFS是什么？使用随机算法有什么优势？
• IFS:迭代函数系统（Iterated Function System)。 • IFS是构造分形图形的重要方法之一，为计算机模拟一些自然景物提供 了一个有力的工具。特别是利用带有概率的IFS绘制分形图形，与单纯 递归算法相比，不仅实现代码简单，而且降低了对计算机硬件的要求。 • 1985年美国佐治亚学院的M.FBaransley首先应用一组变换族模拟自 然景物IFS,基本思想是,分形具有局部与整体的自相似性，也就是说局 部是整体的一个复制品，只是在大小、位臵和方向上有所不同而已； 而数学中的变换是一种线性变换，正好具有把图形放大、缩小、旋转 和平移和性质。因此，产生一个复制品的过程相当于对图形做一次压 缩变换。于是从原则上说，任何图形都可以用一组压缩变换来描述或 生成。