概率论与数理统计第六章(最新版)

它反映了总体k 阶矩的信息
1 k Bk ( X i - X ) n i 1
n
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
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它们的观察值分别为：
1.
1 n x xi n i 1
样本均值
n 1 n 1 2 2. s 2 ( xi - x )2 [ xi - nx 2 ] 样本方差 n - 1 i 1 n - 1 i 1
分布的密度函数为
( x ) e t dt, x 0
-t x -1 0

来定义.
1 x -1e- x / f x ( x) ( ) 0
记为
x 0, 其他,
0， 0
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X ~ ( , )
注： (1)若随机变量X,Y相互独立且服从分布，即 X ~ ( , ), Y ~ ( , )，则X + Y ~ ( + , );
能获得局部观察资料.
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数理统计是以概率论为理论基础, 根据抽 样信息, 对研究对象(总体)作出合理的估计 和判断的学科.
数理统计的步骤: (1) 收集、整理数据资料; (2) 对所得数据资料进行分析、研究; (3) 对所研究对象的性质、特点作出估计 或判断.
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一、总体和样本 1.总体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
1 n 2 2 X i - nX n - 1 i 1
它反映了 总体均值 的信息
它反映了总体 方差的信息
样本标准差
1 n 2 S ( Xi - X ) n - 1 i 1
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样本k阶原点矩
1 k Ak X i k=1,2,… n i 1
样本k阶中心矩
n
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对总体X在相同的条件下，进行n次重复、独立 观察，其结果依次记为X 1，X 2， ，X n .
这样得到的随机变量X 1 , X 2 , X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，与总体随机变量具有相同的 分布. n称为这个样本的容量.
一旦取定一组样本X1，… ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点： 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. 3.同分布: 样本与总体服从同一分布.
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定义：
设X是具有分布函数F的随机变量，若X1 , X 2 , , Xn 是具有同一分布函数F的、相互独立的随机 变量，则称X1 , X 2 ,, Xn为从分布函数F（或总体 F、或总体X）得到的容量n为的简单随机样本， 简称样本，它们的观察值x1 , x 2 ,, xn 称为样本值， 又称为X的n个独立的观察值.
研究对象的所构成的一个集合全体称为总体， 是一维随机变量(或多维随机变量), 记为X. 总体中每个成员称为个体， 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.
总体
…
研究某批灯泡的质量
有限总体 总体 无限总体
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在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的 某一项(或几项)数量指标和为此，对这一指标进行 随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该 数量指标的分布情况.这时，每个具有的数量指标的 全体就是总体.每个数量指标就是个体.
f * ( x , x2 ,, xn ) =f(x1) f(x2) … f(xn)
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后， 当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若
不特别说明，就指简单随机样本.
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3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量. 它是完全由样本决定的量.
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定义
设X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体X的一个样本， g ( X 1 , X 2 ,, X n )是X 1 , X 2 ,, X n的函数，若g 中不含未知参数，则g ( X 1 , X 2 ,, X n )称是一 个统计量.
F3 ( x)的观察值为
0, 2 F3 ( x) , 3 1,
若x 1 若1 x 2 若x 2
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一般，设x1 , x2 , , xn是总体的一个容量为n的样本 值.将它们按大小次序排列如下：x(1) x(2) x( n ) 则经验分布函数Fn ( x)的观察值为
其中g为连续函数 . 这就是矩估计法的理论 根据.
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2. 经验分布函数 设X 1 , X 2 ,, X n 是总体F的一个样本，用s( x ) x
表示x1 , x2 ,, xn中不大于x的随机变量的个数 .
定义 经验分布函数为 1 Fn ( x ) s( x ) - x n 例 设总体F 具有一个样本值1， 2 1，，则经验分布函数
n4
n 10
n 20
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分布的性质
2
1. 设 X 1 , X 2 ,, X n相互独立, 都服从正态分布
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本， 它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机
变量X1,X2,…,Xn表示.
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若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为 f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为
F * ( x , x2 ,, xn ) =F(x1) F(x2) … F(xn)
其简单随机样本的联合概率密度函数为
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的全 体就是总体
国产轿车每公里耗油量 的全体就是总体
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由于每个个体的出现是随机的，所以相 应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可 以把这种数量指标看作一个随机变量，因此 随机变量的分布就是该数量指标在总体中的 分布. 这样，总体就可以用一个随机变量 及其分布来描述.
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例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数 量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随 机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命X可用一概 率分布来刻划
F(x)
某批 灯泡的寿命
鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .
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类似地，在研究某地区中学生的营养状 况时，若关心的数量指标是身高和体重，我 们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体 就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.
统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.
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2. 样本
总体分布一般是未知，或只知道是包含未知 参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一 定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息 ，这一抽取过程称为 “抽 样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包 含的个体数目称为样本容量. 从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验 样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
X + X2 + + Xn
2 2 1 2
2
所服从的分布为自由度为 n 的 记为

2
分布.
~ (n)
2 2
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n y -1 1 n/ 2 y2 e 2 , 其 概 率 密 度 函 数 为f ( y ) 2 ( n / 2) ： 0 ,
y0 y0
其中伽玛函数 (x ) 通过积分
1 (2) 已知 (1)就是 , 2 分布由定义X i2 ~ 2 (1), . 2 n 1 n 2 2 2 即X i ~ , 2 .再由可加性知 X i ~ , 2 . 2 2 i 1
2
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n1
2 - 分布的密度函数 ( y) 曲线图 f
3. s
1 n ( xi - x )2 n - 1 i 1
样本标准差 样本k阶矩 样本k阶中心矩
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1 n k 4. ak xi , k 1,2 n i 1
1 n 5. bk ( xi - x )k , k 1,2 n i 1
请注意 :
若总体X的k阶矩E ( X k ) k 存在，则当n 时， 1 n k p Ak X i k k 1,2,. n i 1 事实上 由X 1 , X 2 ,, X n 独立且与X 同分布，
min( X 1 , X 2 , , X n ) ; X1 + + X n - ; n
X1+ Xn ; 2 + X n )2 ( X1

2
;
( X 1 + + X n ) - n . . n
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几个常见统计量 样本平均值 样本方差
1 n X Xi n i 1 1 n 2 2 S ( Xi - X ) n - 1 i 1
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从另一方面看 统计的任务,是根据从总体中抽取的 样本，去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某 项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命, 汽车的耗油量…) ，所谓总体的性质， 无非就是这些指标值的集体的性质.
而概率分布正是刻划这种集体性质 的适当工具. 因此在理论上可以把总体 与概率分布等同起来.
2
数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究 怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的 数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，甚至 为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 由于大量随机现象必然呈现它规 律性，只要对随机现象进行足够多次 观察，被研究的规律性一定能清楚地 呈现出来. 客观上， 只允许我们对随机现象 进行次数不多的观察试验 ，我们只
请注意 : 设X1 , X 2 , X n 是来自总体X的一个样本 , x1 , x2 ,
xn 是一个样本的观察值, 则g ( x1 , x2 , xn )也是统 计量g ( X1 , X 2 , X n )的观察值.
注：统计量是随机变量。它不含任何 未知参数.
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例 1 设 X1 , X n为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样本， 问下列随机变量中那些是统计量 其中 未知, 2 已知，
第一二节 随机样本与抽样分布
教学内容 1 总体和样本 2 统计量与经验分布函数 3 统计三大抽样分布 4 几个重要的抽样分布定理 教学重点 统计量，几个重要的抽样分布定理
1
概率论与数理统计是研究和揭示随机现
象统计规律性的一门学科，是重要的一个数 学分支。概率论是研究随机现象发生可能性 的大小的一门学科，而数理统计则是研究大 量随机现象数量规律的一门学科。它们之间 联系密切但也有根本差别，数理统计的方法 在自然科学、工程技术研究及社会科学领域 中应用极其广泛。
有X 1 , X 2 ,, X n 独立且与X k同分布, E ( X ik ) k
k k k
k 1,2,, n 再由辛钦大数定律可得上述结论 .
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为 g ( A1 , A2 ,, Ak ) g (1 , 2 ,, k )
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总体（理论分布） ？ 样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是 样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断 总体.
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二、统计量与经验分布函数
1. 统计量
由样本值去推断总体情况，在应用时, 往往 不是直接使用样本,需要对样本值进行“加工”， 这就要构造一些依赖于样本的函数，它把样本中 所含的（某一方面）的信息集中起来.
0, k Fn ( x) , n 1,
若x x(1) 若x( k ) x x( k +1) , 若x x( n ) (k 1,2,, n - 1)
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三
统计三大抽样分布
2
1、
分布

2
分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量：