高中数学竞赛专题讲座

2 ，则 { an } 的最大项是（ B ） n − 4n + 5
2
( A) a1
( B ) a2
( C ) a3
( D ) a4
（ ）
3 2 （2006 安徽初赛）正数列满足 a 1 = 1, a 2 =10 , a 2 na n− 2 = 10a n− t (n ≥ 3) ，则 lg ( a100 ) =
高中数学竞赛专题讲座之四
一、选择题部分 1 ． (2006 年 浙 江 省 预 赛 ) 下 列 三 数 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
不等式
3 , log 16 82, log 27 124 的 大 小 关 系 正 确 的 是 2
3 < log 27 124 < log 16 82 2 3 （D） log 27 124 < log 16 82 < 2 ab bc ca 2 （2006 年南昌市） 设 a , b , c ∈ R + ,且 ab + bc + ca = 108 ,则 + + 的最小值( c a b A .6 B .12 D .36 C .18
4．(集训试题)已知数列{an}满足 3an+1+an =4(n≥1)，且 a1=9，其前 n 项之和为 Sn。则满足不 等式|Sn -n-6|< A．5
1 的最小整数 n 是 125
B．6 C．7
（ D．8
）
解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以 8 为首项，公比为列，
a n −1 1 2 + a n −1 （2） 2 2 1 1 （1）－（2）即得 a n = (a n − a n −1 ) + (a n − a n −1 )(a n + a n −1 ) . 2 2 a1 + a 2 + ⋯ + a n −1 =
fn
是
周
期
为
8
的
周Байду номын сангаас
期
数
列
。
故
f 2006 ( 2006) = f 2004 (16) = f 4 + 250×8 (16) = f 4 (16) = 145.
二、填空题部分 1. 数 列
正确答案为 D。
{ an}
的 各 项 为 正 数 , 其 前 n 项 和 Sn � 满 足 Sn =
1 1 (an + ) , 则 2 an
j
3 x 上从左向右依次取点列 {Bk }, k = 1, 2,⋯ ，使 ∆Ak −1 B k Ak （ k = 1, 2, ⋯）都是等 2
边三角形，其中 A0 是坐标原点，则第 2005 个等边三角形的边长是 2005。 【解】 ：设第 n 个等边三角形的边长为 a n 。则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点
3x n + 1 3 − xn
2005
，则
∑x
n =1
n
=
（
）
A．1
B．-1
C．2+ 3
D．-2+ 3
3 3 ，令 xn =tan α n ， ∴ xn+1=tan( α �n+ π ), ∴ xn+6=xn, x1=1 ， 解： xn+1= 3 6 1− xn 3
xn +
2005
x2 =2+ 3 , x3=-2-
2 2
n
2
2）在 x1 + x2 + ⋯ + xn = 1 条件下，求 Sn 的最小值；
3）在 x1 + x2 + ⋯ + xn = 1 条件下，求 Sn 的最小值，并加以证明。
5 ． 设实 数 a , b 满足 条 件 a = x1 + x 2 + x3 = x1 x 2 x3 ， ab = x1 x 2 + x2 x 3 + x 3 x1 ，其 中
a n =___ n − n − 1 ___.
2．（200 6 天津） 已知 a , b, c, d 都是偶数，且 0 < a < b < c < d ， d − a = 90 ，若
a , b, c 成 等 差 数 列 ， b, c, d 成 等 比 数 列 ， 则 a + b + c + d 的 值 等 于
B n 的坐标为（ a1 + a 2 + ⋯ + a n −1 +
an ， 2
3⎛ a ⎜ a1 + a 2 + ⋯ + a n −1 + n 2⎝ 2
2 n
⎞ ⎟ ）。 ⎠
2
再从第 n 个等边三角形上， 我们可得 B n 的纵坐标为
3 ⎛1 ⎞ a − ⎜ an ⎟ = a n 。从而有 2 ⎝2 ⎠
4．（2006 年江苏）等比数列 { an } 的首项为 a1 = 2020 ，公比 q = − ．设 f ( n ) 表示这 个数列的前 n 项的积，则当 n = 12 时， f ( n ) 有最大值．
1 2
5. 在 x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 物线 y 2 =
{A }, j = 1,2,⋯ ，以及在第一象限内的抛
A . A10 + B10 B.
( D.
C
)
A10 + B10 2
C. A10 ⋅ B10
A10 ⋅ B10
7．（ 2006 年浙江省预赛）设 f (n ) 为正整数 n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比 如 f (123) = 12 + 2 2 + 32 = 14 。记 f 1 ( n) = f ( n) ， f k +1 (n ) = f ( f k ( n)) ， k = 1, 2,3, …， 则
f 2006 (2006 ) ＝
(A) （ D ） 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.
解： 将 f (2006) = 40 记做 2006 → 40 ，于是有
2006 → 40 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → ⋯
从 16 开 始 ，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
bn2 1 n 1 = bn + (n = 1,2,3⋯) ，证明： ≤ ∑ < 1。 n 2 k =1 a k +1 bk + kak +1 − bk − k
—— 数列 高中数学竞赛专题试题讲座 高中数学竞赛专题试题讲座—— ——数列
一、选择题部分 1．（2006 年江苏）已知数列 { an } 的通项公式 an =
1
1 1 2 3 4 6 3 4 1 1 1 5 1 1 1
194
． 3. （2006 吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列
1 10 10 5 1 ⋰ ⋰ ⋰ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱
1，3，6，10，…，记这个数列前 n 项和为 S(n)，则 lim
n 3 =___________。 n →+∞ S (n )
（ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 ）
二、填空题部分 1．（2005 四川）设 S = x 2 + y 2 − 2( x + y ) ，其中 x, y 满足 log 小值为 。
2
x + log 2 y = 1 ，则 S 的最
2．（2006 年上海）设 x ，y ，z 是正实数，满足 xy + z = ( x + z )( y + z ) ，则 xyz 的最大值 是 ．
3．（2006 年上海）设 a , b ∈ [0, 1] ，求 S =
a b + + (1 − a )(1 − b) 的最大值和最小值． 1+ b 1 + a
4.（20 分）设 x1 , x2 ,⋯ xn ∈ R + ，定义 S n = 1）求 Sn 的最小值；
2
∑
⎛ n −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ， x + i ⎜ n 2 xi ⎟ ⎠ i =1 ⎝
3、 (集训试题)若对|x|≤1 的一切 x，t+1>(t2 -4)x 恒成立，则 t 的取值范围是__________. 4． （ 2006 安徽初赛）若 x、y 为实数，且 x 2 + xy + y 2 = 3 ，则 x 2 − xy + y 2 的最大值和最小值分 别为_____． 5．（2006 年南昌市） 函数 f ( x ) =
A、98
B、99
C、100
D、101
3. （2006 吉林预赛）对于一个有 n 项的数列 P=(p1，p2 ，…，pn )，P 的“蔡查罗和”定义 为 s1、s2、…sn、的算术平均值，其中 sk =p1+p2 +…pk(1≤k≤n)，若数列(p1 ，p2 ，…，p2006) 的 “ 蔡查 罗 和 ” 为 2007 ，那 么 数 列 (1 ， p1 ， p2 ， … ， p2006) 的 “ 蔡查 罗 和 ” 为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004
a ⎞ 1 2 a 3 3⎛ an = a n = a1 + a2 + ⋯ + a n −1 + n 。 ⎜ a1 + a 2 + ⋯ + a n −1 + n ⎟ ，即有 2 2⎝ 2 ⎠ 2 2
由 此 可 得
a1 + a2 + ⋯ + a n =
an 1 2 + a 2 2 n
（ 1 ）
,
以 及
1 2 π , ( 0 < x < ) 的最小值是 + 2 2 sin x cos x 2 ⎧1 1 , 1 , a + b 2 + c3 ⎫ = ⎬ 2 3 ⎩a b c ⎭
.
.
6. （2006 年浙江省预赛） max + min ⎨ ,
a , b , c∈ R
练习:（2006 陕西赛区预赛）设 x > 1, y > 1, S = min{log 大值为 三、解答题（每小题 20 分，共 60 分） 1、（2006 安徽初赛）(20 分)已知 x、y、z 均为正数 (1)求证： 的最小值。
3 , x4 =-1, x5=-2+ 3 , x6 =2- 3 , x7=1，……，∴有 ∑ x n = x1 = 1 。
n =1
故选 A。 6 、（ 2006 陕 西 赛 区 预 赛 ） 已 知 数 列 {an }、 {bn } 的 前 n 项 和 分 别 为 An ， Bn 记
Cn = a n ⋅ Bn + bn ⋅ An − a n ⋅ bn ( n >1) 则数列{ Cn }的前 10 项和为
3
江 省
C． 预
6+ 3
赛 ）
D． 函
6
数
f (x) =
值为
sin x + cos x tan x + cot x sin x + cos x tan x + cot x π + + + 在 x ∈ (0, ) 时的最小 sin x + tan x cos x + tan x cos x + cot x sin x + cot x 2
f (x ) =
则
1 1 1 3 + + < 6。 g (tan u 1 ) g (tan u 2 ) g (tan u 3 ) 4
7.（2006 年浙江省预赛）已知数列 {a n }满足 a1 = 1, a n +1 = a n + 2n ( n = 1,2,3⋯) ， {bn } 满 足 b1 = 1, bn +1
1 的等比数 3
1 8[1 − (− ) n ] 3 =6-6×(- 1 )n，∴|Sn -n-6|=6×( 1 )n < 1 ， ∴Sn -n=(a1-1)+(a2 -1)+…+(an-1)= 1 3 3 125 1+ 3
得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数 n=7，故选 C。 5．(集训试题)给定数列{xn }，x1 =1，且xn+1=
2
y , log x 2, log y (8x 2 )} 则 S 的最
x y z 1 1 1 + + ≥ + + ; yz zx xy x y z
(2)若 x + y + z ≥ xyz ,求 u =
x y z + + yz zx xy
2．(集训试题)已知 a, b, c∈R+，且满足
kabc ≥(a+b)2+(a+b+4c)2 ，求 k 的最小值。 a+b+c
（A） （B） 3. (2005 全国 ) 使关 于 x 的不 等 式 （ ） A． 6 − 3 4 ． （ 2006 年 B． 浙
3 < log 16 82 < log 27 124 2 3 （C） log 27 124 < < log 16 82 2
)
x − 3 + 6 − x ≥ k 有解 的 实 数 k 的最 大 值 是
x1 , x 2 , x 3 > 0 ，求 P =
a 2 + 6b + 1 的是最大值。 a2 + a
6、(2004 全国)已知 α , β 是方程 4 x 2 − 4tx −1 = 0 (t ∈ R ) 的两个不等实根，函数
2x − t 的定义域为 [α , β ] 。（ Ⅰ）求 g (t) = max f ( x) − min f ( x)；（ Ⅱ）证明：对 x2 + 1 π 于 ui ∈ (0, )(i = 1, 2, 3)，若 sin u1 + sin u2 + sin u3 =1, 2