5-1傅里叶级数解析
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的条件，傅里叶级数(2)收敛且收敛于f(x)呢？换 句话说，定义在(-∞，+∞)上周期为2l的函数f(x) 满足什么条件才能展开成傅里叶级数(2)及(3)呢？
【定理】(收敛定理，狄里希利充分条件) 周期为2l的函数f(x)，如果满足： 1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 2. 在一个周期内只有有限个极值点，则f(x)的傅里 叶级数收敛，并且
2 l n n 2
将[]2展开，逐项积Biblioteka Baidu，得
n n l l 1 2 2 2 2 2 [ f ( x)] dx 2la0 lak lbk 2a0 f ( x)dx l 2l l k 1 k 1
2 a k
k 1
n
l
l
n l kx kx f ( x) cos dx 2 bk f ( x) sin dx 0 l l l k 1
系数a0、ak、bk，应该选择使得 2 最小，即
由此可得
2 / a0 0
2 / ak 0
2 / bk 0
1 l kx ak f ( x) cos dx l kl l b 1 l f ( x) sin kx dx k l l l
a
B类函数 像函数
积分区 域确定
A类函数 像函数
确定的 二元函数 变换核
对不同的核和区间，决定了不同的变换及不同的 性质与作用。 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算， 原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成 像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变 为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中 找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要 在A中所求的解。
引
言
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转 化为较简单的运算，常采用变换的方法来达到目 的。 例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对 数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数 学里积分变换能够将分析运算(如微分、积分)转 化为代数运算。正是积分变换的这一特性，使得 它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的 方法之一。
与傅里叶级数的系数(3)一致，将上式代入 2 的表 达式，得
kx kx 2 a cos bk sin l [ f ( x)] dx l k 0 l k 0 可以证明：对于任意连续函数f(x) ，当n→∞时，
l 2 n 2 k n 2 2
§5.1 傅里叶级数
一、傅里叶级数 对周期为2l的函数f(x)=f(x+2l)，可取三角函数族
2x kx 1 ， cos ， cos ， ... ， cos ， ... l l l x 2x kx sin ， sin ， ... ， sin ， ... l l l
x
( 1)
作为基本函数族，将f(x)展开成级数
第五章 傅里叶变换
教学内容： 傅里叶变换公式、性质以及计算方法和应用。 要求： 理解傅里叶积分与傅里叶变换以及复数形式的傅 里叶变换。掌握非周期函数的傅里叶变换。理解 δ 函数的含义、性质以及在物理中的应用。
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信 号都可用正弦函数的级数 表示” 1822年发表“热的分析理 论”，首次提出“任何非 周期信号都可用正弦函数 的积分表示”
l
以上等式都可以通过计算定积分来验证。
另外还有：任意函数的平方在一个周期上的积分不 为零(模方) 2
l kx cos dx l l 2l
l
k 0 k 0
kx sin dx l l l
l
2
k 0
利用三角函数系的正交性和模方，可以求得(2)式 中的展开系数：
kx kx 2 a cos bk sin l [ f ( x)] dx l l k 0 k 0 这样，我们就称函数族是完备的，上式称为完备性
l 2 2 k
2
2
方程。
问题：
傅里叶级数平均收敛于f(x)，并不意味着收敛于
f(x)，甚至并不意味着收敛，那么f(x)需满足怎样
积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得 到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例 如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信 号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重 要的作用。 积分变换：就是通过积分运算，把一个函数变成 另一个函数的变换。 即 b
F ( p) f ( x) K ( x，p)dx
kx kx f ( x) a0 ak cos bk sin l l k 1
( 2)
(2)式称为周期函数f(x)的傅里叶展开式。
函数族(1)是正交的，正交是指在三角函数族中任 何两个不同函数乘积在一个周期上的积分为零。
kx l 1 cos l dx 0 (k 0) l kx l 1 sin l dx 0 l kx nx l cos l cos l dx 0 (k n) l kx nx l sin l sin l dx 0 (k n) l kx nx l cos l sin l dx 0
kx n kx a0 ak cos bk sin l l k 1 k 1
n
近似的表示函数f(x)，其中a0、ak、bk待定，于是平 均平方误差为
1 kx kx f ( x) a0 ak cos bk sin dx 0 l 2l l l k 1 k 1
1 l k ak f ( ) cos d l 2 (k 0) kl l ( 3) ， k 1 (k 0) b 1 l f ( ) sin k d k l l l
(3)式称为傅里叶系数。
函数族(1)又是完备的，解释如下：假设用
【定理】(收敛定理，狄里希利充分条件) 周期为2l的函数f(x)，如果满足： 1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 2. 在一个周期内只有有限个极值点，则f(x)的傅里 叶级数收敛，并且
2 l n n 2
将[]2展开，逐项积Biblioteka Baidu，得
n n l l 1 2 2 2 2 2 [ f ( x)] dx 2la0 lak lbk 2a0 f ( x)dx l 2l l k 1 k 1
2 a k
k 1
n
l
l
n l kx kx f ( x) cos dx 2 bk f ( x) sin dx 0 l l l k 1
系数a0、ak、bk，应该选择使得 2 最小，即
由此可得
2 / a0 0
2 / ak 0
2 / bk 0
1 l kx ak f ( x) cos dx l kl l b 1 l f ( x) sin kx dx k l l l
a
B类函数 像函数
积分区 域确定
A类函数 像函数
确定的 二元函数 变换核
对不同的核和区间，决定了不同的变换及不同的 性质与作用。 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算， 原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成 像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变 为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中 找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要 在A中所求的解。
引
言
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转 化为较简单的运算，常采用变换的方法来达到目 的。 例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对 数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数 学里积分变换能够将分析运算(如微分、积分)转 化为代数运算。正是积分变换的这一特性，使得 它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的 方法之一。
与傅里叶级数的系数(3)一致，将上式代入 2 的表 达式，得
kx kx 2 a cos bk sin l [ f ( x)] dx l k 0 l k 0 可以证明：对于任意连续函数f(x) ，当n→∞时，
l 2 n 2 k n 2 2
§5.1 傅里叶级数
一、傅里叶级数 对周期为2l的函数f(x)=f(x+2l)，可取三角函数族
2x kx 1 ， cos ， cos ， ... ， cos ， ... l l l x 2x kx sin ， sin ， ... ， sin ， ... l l l
x
( 1)
作为基本函数族，将f(x)展开成级数
第五章 傅里叶变换
教学内容： 傅里叶变换公式、性质以及计算方法和应用。 要求： 理解傅里叶积分与傅里叶变换以及复数形式的傅 里叶变换。掌握非周期函数的傅里叶变换。理解 δ 函数的含义、性质以及在物理中的应用。
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信 号都可用正弦函数的级数 表示” 1822年发表“热的分析理 论”，首次提出“任何非 周期信号都可用正弦函数 的积分表示”
l
以上等式都可以通过计算定积分来验证。
另外还有：任意函数的平方在一个周期上的积分不 为零(模方) 2
l kx cos dx l l 2l
l
k 0 k 0
kx sin dx l l l
l
2
k 0
利用三角函数系的正交性和模方，可以求得(2)式 中的展开系数：
kx kx 2 a cos bk sin l [ f ( x)] dx l l k 0 k 0 这样，我们就称函数族是完备的，上式称为完备性
l 2 2 k
2
2
方程。
问题：
傅里叶级数平均收敛于f(x)，并不意味着收敛于
f(x)，甚至并不意味着收敛，那么f(x)需满足怎样
积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得 到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例 如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信 号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重 要的作用。 积分变换：就是通过积分运算，把一个函数变成 另一个函数的变换。 即 b
F ( p) f ( x) K ( x，p)dx
kx kx f ( x) a0 ak cos bk sin l l k 1
( 2)
(2)式称为周期函数f(x)的傅里叶展开式。
函数族(1)是正交的，正交是指在三角函数族中任 何两个不同函数乘积在一个周期上的积分为零。
kx l 1 cos l dx 0 (k 0) l kx l 1 sin l dx 0 l kx nx l cos l cos l dx 0 (k n) l kx nx l sin l sin l dx 0 (k n) l kx nx l cos l sin l dx 0
kx n kx a0 ak cos bk sin l l k 1 k 1
n
近似的表示函数f(x)，其中a0、ak、bk待定，于是平 均平方误差为
1 kx kx f ( x) a0 ak cos bk sin dx 0 l 2l l l k 1 k 1
1 l k ak f ( ) cos d l 2 (k 0) kl l ( 3) ， k 1 (k 0) b 1 l f ( ) sin k d k l l l
(3)式称为傅里叶系数。
函数族(1)又是完备的，解释如下：假设用