17-4泰勒公式与极值问题

g x, y
(2)
其中 aij 1 为 k 阶顺序主子式; k k g x, y 是半负定的 1 aij 0; 1
a b 0 b c
是负定的
1 aij 0, 1
k k
k
(3)
时,
g x, y 是不定的.
充分条件的讨论: 设函数 f x, y 在点 P0 x0 , y0 某邻域有二阶连续偏导数. 由Taylor公式, 有 f x0 h, y0 k f x0 , y0
m m i i m i h k f x , y C f x , y h k . 0 0 m 0 0 i m i y x y i 0 x
证明: 类似于定理17.8的证明. 作函数 t f x0 th, y0 tk . 由定理条件可知, 一元函数 t 在 0,1 上满足一元函数Taylor定理的条件, …… 注1: 中值公式是Taylor公式的特殊情形 n 0. 注2: Taylor公式也可写为
……
例1 求函数 z e x2 y 的所有二阶偏导数和 解：…… y z arctan 的所有二阶偏导数. 例2 求函数 x 解：……
3 z . 2 yx
2.关于混合偏导数 2 z ? 2 z 问题1: 混合偏导数是否与顺序无关？ xy yx
例3 求函数
x2 y 2 , x2 y 2 0 xy 2 2 f x, y x y 2 2 x y 0 0,
要使两个混合偏导数相等, 就是要两个累次极限相等. 定理17.7 若 则
f xy x, y 和 f yx x, y 都在点 P 0 x0 , y0 连续, f xy x0 , y0 f yx x0 , y0 .
证明：…….
注: 对于n元函数的混合偏导数也有类似结论, 例如: 如果 三元函数的六个三阶混合偏导数都在某一点连续, 则这六个混合 偏导数的值均相等. 即与求导数的顺序无关.
第十七章 多元函数微分学
§1 可微性
§2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度
§4 泰勒公式与极值问题
§4 泰勒公式与极值问题
一、高阶偏导数
二、中值定理和泰勒公式
三、极值问题
一、高阶偏导数 1.高阶偏导数的定义、记法 若函数 z f x, y 的偏导函数 f x x, y (或 f y x, y )关于 x 或 y 的偏导数也存在, 则说函数 f 具有二阶偏导数. 二元函数的二阶偏导数有四种: 注意顺序 (1) (3)
3.二元复合函数的高阶偏导数 设 z f u, v , u x, y , v x, y 都具有连续的二阶 偏导数, 则复合函数 z 对于 x 和 y 同样存在二阶连续偏 导数. 只要根据复合函数一阶偏导数的求法逐阶求导. 例4 设
x z f x, , y
1 ln u , u x2 y 2 . 所以…… 2 u u x y 0 变为极坐标形式. y x
y 2 2 arctan . r x y , x r cos , y r sin x
例7 试确定 a 和 b , 利用线性变换 s x ay,
z 2 z (4) y y y 2 f yy x, y .
类似地, 可以定义三阶及以上偏导数, 三阶偏导 数共有八种, 例如
2 z 3 z 2 z 3 z f xyx x, y , 2 2 f xxy x, y , y x x y x xy xyx
2
令
f
A f xx P0 , B f xy P 0 , C f yy P 0 .
则当点 P0 为函数
的稳定点时, 有 1 2 2 2 Ah 2 Bhk Ck o , f x0 h, y0 k f x0 , y0 2!
2.极值的必要条件 (与一元函数比较) 定理17.10 若函数 f x, y 在点 P0 x0 , y0 的两个一阶 偏导数都存在, 且 P0 是函数 f x, y 的极值点, 则有 fx P 0 fy P 0 0. 证明 …… 注意: (1)满足条件 f x P0 f y P0 0 的点 P0 称为 函数 f 的稳定点(或驻点). (2) 函数的稳定点和不可导点是函数极值点的可疑点.
h2 k 2 .
其中
可见 f x0 h, y0 k f x0 , y0 的正负性
由二次型 Ah2 2Bhk Ck 2 完全决定.
A B 称该二次型的矩阵 B C 为函数 f x, y 的Hesse矩阵.
于是由上述代数准备, 有 ⅰ) ⅱ) ⅲ) ⅳ)
1 h k f P0 h k f P0 o 2 y 2! x y x 1 2 2 2 f P h 2 f P hk f P k o , fx P h f P k xx 0 xy 0 yy 0 0 y 0 2!
在点 O 0,0
处的两个不同顺序的混合偏导数. 解 ……， f xy 0,0 1,
f yx 0,0 1,
注意：混合偏导数可能与顺序有关.
问题2: 混合偏导数在什么条件下相等？ 分析: 根据偏导数的定义, 可以得
f x0 x, y0 y f x0 , y0 y f x0 x, y 0 f x 0, y 0 f xy x0 , y0 lim lim , y 0 x 0 xy f x0 x, y0 y f x0 x, y0 f x0 , y 0 y f x 0, y 0 f yx x0 , y0 lim lim , x 0 y 0 xy
z 2 z 2 f xx x, y , x x x
(2)
Βιβλιοθήκη Baidu
z 2 z f xy x, y , y x xy
z 2 z f yx x, y , x y yx
t x by
将方程
2u 2u 2u 2u 4 3 2 0 化为 0. 2 x xy y st
解：……
§4 泰勒公式与极值问题
一、高阶偏导数
二、中值定理和泰勒公式
三、极值问题
二、中值定理和泰勒公式 1.中值定理 凸区域: 若区域 D 上任意两点的 连线都包含在 D 内, 则称 D 为凸区域.
A 0, AC B 2 0 P 0
为(严格)极小值点; A 0, AC B 2 0 P 0 为(严格)极大值点; AC B 2 0 P 0 不是极值点; AC B 2 0 时，P 0 可能是极值点，也可能不是;
f x0 h, y0 k f x0 , y0
p 1 n
1 n o , h k f x , y 0 0 p ! x y
p
其中
h2 k 2 .
f x, y x y 在点 1, 4 的Taylor公式到二
D
证明: 令 t f a th, b tk . 注意： t 在 0,1 满足Lagrange中值定理的条件.
推论 若函数 f 在区域 D 上存在偏导数, 且 f x f y 0, 则 f 是 D 上的常值函数. 注意: 函数在 上可微.
D
上偏导数连续, 所以函数在 D
例8 求函数 3.96 1.08 阶为止. 并用它计算 .
解：……
§4 泰勒公式与极值问题
一、高阶偏导数
二、中值定理和泰勒公式
三、极值问题
三、极值问题
1.极值的定义
P 0
定义 设 P0 是函数 f 的定义域中的一个内点, 若存 在邻域U P0 , 使得对于 P U P0 都有 f P f P0 (或 f P f P0 ),则称函数 f 在点 P0 取得极大值 (或极小值), 点 P0 称为函数 f 的极大值点 (或极小值点), 极大值和 极小值统称极值, 极大值点和极小值点统称极值点. 注意: 极大值和极小值是局部概念, 它是局部的 最大值和最小值. 例9 显然点 O 0,0 是函数 f x, y 2x2 y2 的极小值点; 2 2 g x , y 1 x y 是函数 的极大值点; 但它既不是 h x, y xy 的极大值点, 也不是极小值点.
3.极值的充分条件 代数准备:
2 2 g x , y ax 2 bxy cy , 对二元(实)二次型
a b 其矩阵为 . 则有结论: b c (1) g x, y 是正定的
顺序主子式全 0; g x, y 是半正定的 顺序主子式全 0;
2.Taylor公式 定理17.9(Taylor公式) 若函数 f 在点 P0 x0 , y0 的某邻域 U P0 内有直到 n 1 阶连续偏导数, 则对 U P0 内任一点 P x0 h, y0 k , 存在相应的 0,1 , 使得
h k f x0 h, y0 k f x0 , y0 f x0 , y0 y x 2 1 h k f x0 , y0 2! x y
D
√ ×
定理17.8(中值定理) 设二元函数 f 在凸区域 D R 2 上连续, 在 D 的所有内点处可微. 则对 D 内任意两点 P a, b , Q a h, b k D, 存在某个 0 1 , 使得 f a h, b k f a, b f x a h, b k h f y a h,b k k .
1 1 h k f x0 , y0 h k n ! x y n 1! x y
m n
n 1
f x0 h, y0 k ,
此公式称为二元函数 f 在点 P0 的 n 阶Taylor公式, 其中
求
2 z x 2
2 z 和 . xy
解: 设 z f u, v ,
u x, v x y .
所以……
4.验证或化简偏微分方程 例5 设
z ln x 2 y 2 ,
证明
2 z 2 z 2 0 (Laplace方程). 2 x y
证明: 令
z
例6 将方程 解: 设 所以……