第六章 惯性力

简化中心取在质心C
M IC 0
平移刚体惯性力系的简化结果：平移刚体的
惯性力系可以简化为一个通过质心的惯性力，其
大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加
速度的方向相反。
C FIR
aC
(2) 定轴转动刚体
w a
z
vi ω ri w ( yi i xi j ) aτi α ri a ( yi i xi j ) ani ω vi w 2 ( xi i yi j )
τ aOx aOy aA aOA n aOA
其中， a n 0 OA
l τ aOA a 2
上式分别投影互x、y轴，得到
aOx a A
aOy
l a 2
（4）画出等效惯性力与等效惯性力偶 按照平面运动刚体的惯性力系的简化法则，按相应加速度 的反方向画出等效惯性力与等效惯性力偶。
1.
惯性力系的主矢
设质点系的总质量为m，质心的加速度为aC；其中任一 质点的质量为mi，加速度为ai。 每个质点的惯性力为FIi=-miai，则惯性力系的主矢为
FIR FIi (mi ai ) ( mi ai )
由质心位置计算可得 对于质量不变的质点系有 惯性力系的主矢
mi ri mrC
M IO M IOi ri FIi
J xz mi xi zi , J yz mi yi zi
刚体对于z轴的惯性积 刚体对于z轴的转动惯量
Jz
2 mi ( xi

2 yi )
定轴转动刚体的惯性力系对于转轴上一点O的主矩为
MIO ( J xza J yzw 2 )i ( J yza J xzw 2 ) j J zak
a ni ati mi ri F
n Ii
F
t Ii
质点mi的惯性力为
y
O x
FIi FIiτ FIin mi [(w 2 xi ayi )i (w 2 yi axi ) j ]
惯性力系对O点的主矩为
(a mi xi zi w 2 mi yi zi )i (a mi yi zi w 2 mi xi zi ) j a mi ( xi2 yi2 )k
MIO B
a
解：参考系固连在地面，为惯性系。 （1）明确刚体的运动类型
绳BD断后，杆只受绳的约束和重力作用，产生平面运动。
（2）假设相应的加速度
设杆AB的质心为O，加速度方向未知，设为两个正交分量 aOx、aOy；设杆AB的角加速度为a。
（3）进行运动分析，确定加速度的关系 一个条件是在绳BD断的瞬间，杆AB的角速度为零。另一个 条件是在绳BD断的瞬间，点A只能具有垂直于绳方向的加速度aA。 由平面运动刚体上点的加速度计算，若以点A为基点，有
y
w
C
a
ac O
MIO x FIR
(3) 平面运动刚体
w a
z
n ai aC aiC
τ aiC
质点mi的惯性力为
FIi ri mi ai
C
n τ FIi mi ai mi aC mi aiC mi aiC
x
aC

y
n mi aC FIi
τ FIi
惯性力系对质心C的主矩为
或写为
MIO M Ix i M Iy j M Iz k
2 分别是定轴转动刚体惯 J yza J xzw 性力系对x、y、z轴的矩。 J za
2
M Ix J xza J yzw
其中
M Iy M Iz
a w
y
质量对称面
y
w
C
a
C
z
x
O
ac O
惯性力的大小等于刚体的 质量与质心加速度的乘积，方 向与质心加速度的方向相反， 力线通过质心；惯性力偶的矩 的大小等于刚体对过质心且垂 直于质量对称面的轴的转动惯 量与角加速度的乘积，转向与 角加速度的方向相反。
w
aC FIR C MIC
a
惯性力分析的一般步骤与要求：
1.明确刚体的运动类型，确定刚体惯性力系的主矢 与主矩的计算方法。
MIC MC (FIi ) MC (mi aC )
但
n MC (FIi )

τ MC (FIi )
M C ( mi aC ) 0
t M IC MC ( FIn ) M ( F C Ii ) i
所以
把平面运动分解为随质心的平移和绕质心轴的转动时，
FIrB B A aA ae A FIA
B FIeB ar
解：参考系固连在地面，为惯性系。
（1）分析运动
三棱柱A平移，加速度为aA。 三棱柱B相对三棱柱A平移，同时随三棱柱A平移。相对 加速度为ar，牵连加速度 其绝对加速度为
ae a A
aB ar ae ar aA
（2）计算惯性力
MIO x FIR
如果刚体有质量对称平面，且转轴z与该平面垂直， 简化中心O为z轴与该平面的交点, 惯性力系对于转 轴上一点O的主矩只有z轴上的分量，为
M IO M Iz J za
当定轴转动刚体有质量对称平面且转轴与此对称 面垂直时，惯性力系向转轴与对称面的交点简化为此 对称面内的一个等效惯性力与一个等效惯性力偶。 惯性力的大小等于刚体的质 量与质心加速度的乘积，方向与 质心加速度的方向相反，力线通 过转轴；惯性力偶的矩的大小等 于刚体对转轴的转动惯量与角加 速度的乘积，转向与角加速度的 方向相反。
z'
w a
O B v A
w a
y'
t aC a e an e v O n FIe F B FIe IC t
A x'
6.2 达朗贝尔惯性力
6.2.1 质点的惯性力
W F FI a Fs FN
由牛顿第二定律知：
FR ma
由牛顿第三定律知，对外界的反作用力：
ma FR
达朗贝尔惯性力
FI ma
（5）写出惯性力的表达式
FIOx maOx ma A
FIOy maOy
ml a 2
1 M IA mr 2a A mr 2a B 3
M IB mr 2a B
例6-5 均质杆AB质量为m，杆长为l，两端悬挂在两条平 行绳上，杆处于水平位置。设其中一绳突然断了，分析 此瞬时杆的惯性力。
C
D
C
x
FIOy A B aA A y aOy aOx
n aOA
O
t aOA
FIOx
这种形式的惯性力是法国科学家达朗贝尔在18 世纪首先使用的。
达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力有同有异。 相同之处是：它们的大小都等于加速度和质量 的乘积，方向都与加速度的方向相反。
不同之处是：非惯性系惯性力作用在质点上； 达朗贝尔惯性力不作用在质点上，而是质点对 外界的作用力。
在受力分析时把惯性力和质点实际受到的力同样 分析、标注。 在受力图上把惯性力的作用点直接取在质点上， 方向与加速度相反，为了与其它真实作用在质点 上的力有所区别，往往用虚线来画惯性力的力矢。
2.根据刚体惯性力系的主矢与主矩的计算需要，假 设相应的加速度（速度）。 3.进行运动分析，确定所假设的加速度的关系。
4.按与加速度相反的方向，在受力图上画出相应的 等效惯性力与等效惯性力偶。 5.写出等效惯性力与等效惯性力偶用相应加速度计 算的表达式。
例6-3 在水平面上放置一均质三棱柱A，质量为mA，质 心在点A；在其斜面上又放着一个均质三棱柱B，质量 为mB，质心在点B。两三棱柱的横截面均为直角三角形。 试分析三棱柱B在下滑过程中，两个棱柱的惯性力。
（3）进行运动分析，确定加速度的关系 对轮A有 a A Ra A 2ra A 对绳上E点
aE aA ra A 3ra A
，且
aD aE 3ra A
对轮B有 aB ra B 且绳上D点的加速度 所以两个轮子 的角加速度的关 系为
aD aB Ra B ra B
FIe mae
对于质量为m的质点，如果它的科氏加速度为aC， 则它受到的科氏惯性力是
FIC maC
例6-1 如图所示，盛有液体的容器以角速度w绕铅垂轴 匀速转动，试求容器内距转轴距离为r的液滴的重力与 非惯性系惯性力的合力的方向。
r ae
r FIe G q
w
w
例6-2 OA长l=0.5m，绕过点O的铅垂轴在水平面内转动； OA上有质量m=0.1kg的套筒B，B沿杆OA以速度v=0.01m/s 匀速运动。设开始时OA静止，角加速度a=0.1prad/s2，B 在O点。求运动后第10s时，B的非惯性系惯性力。
mi ai maC
FIR maC
2.惯性力系的主矩及简化结果 (1) 平移刚体
a1 F I1 O F Ii rC C aC FIR C aC
ai
任选一点O为简化中心
M IO ri FIi ri (mi ai ) ( mi ri ) aC mrC aC
三棱柱A平移，其惯性力 FIA mAa A 三棱柱B也是平移，其惯性力 由于
FIB mB aB
aB ar aA
，所以有
FIB mB aB mB ar mB aA FIrB FIeB
例6-4 A、B两均质轮质量皆为m，对质心的转动惯量皆 为mr2，且有R=2r。小定滑轮C及绕于两轮上的细绳的 质量忽略不计。当轮沿斜面只滚不滑时，试分析A、B 两轮的惯性力。
W F FI a Fs a FN W FT FI
6.2.2 刚体惯性力系的简化
运用力系简化的方法将刚体上各个质点的惯 性力组成的惯性力系向一点简化，得到一个等效 力与一个等效力偶。等效力作用在简化中心，大
小与方向等于惯性力系的主矢，等效力偶矩等于
惯性力系的主矩。因此，对刚体惯性力系的研究
关键在于惯性力系的主矢与主矩的分析。
第6章 惯性力
6.1 非惯性系惯性力
6.1.1 牛顿定律 惯性系与非惯性系 牛顿运动定律中描述运动所用的参考系称为惯性 参考系，简称惯性系。不能直接运用牛顿运动定律的 参考系称为非惯性系。在绝大部分的工程问题中可以
选取与地球固连的参考系为惯性系。
相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系也都 是惯性系。所以，非惯性系就是相对于惯性系作变速 运动的参考系。
FIB C aA A r R P A MIA aE E aA FIA Q D aD MIB B
C
r
B R
aB
aB
解：参考系固连在地面，为惯性系。 （1）明确刚体的运动类型 A、B两轮皆为平面运动，且轮A的速度瞬心在点P，轮
B的速度瞬心在点Q。
（2）假设相应的加速度 设系统运动时轮B向下滑动，轮A向上运动。因此， 设轮A的质心加速度为aA，角加速度为aA；轮B的质心加 速度为aB，角加速度为aB。
6.1.2 质点的非惯性系惯性力
由于非惯性系是动系，从运动分析可知，物 体在动系中的相对加速度与在定系中的绝对加速 度不同。因此，物体在非惯性系的动系中的受力 情况也与在惯性系的定系中的受力情况不同。
ae
FIe
w
vr aC
FIC vr0
对于质量为m的质点，如果它的牵连加速度为
ae，则它受到的牵连惯性力是
1 a A aB 3
（4）画出等效惯性力与等效惯性力偶 按照平面运动刚体的惯性力系的简化法则，按相应加速度 的反方向画出等效惯性力与等效惯性力偶。
（5）写出惯性力的表达式（可用一个独立加速度表示）
2 FIA maA 2mra A mra B 3
FIB maB mra B
工程中的平面运动 刚体常常具有质量对称 平面，且运动平面与该 质量对称平面平行。该 刚体的惯性力系对于质 心C的主矩只有z轴上的 分量，为
质量对称面 与运动平面
w
aC FIR C MIC
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a
M IC M Iz J za
当刚体有质量对称平面且平行于此对称面运动时， 惯性力系向质心简化为此对称面内的一个等效惯性力 与一个等效惯性力偶。
惯性力系的主矩由绕质心轴的转动确定，而与随质心的 平移无关。因此参考刚体绕定轴转动的惯性力系主矩的 计算方法，得到平面运动刚体惯性力系对质心C的主矩 为
MIC M Ix i M Iy j M Iz k
M Ix J xza J yzw
2
其中
M Iy M Iz
2 分别是刚体惯性力系对x、 J yza J xzw y、z轴的矩。 J za