第九章单因素方差分析

因素水平（level of factor）: 试验因素所处 的某种特定状态或数量等级称为因素水平， 简称水平。如研究3个品种奶牛产奶量的高低， 这3个品种就是奶牛品种这个试验因素的3个 水平。 试验处理（treatment）: 事先设计好的实施 在实验单位上的具体项目就叫试验处理。如 进行饲料的比较试验时，实施在试验单位上 的具体项目就是具体饲喂哪一种饲料。
a n
… … … … … … … …
i yi1 yi2 … yij … yin yi. yi.
… … … … … … … …
a
处理间平均 数的差异是 由处理效应 引起的：
ya1 a ya2 … i 1 yaj … yan ya. ya.
( y
i.
y.. )
2
Yi.=∑yij y ..
处理内的变 异是由随机 误差引起：
dfT = na-1
dfA = a -1
dfe = dfT - dfA = na-1-（a-1） =na-a
总和 平均
yi
… Ta T=∑yij … ya y
例：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均为30mm以上， 现有一棉花品种，以n=400进行抽查，测得其纤维平均长度为
30.2mm，标准差为2.5mm，
问该棉花品种的纤维长度是否符合纺织品的生产要求？ 例：某鱼塘水中的含氧量，多年平均为4.5(mg/L)，该鱼塘设10 个点采集水样，测定含氧量为： 4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26(mg/L)
况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著
性检验的一种引伸。
方差分析的 基本功能
对多组样本平均数差异 的显著性进行检验
例：某鱼场按常规方法所育鲢鱼一月龄的平均体长为7.25cm， 标准差为1.58cm，现采用一新方法进行育苗，一月龄时随机抽 取100尾进行测量，其平均体长为7.65cm，
问新育苗方法与常规方法有无显著差异？
缺 点
例如我们用t检验的方法检验4个样本平均数之间的差异显著性
6次都接受的概率(0.95)6＝0.735 犯α 错误的概率＝1-0.735＝0.265 犯α 错误的概率明显增加
基本概念
试验指标（eyperimental indey）： 为衡量试验 结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体 测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用 的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、 DNA含量等等。 试验因素（ eyperimental factor）： 试验中所 研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试 验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素对试验指标的 影响时，则称为两因素或多因素试验。
试验处理： 具体的探讨哪一窝动物的出生重
试验单位： 一定窝数的动物 重复： 4个重复
方差分析的基本原理
一、方差分析的基本思想、目的和用途 二、数学模型
三、平方和与df的分解
四、统计假设的显著性检验 五、多重比较
六、方差分析应该具备的条件
方差是标准差的平方，是表示变异的量。 在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的 观测值。
试检验该次抽样测定的水中含氧量与多年平均值有无显著差别。
用A、B、C、D 4种不同的配合饲料饲养30日 龄的小鸡，10天后计算平均日增重，得到下表的数 据，问4种饲料的效果是否相同？ 饲料 日增重（g）
A
B C D
55
61 71 85
49
58 65 90
62
52 56 76
45
68 73 78
51
( y
i 1 j 1
ij
yi. )
2
3.1平方和的分解
( yij y.. )2 ( yij yi . ) ( yi . y.. )
i 1 j 1 a i 1 j 1 a n n
a
n
a
n
2
( yij yi . )2 2 ( yij yi . )( yi . y.. ) ( yi . y.. )2
二、数学模型
2.2随机效应模型(random effect model)
指各处理的效应值αi不是固定的数值，
而是由随机因素所引起的效应。 这里αi是一个随机变量，是从期望均值 为 0，方差为σ2 的标准正态总体中得到的随 机变量。
二、数学模型
美国的黑核桃品种对不同地理条件的适应情况
河 南 北 京 广 州 江 苏 新 疆
例：调查了5个不同小麦品系的株高结果列于表8-1
试验指标：株高
试验因素：品系
因素水平：5个
试验处理：具体的调查哪一种品系的株高 试验单位：一定面积的小麦 重复：5个重复
例：探讨不同窝的动物出生重是否存在差异，随机 选取4窝动物，每窝均有4只幼仔，结果见表8-2。
试验指标：
出生重
试验因素： 窝别
因素水平： 4个
试验包含４个处理
缺 点
t 检验： C42 ＝ 6次
2.无统一的试验误差，误差估计的 精确性和检验的灵敏性低 t检验：C42 ＝6次
缺 点
x

n
需计算 6个标准误
误差估计不统一 误差估计精确性降低
3.推断的可靠性低，检验时犯α错误 概率大。
t检验： C42 ＝6次 6次检验 相互独立 H0的概率： 1-α ＝0.95
第九章 单因素方差分析
Chapter 9 One-Facter Analysis of Variance
方差分析的定义
方差分析(Analysis of variance，ANOVA)
又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多 个均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情
观 测 值 不 同 的 原 因
处理效应(treatment effect)： 处理不同引起
试验误差：试验过程中偶然性
因素的干扰和测量误差所致。
1.1方差分析的基本思想
处 理 效 应
总 变 异
试 验 误 差
1.2方差分析的目的
确定各种原因在总变异中所占的重要程度。
处理效应
相差不大，说明试验处理对指标影 响不大。
1 a 2 ss A yi . c n i 1
处理内平方和：SSe = SST - SSA
3.2 自由度的分解
总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自 由度：
dfT = dfA + dfe
总 df
处理间df
处理内 df
3.2 自由度的分解
处理 重复
1 2 … j … n 1 y11 y12 … y1j … y1n T1 y1 2 y21 y22 … y2j … y2n T2 y2 … … … … … … … … … i yi1 yi2 … yij … yin Ti … … … … … … … a ya1 ya2 … yaj … yan
a n a n
1 a 2 y..2 ss A n ( yi . y.. ) 2 yi . n i 1 na i 1
a
y..2 令矫正数C＝ na
，则(P148）：
2 ij
ssT
y
i 1 j 1
a
n
c
( y y ) y2
2
( y )2 n
气候、水肥、土壤
无法人为控制
如果实验条件不能人为控制，那么这个样本对 所属总体作出推断就属于随机模型。
二、数学模型
随机模型
在随机模型中，水平确定之后其处理
所产生的效应并不是固定的，试验重 复时也很难得到相同的结果。 方差分析所得到的结论，可以推广到这 个因素的所有水平上。
二、数学模型
2.3 混合模型(miyed model) 指多因素试验中既有固定因素又有随 机因素时所用的模型。 在实际应用中，固定模型应用最多， 随机模型和混合模型相对较少
1 2 … j … n 总和 平均 1 y11 y12 … y1j … y1n y1. y1. 2 y21 y22 … y2j … y2n y2. y2. … … … … … … … … i … … … … … … … … a ya1 ya2 … yaj … yan ya. ya.
y.. yij
i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
a
n
对于每个固定的 y
i.
a n
( y
i 1 j 1
a
n
ij
yi . )( yi . y.. ) ( yi . y.. ) ( yij yi . ) 0
i 1 j 1
因此
3.1平方和的分解
( yij y.. )2 n ( yi . y.. ) 2 ( yij yi . ) 2
方差是离均差平方和除以自由度的商
σ2 ＝
∑(y-μ)2
N
Hale Waihona Puke s2 =∑(y- y )2
n-1
方差分析的基本思想：引起观测值出现 变异分解为处理效应的变异和试验误差的变 异。
要把一个试验的总变异依据变异来源分
为相应的变异，首先要将总平方和和总df分
解为各个变异来源的的相应部分。
3.1平方和的分解
处理 重复 1 2 … j … n 总和 平均 1 y11 y12 … y1j … y1n y1. y1. 2 y21 y22 … y2j … y2n y2. y2.
相差较大，即处理效应比试验误差
试验误差
大得多，说明试验处理影响是很大
的，不可忽视。
1.3方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较
2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验
4. 方差的同质性检验
二、数学模型
假定有a组观测数据，每组有n个观测值，则共有 a na个观测值。 n n
处理 重复
试验单位（ eyperimental unit ）: 在实验中 能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验 单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦 等都可以作为实验单位。
重复（repetition）: 在实验中，将一个处理实 施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有 重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复 数。例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处理 （饲料）有4个重复。
2.1固定效应模型(fiyed effect model) 指各个处理的效应值αi是固定值，各 个的平均效应αi＝ μi － μ是一个常量，且 ∑αi＝0。 实验因素的各水平是根据试验目的事 先主观选定的而不是随机选定的。
二、数学模型
不同离子对木聚糖酶活性的影响(mg/ml)
Na+ K+ Mn2+ Cu2+
(i=1,2,3…,a j=1,2,3…,n)
αi－处理效应 εij －试验误差
yij －是在第 i 次处理下的第 j 次观测值
要求εi j 是相互独立的，且服从标准正态 分N(0,σ2 )。
二、数学模型
根据的αi不同假定，可将数学模型分为 以下三种：
固定效应模 型
随机效应模 型
混合效应模 型
二、数学模型
70 59 69
t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著
性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数
据平均数之间的差异显著性。
有人说，我们可以把多组数据化成n个两组数 据（化整为零），用n次t检验来完成这个多组数据 差异显著性的判断。
对多个处理进行平均数差异显著性检验时， 采用t检验法的缺点： 1.检验过程烦琐
0.00
0.25 0.50 0.75 1.00
0.00
0.40 0.60 0.80 1.00
0.00
0.06 0.12 0.18 0.24
0.00
0.40 0.80 1.20 1.60
1.25
1.20
0.30
2.00
二、数学模型
在固定模型中，除去随机误差之后的每个处理
所产生的效应是固定的，试验重复时会得到相 同的结果; 方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个 水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它 水平上。
i 1 j 1 i 1 i 1 j 1 a n a a n
总平方和 SST
处理间或组间平 方和SSA
处理内或组内 平方和 SSe
SST ＝ SSA+ SSe
总平方和＝处理间平方和 + 处理内平方和
y..2 2 ssT ( yij y.. ) 2 yij na i 1 j 1 i 1 j 1
yi . i 1 j 1 ij y
j 1 i. i.
…yi1 yi2 … yij … yin
yi. yi.
1 y.. 1 y.. y an y
n
Yi.=∑yij y ..
二、数学模型
用线性模型(linear model)来描述每一 观测值：
yij =μ + αi + εij
μ －总体平均数