3.6条件分布与条件数学期望

6
称

x
f ( x y )d x
x
f ( u, y ) d u 为在 Y y 的 fY ( y )
条件下, X 的条件分布函数，记为
P{ X x Y y } 或 F ( x y ), 即 F ( x y ) P{ X x Y y }
x
f ( u, y ) d u. fY ( y )
当X 1与X 2相互独立时， E ( X 1 X 2 Y y ) E ( X 1 Y y ) E ( X 2 Y y ). 等等.
20
③ X在Y=y的条件下的条件期望是y的函数,它是一个 变量. 这不同于无条件期望E(X).
E( X | Y y)
Y取确定值y的条件下
E( X | Y )
pY ( y )


p( x, y )d x
y 1 d x ln(1 y ),0 y 1, 0 1 x 其它. 0,
16
四、条件数学期望
定义 条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望， 其定义如下： xi P ( X xi Y y ), ( X , Y )为离散型； i E ( X Y y) + xp( x y )dx , ( X , Y )为连续型. -
证 仅就连续型给出证明，离散型类似可证.
设( X , Y )的联合密度函数为 p( x , y )，Y 的边际分布 密度pY ( y )，记 g( y ) E ( X Y y )，g(Y ) E ( X Y ) 由公式 p( x , y ) pY ( y ) p( x y )，得
22
25
例7 设电力公司月供某厂的电力X ～U (10, 30)(单位： 104 kw),而该厂月实际需要电力Y ～U (10, 20)当满足 供电时，每104 kw 可创利润30万元，供电不足时，缺 口由工厂自行解决，但自行解决的电力每104 kw 的利 润只有10万元，试求该厂的月期望利润.
解 设该厂的月利润为Z 万元,按题意可得： 当Y X 时; 30Y , Z 30 X 10(Y X ), 当Y X 时.
7
F x y P X x Y y

x

f x, y dx fY y
f x, y f x y fY y

8
同理,定义在 X x 的条件下 Y 的条件概率密度 和条件分布函数分别为
f ( x, y) f ( y x) f X ( x)
4
定义3.6.2
给定Y y j 条件下 X 的条件分布函数为 F ( x y j ) P( X x Y y j )
xi x
P( X x
j
i
Y y j ) pi j .
xi x
给定X xi 条件下 Y 的条件分布函数为 F ( y xi ) P (Y y X xi )
yj y
P(Y y
X xi ) p j i ；
yj y
5
二、连续型随机变量的条件分布
定义3.6.3
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率密度为f ( x , y ), 关于 Y 的边际概率密度为fY ( y ).
f ( x, y ) 若对一切使fY ( y ) 0的 y , 称 为在Y y的 fY ( y ) 条件下 X 的条件概率密度, 记为 f ( x, y) f ( x y) . fY ( y )
解 先求条件概率密度p( y x ).而当0 x 1时， pX ( x ) p( x, y )dy 24(1 x ) ydy 12 x 2 (1 x ).
0 0 x x
2y p( x , y ) 2 , 0 y x 1; 所以p( y x ) x pX ( x ) 其他. 0,
f ( x | y)
11
由于 fY ( y)



f ( x, y)dx
y



e
x y
0
e y
y
dx
e
y
[ ye
x y
]
0
y
e ,
y
0 y
x y
y
o
于是对 y>0,
y
x
f ( x, y ) e f ( x | y) , x0 fY ( y ) y x y e dx 故对y >0, P{X>1|Y=y} 1 y
e
x y

1
e
1 y
12
三、连续型场合的全概率和贝叶斯公式
前面已知 或 f ( x , y ) fY ( y ) f ( x y ) f ( x , y ) f X ( x ) f ( y x ).

再对p( x , y )求关于 X 或 关于Y 的边际密度函数得 fY ( y ) f X ( x)


f X ( x ) f ( y x )dx , fY ( y ) f ( x y )dy .

全概率公 式的密度 函数形式
称此二式为连续型全概率公式的密度函数.
13
将全概率公式的密度函数代入条件分布密度公式得
f X |Y ( x | y )
f X ( x ) fY | X ( y | x )



f X ( x ) fY | X ( y | x )dx
fY ( y ) f X |Y
fY | X ( y | x )



fY ( y ) f X |Y
( x | y) . ( x | y )dy
.
贝叶斯 公式的 密度函 数形式
称此二式为连续型贝叶斯公式的密度函数.
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Y取值随机的条件下
g( y ) E ( X | Y y ), 则 g(Y ) E ( X | Y )作为随机变量Y 若记
的函数, 我们可称之为在给定Y的条件下X的条件期望, 它是 随机变量.
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定理（重期望公式）设( X , Y )是二维随机变量且 E ( X )存在，则 E ( X ) E ( E ( X Y )).
F ( y x ) P{Y y X x }
y

f ( x, v ) d v. fY ( y )
9
由连续型随机变量条件密度函数定义可得：
f ( x, y) fY ( y) f ( x y) f X ( x) f ( y x)
说明 联合分布、边际分布、条件分布的关系如下
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E (Y X x )


yp( y x )dy
x
0
2y 2x y 2 dy , x 3
1 E (Y X 0.5) . 3
也可以将x 0.5代入 8 y , 0 y 0.5; p( y x 0.5) 其他. 0,
E (Y X 0.5)
y j P (Y y j X x ), ( X , Y )为离散型； j E (Y X x ) + y p( y x )dy , ( X , Y )为连续型. -
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例3 设二维连续随机变量( X ,Y )的联合密度函数为 24(1 x ) y ,0 y x 1, p( x , y ) 其他. 0, 试求E (Y X 0.5).


g( y ) pY ( y )dy
E ( g(Y )) E ( E ( X Y ))
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说明：①重期望E ( E ( X Y ))公式的具体使用为
●如果Y 是离散型随机变量则E ( E ( X
Y ))公式为
E ( X ) p(Y y j ) E ( X Y y j );
Y 的条件概率密度为
1 , 0 x y 1, p( y x ) 1 x 其它. 0,
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因此 X 和 Y 的联合概率密度为
p( x, y) pX ( x) p( y x)
1 , 0 x y 1, 1 x 其它. 0, 故得 Y 的边际概率密度
j
如果Y 是连续型随机变量则E( E( X Y ))公式为 E( X )

pY ( y) E( X Y y)dy.
24
②重期望E ( E ( X Y ))在实际应用中很有用，如求 一个大范围上的指标X的均值E ( X )，会遇到各种 困难，只好寻找有关的量Y，用Y的不同取值将大 范围分成若干个小区域，先在小区域上求X的平 均，再对此类平均求加权平均，即可得大范围上 的X的均值E ( X ).
例2 设数 X 在区间 ( 0, 1) 上随机地取值, 当观察到 X x ( 0 x 1) 时, 数 Y 在区间 ( x, 1) 上随机地取 值.求 Y 的概率密度 pY ( y). 解 由题意知 X 具有概率密度 1, 0 x 1, pX ( x ) 0, 其它. 对于任意给定的值 x(0 x 1), 在X x的条件下,
在X x时Z 仅是Y的函数，
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由随机变量函数的期望公式
于是,当10 x 20时,Z 的期望为 E ( Z X x ) 30 ypY ( y )dy (10 y 20 x ) pY ( y )dy
10 x 20 1 1 30 y dy (10 y 20 x ) dy 10 x 10 10 x x 20
50 40 x x 2
当20 x 30时,Z 的期望为 E ( Z X x ) 30 ypY ( y )dy
10 20 20 10
1Байду номын сангаас30 y dy 450. 10
3
同理，对于一切使P{ X xi } pij pi 0的 xi , 则称
j 1

p j i P{Y y j X xi }
P { X xi , Y y j } P { X xi }

pij pi
, j 1, 2,
为在给定X xi 条件下 Y 的条件分布列.


yp( y x 0.5)dy
0.5
0
1 y 8 ydy . 3
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注意：①条件期望E ( X Y y )是y的函数，它与无 条件期望E ( X )在计算和意义上都有区别.
②因为条件期望是条件分布的数学期望，因此它 具有数学期望的一切性质.如 E (aX 1 bX 2 Y y ) aE ( X 1 Y y ) bE ( X 2 Y y ).
E( X )





xp( x , y )dxdy xpY ( y ) p( x y )dxdy
g( y ) E ( X Y y )





xp( x y )dx

{





xp( x y )dx} pY ( y )dy
定义3.6.1
对于一切使P {Y y j } pij p j 0的 y j , 则称
i 1
pi j P { X xi Y y j }
P { X xi , Y y j } P {Y y j }

pij p j
, i 1, 2,
为在给定Y y j 条件下 X 的条件分布列.
边际分布 联合分布 条件分布
10
联合分布
例1 设(X,Y)的概率密度是
e x ye y , 0 x , 0 y p( x, y ) y 0 , 其它
求 P{X>1|Y=y}. 解
P{X 1 Y y}

1
f ( x y )dx
为此, 需求出
§3.6 条件分布与条件期望
一、离散型随机变量的条件分布
二、连续型随机变量的条件分布
三、连续型场合的全概率和贝叶斯公式 四、条件数学期望
1
一、离散型随机变量的条件分布
设 二维离散型随机变量( X , Y ) 的联合分布列为 pij P ( X xi , Y y j ), i 1, 2, , j 1, 2, .