第二类曲面积分补充例题
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例1 计算
⎰⎰∑
xdydz ,其中∑是平面1=++z y x 与三个坐标面围成的四面体的外侧。
解:由题意可知 )0,0,(),,(x z y x A =;设平面1=++z y x 及三个坐标面yoz,xoz,xoy
分别为4321∑∑∑∑,,,,则4321∑+∑+∑+∑=∑。
“一投” 1∑:z y --1,1∑向yoz 面的投影域为
yz D :1≤+z y 即⎩⎨⎧-≤≤≤≤y
z y 101
0;
“二定” 1∑取前侧;
“三代”
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰-∑--=--+=yz
D y
dz z y dy dydz z y xdydz 10
10
)1()1(1
6
1|)1(61)121]|21|)1[(101
0321010210⎰⎰=--=-=--=--y dy y dy z z y y y (; 2∑:x=0)10,10(y z y -≤≤≤≤,2∑向yoz 面的投影域为yz D 且取后侧
故
⎰⎰⎰⎰=-=∑yz
D dydz xdydz 002
;
3∑:y=0)10,10(x z x -≤≤≤≤,3∑向yoz 面的投影不构成平面域;故03
=⎰⎰∑xdydz ;
4∑: z=0)10,10(x y x -≤≤≤≤,3∑向yoz 面的投影不构成平面域;故04
=⎰⎰∑xdydz ;
由性质可得
6
1
14
321=
==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑+∑+∑∑
xdydz xdydz xdydz 。 例2 计算
⎰⎰∑
xyzdxdy ,其中∑是球面1222
=++z y x
外侧在0,0≥≥y x 的部分。
解:由题意可知),0,0(),,(xyz z y x A =;
设∑在一,五卦限部分分别为21∑∑,,则21∑+∑=∑。
“一投” 1∑:2
2
1y x z --=,1∑向xoy 面的投影域为
xy D :⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+00122y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤1020r πθ;
“二定” 1∑取上侧;
“三代”
⎰⎰⎰⎰∑--+=1
)1(
22dxdy y x xy xyzdxdy xy
D
15
1
12sin 21cos sin 10232
2
=-=⋅=
⎰⎰⎰⎰dr r r d rdrd r xy
D θθθθθπ
2∑:2
21y x z ---=,2∑向xoy 面的投影域为xy D :⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+00122y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤1020r π
θ;
2∑取下侧; 15
1
)1()1(22222
=
--=----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdy y x xy dxdy y x xy xyzdxdy xy
xy
D D ; 由性质可得
⎰⎰∑
xyzdxdy =
15
21511512
1=+=
⎰⎰
∑+∑xyzdxdy 。 例3 计算⎰⎰
∑
-+zdxdy dydz x z )2
(,其中∑是旋转抛物面)(2
122
y x z +=
介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧。
解:由题意可知),0,(),,(2z x z z y x A -+=
“一投” ∑:)(2
122
y x z +=
,x z x =,y z y =。
∑向xoy 面的投影域为xy D :422≤+y x 即⎩
⎨
⎧≤≤≤≤2020r π
θ; “二定” 1∑取下侧;
“三代” dxdy R Qz Pz
zdxdy dydz x z xy
D y x
)()2
⎰⎰⎰⎰
+---
=-+∑
(
dxdy y x x dxd y x x x y x xy
xy D D ])(21[)(21])(41[22222222⎰⎰⎰⎰++=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++++=
⎰⎰⎰⎰=+=+=xy
D dr r d r r ππθθθθ2020322228)21
(cos rdrd 21cos ()。
注:积分计算中xy D 关于y 轴对称,x y x y x f 222
)(4
1),(+=
是关于x 的奇函数,因此0)(41222=+⎰⎰dxdy x y x xy
D 。