第二类曲面积分补充例题

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例1 计算

⎰⎰∑

xdydz ,其中∑是平面1=++z y x 与三个坐标面围成的四面体的外侧。

解:由题意可知 )0,0,(),,(x z y x A =;设平面1=++z y x 及三个坐标面yoz,xoz,xoy

分别为4321∑∑∑∑,,,,则4321∑+∑+∑+∑=∑。

“一投” 1∑:z y --1,1∑向yoz 面的投影域为

yz D :1≤+z y 即⎩⎨⎧-≤≤≤≤y

z y 101

0;

“二定” 1∑取前侧;

“三代”

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰-∑--=--+=yz

D y

dz z y dy dydz z y xdydz 10

10

)1()1(1

6

1|)1(61)121]|21|)1[(101

0321010210⎰⎰=--=-=--=--y dy y dy z z y y y (; 2∑:x=0)10,10(y z y -≤≤≤≤,2∑向yoz 面的投影域为yz D 且取后侧

⎰⎰⎰⎰=-=∑yz

D dydz xdydz 002

3∑:y=0)10,10(x z x -≤≤≤≤,3∑向yoz 面的投影不构成平面域;故03

=⎰⎰∑xdydz ;

4∑: z=0)10,10(x y x -≤≤≤≤,3∑向yoz 面的投影不构成平面域;故04

=⎰⎰∑xdydz ;

由性质可得

6

1

14

321=

==

⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑+∑+∑∑

xdydz xdydz xdydz 。 例2 计算

⎰⎰∑

xyzdxdy ,其中∑是球面1222

=++z y x

外侧在0,0≥≥y x 的部分。

解:由题意可知),0,0(),,(xyz z y x A =;

设∑在一,五卦限部分分别为21∑∑,,则21∑+∑=∑。

“一投” 1∑:2

2

1y x z --=,1∑向xoy 面的投影域为

xy D :⎪⎩

⎪⎨⎧≥≥≤+00122y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤1020r πθ;

“二定” 1∑取上侧;

“三代”

⎰⎰⎰⎰∑--+=1

)1(

22dxdy y x xy xyzdxdy xy

D

15

1

12sin 21cos sin 10232

2

=-=⋅=

⎰⎰⎰⎰dr r r d rdrd r xy

D θθθθθπ

2∑:2

21y x z ---=,2∑向xoy 面的投影域为xy D :⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+00122y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤1020r π

θ;

2∑取下侧; 15

1

)1()1(22222

=

--=----=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dxdy y x xy dxdy y x xy xyzdxdy xy

xy

D D ; 由性质可得

⎰⎰∑

xyzdxdy =

15

21511512

1=+=

⎰⎰

∑+∑xyzdxdy 。 例3 计算⎰⎰

-+zdxdy dydz x z )2

(,其中∑是旋转抛物面)(2

122

y x z +=

介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧。

解:由题意可知),0,(),,(2z x z z y x A -+=

“一投” ∑:)(2

122

y x z +=

,x z x =,y z y =。

∑向xoy 面的投影域为xy D :422≤+y x 即⎩

⎧≤≤≤≤2020r π

θ; “二定” 1∑取下侧;

“三代” dxdy R Qz Pz

zdxdy dydz x z xy

D y x

)()2

⎰⎰⎰⎰

+---

=-+∑

dxdy y x x dxd y x x x y x xy

xy D D ])(21[)(21])(41[22222222⎰⎰⎰⎰++=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧++++=

⎰⎰⎰⎰=+=+=xy

D dr r d r r ππθθθθ2020322228)21

(cos rdrd 21cos ()。

注:积分计算中xy D 关于y 轴对称,x y x y x f 222

)(4

1),(+=

是关于x 的奇函数,因此0)(41222=+⎰⎰dxdy x y x xy

D 。

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