§4 旋转曲面面积 一`微元法
旋转曲面的面积
等于各个小区间上的局部量之和，
（2）局部量可用 f (i )xi 近似表示 它们之间只相差一个 xi 的高阶无穷小
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
这是建立所求量的积分式的基本方法
1 求微元
写出典型小区间 [ x, x dx] [a, b]
上的局部量 U 的近似值
dU f ( x)dx 这就是局部量的微元
一 定积分的元素法(或微元法)
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？
为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。
t 3a cos2
t( sin t)dt
2
12
2 a2[sin4 t sin6 t]dt
3 a2.
0
8
20 设弧长为 L. 由对称性,有
L 4 2 ( x)2 ( y)2dt 4 2 3a cos t sin tdt 6a.
0
0
30 设旋转体的表面积为S, 体积为V .
step3: 计算 A
b
f ( x)dx
a
这种方法称为定积分的元素法或微元法。
一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:
1。Q是与某一变量x的变化区间[a,有关的量；
2。Q对于[a,b]区间具有可加性；
微 元
3。局部量Qi f (i )xi .
法
那么，将Q用积分来表达的步骤如下:
利用微元法求旋转曲面面积的研究
利用微元法求旋转曲面面积的研究
旋转曲面是二维曲面向三维曲面旋转转换过程，它包括很多基本曲线，经过细
心整合可以用于建立几何形体之后实现详细的丰富外观效果。
旋转曲面的面积计算和其他曲面不同，一般而言，只有通过微元法才能够求解准确的面积。
微元法是分析数字分析旋转曲面的面积的一种数值方法，基本思想是将复杂的
旋转曲面拆分成多个小的微元，然后计算每个微元的面积，进而累加以获得整体的面积。
微元法求旋转曲面面积的研究，可帮助我们更好地了解旋转曲面的特性，有助
于准确估计面积大小，当我们评估曲面形状、体积和特性时，微元法就被广泛应用。
然而，这种方法有一定的缺陷，如计算时间长，易出错等，需要在理论研究和实际应用中进行改进。
总之，微元法求旋转曲面面积的研究在许多工程领域都有着重要意义。
它能够
有效解决很多复杂的计算问题，为工程设计批量生产提供精确的指导，更好地满足用户的需求。
计算旋转曲面面积的公式及几种证法
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
10.4旋转曲面面积
若平面光滑曲线C由参数方程 x x(t ), y y (t ), t [ , ] 给出.则曲线 C 绕 x 轴旋转一周所得 旋转曲面面积为 S 2 y (t ) x (t ) y (t )dt.
2 2
若平面光滑曲线C由极坐标方程 r r ( ), [ , ] 给出 。 则此曲线绕极轴旋转一 周所得的 旋转曲面面积为 S 2 r ( ) sin r ( ) r ( ) d .
12 2 Key : S a . 5
例3、求心形线r a(1 cos ) 曲面的面积。
(a 0,0 2 ) 绕极轴旋转所成
32 2 Key : S a . 5
作业:P262
1(2)(4)；3（2）
前面所求的平面图形面 积、立体体积 和曲线 的弧长, 用微元法来处理，所求 的 微元表达式为
S y x, 且dS y dx; V S ( x)x, 且dV S ( x)dx;
s 1 y x, 且ds 1 y dx;
2 2
二、旋转曲面的面积
设平面光滑曲线 C的方程为y f ( x), 其中x [a, b], 且f ( x) 0, 则该曲线绕 x轴旋转一周所得的旋转 曲面面积为
2 dS 2 f ( x) 1 f ( x) dx ,o2aFra bibliotekS( x)
x
x dx
b
x
S 2 f ( x) 1 f ( x)dx.
a
b
若平面曲线C由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b] 给出 。 则当 f ( x)在 [a, b]上连续可微时 , 此曲线 是绕x轴旋转一周所得的旋转 曲面面积为 S 2
旋转曲面的面积公式推导
旋转曲面的面积公式推导
推导旋转曲面的面积公式，需要先了解以下概念：
1. 旋转曲面：将平面上的一条曲线绕着某个轴旋转一周所形成的曲面。
2. 微元法：将曲面分为无数个微小的扇形，计算每个扇形的面积，再将所有扇形面积相加得到整个曲面的面积。
3. 弧长：曲线上两点之间的弧长表示曲线上这两点之间的距离，可用微元法表示为：
在了解以上概念后，就可以开始推导旋转曲面的面积公式了。
假设旋转曲面是由曲线y=f(x)在x轴上旋转一周所得到的，旋转曲面的微元面积dS可以表示为：
dS = 2πy*ds
其中，2πy表示曲线在旋转时所经过的弧度，ds表示曲线上微小的弧长。
由微元法可知，旋转曲面的面积公式为：
S = ∫ 2πy*ds
其中，积分区间为曲线上的所有点。
又由于弧长公式为：
ds = sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
将ds带入面积公式，有：
S = ∫ 2πy*sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
将y=f(x)带入公式中，可得：
S = ∫ 2πf(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx
这就是旋转曲面的面积公式。
微元法求旋转体侧面积的推导过程
微元法求旋转体侧面积的推导过程在数学的世界里，有一种神奇的东西叫做旋转体，想象一下，咱们常见的水杯、足球、甚至是一些奇形怪状的雕塑，都是旋转体的变种。
当我们想知道这些东西的侧面积时，微元法就是那把金钥匙，打开了这个神秘的大门。
好吧，咱们先来聊聊什么是微元法。
微元法听起来高大上，其实就是把大问题拆分成小问题。
这就像是吃一块大蛋糕，谁会一次性吞下去呢？当然是切成小块，一口一口慢慢享受。
微元法就是把复杂的形状切成一个个微小的部分，然后逐一计算它们的贡献，最后再把所有的贡献加起来。
想象一下，你在沙滩上捡贝壳，每一个贝壳都代表着一个微元。
每捡一个贝壳，你就能记录它的大小、形状，最后把这些信息汇总成一个完整的图案。
这种感觉是不是很棒？同样，咱们用微元法来计算旋转体的侧面积，也是这个道理。
设想一个旋转体，咱们可以把它看作是无数个细小的圆环拼起来的。
每个圆环的周长和高度都是可计算的。
周长嘛，大家应该知道，圆的周长公式是2πr，r就是半径。
这边说的r可不是随便的，得根据你在旋转体上的位置而定。
咱们就要开始“微分”了。
这一步可是关键，微分的意思就是让我们把圆环的高度想得极其微小，几乎快要看不见。
这样一来，咱们就能用一个很简单的公式来计算每个小圆环的面积了。
想想看，每个小圆环的侧面积就是它的周长乘以它的高度，对吧？换句话说，微元的面积就是dS = 2πr * dh。
这里的dS代表的是微小面积，r是当前圆环的半径，dh是微小的高度，听起来是不是简单多了？所以，咱们只需要把这些小的面积加起来就能得到整个旋转体的侧面积。
来来来，咱们把这些微小的面积像拼图一样拼在一起。
整个过程就像是在拼乐高积木，一个个小块拼成了一个大大的旋转体。
每一块都在努力为整体贡献力量，简直是团队合作的最佳范例。
最终，咱们得到的就是旋转体的侧面积公式，感觉像是解开了一个小小的谜题，成就感满满。
不过，这里也有个小插曲。
刚开始接触这些公式的时候，可能会觉得它们复杂得像外星语言一样，搞得人晕头转向。
10.4 旋转曲面的面积
S 2
y(t )
x2(t) y2(t)dt.
(iii ) 若光滑曲线r r( ) 0, [, ] [0, ],则
S
2
r(
)sin
r 2( ) r2( ) d .
例1、求半径为R 的球面面积。
例2、求 双纽线 r 2 2a2cos2 (a 0) 绕极轴
f ( x)dx o(x) , 从而 的微元 d f ( x)dx .
4、所求量
b
a d
b
a
f
( x)dx.
注：定积分的实质是具有可加性的连续变量的 求和问题.
如：几何中的面积、体积、弧长； 物理中的功、压力、引力等.
如：求曲线C 的弧长 .
y
y
a o x x x b x s x2 y2
(i)曲线C : y f ( x)( x [a,b]) , 则 弧长微元： ds 1 [ f ( x)]2dx .
弧长：
b
s a
1 [ f ( x)]2dx .
(ii
)曲线
C
:
x y
x(t) ,
y(t )
t
[
,
]
,
则
弧长元素：ds [x(t)]2 [ y(t)]2 dt .
旋转曲面微元
dS 2πf ( x) 1 f 2 ( x)dx,
旋转曲面的面积为
S
2
b
a
f
(
x)
1
f 2( x) dx.
(ii) 若光滑曲线由 x x(t), y y(t), t [ , ] 给出,
10.4旋转曲面的面积
y( t )
( dx )2 ( dy )2 dt
dt
dt
= 2
y( t )
x2 ( t ) y' 2 ( t )dt .
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例1 计算圆 x2 y2 R2 在 [x1, x2 ] [R, R] 上的
弧段绕 x 轴旋转所得球带的面积.
解 对曲线 y = R2 x2 在区间[x1, x2]上应用公式(3)，
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
x a cos t , y bsin t , 0 t π.
令 c2 a2 b2, e c ,则 a
S 2π
π
bsin t
a2 sin2 t b2 cos2 tdt
0
π
4πb 2 sin t a2 (a2 b2 )cos2 tdt 0 π
2πb b
arcsin a2 b2
a
.
特别当 a b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
S 4πa2 2 sin tdt 4πa2 cos t 0 4πa2 .
0
π/2
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例4 求心形线 r a(1 cos ) 绕极轴旋转所得曲
面的面积. 解 将曲线用参数方程表示:
得到
S 2
x2
x1
R2 x2
1
x2 R2
x2
dx
=2 R
x2 dx 2 R
x1
x2 x1
.
特别当x1=-R, x2=R 时，得球的表面积 S球= 4πR.
数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：1.简单图形：型和型平面图形 .2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.例1求由曲线围成的平面图形的面积.例2求由抛物线与直线所围平面图形的面积.（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .例3求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为, 顶角为的扇形面积为 . )例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 ) . 以代方程不变,图形关于轴对称 ; 以代, 方程不变,图形关于轴对称 . 参阅P242 图10-6因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
定积分的应用4旋转曲面的面积数学分析
§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．————————————————————一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间具有可加性. 我们就设想把分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如近似表达式（其中为上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量的元素并记做，即dx x f dU )(=以量 的元素作为被积表达式在上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：⎰badx x f )(例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为⎰-=badxx f x f A |)()(|21采用微元法应注意一下两点： 1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：xy s x x S V x y S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||二 旋转曲面的面积§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法． (二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．基本要求：(1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．——————————————————————————1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F 作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s 时,力F 对物体所作的功是 FS W = 如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1 把一个带电量为的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为2r qk F =（ 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿 轴移动到)(b a b r <=处时，计算电场力 对它所做得功.解 在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，当单位正电荷从 移动到时，电场力对它所作的功近似于dr rkq2，从而得功元素为于是所求的为例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m 和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
第6讲 旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积
微元法
旋转曲面的面积
例1
求将椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b)
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
=x a co= s t , y bsin t , 0 ≤ t ≤ π.
令 c2 =a2 − b2 , e =c , 则
a
∫ S
2π
π
bsin t
绕 x 轴旋转
π
∫ ( ) ( ) S=2 ⋅ 2 π 2 a sin3 t ⋅
−3a cos2 t sin t
2
+
3a sin2 t cos t
2
dt
0
π
y
∫ = 12 π a2 2 sin4 t cos t dt 0
π
=
12
π
a
2
1 5
sin5
t
2 0
O
x
=S
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
微元法
旋转曲面的面积
=
4πab
1 2
u
1 − e2u2
+
1 2e
arcsin
eu
1 0
=
2πab
b a
+
a c
arcsin
c a
a2
a2 − b2
=
2πb b +
arcsin a2 − b2
a
.
特别当 a = b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
0
∫ S = 4πa2 2 sin tdt = 4πa2 cos t = 4πa2 .
4旋转曲面的面积
lim n
b
S
f(
T 0i1
i)
xi a f(x)dx.
首页 ×
引入问题：上述过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个 实际问题如何直接利用定积分表示呢？
我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是 第二步. 这一步是确定的近似值. 完成了这一步，再求和 取极限，从而求得Φ的精确值. 在实际应用中, 为简便起见
部分量，且所求量等于部分量之和Φ= ∑△Φ； （2） 能把Ф的微小增量△Ф 近似地表示为△x的线性形式
△Φ≈ f(x)△x， 且当△x 趋于零时,△Φ－f(x)△x =o(△x). 从而ｄΦ＝f(x)dx.
首页 ×
对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线 弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为:
首页 ×
下面用微元法导出它的面积公式. （1） 积分变量x, 变化区间[a,b];
（2） 任取[a, b]上小区间[x, x+△x],通过x轴上点x与x+△x
分别作垂直于x轴的平面,它们在旋转曲面上截下一条狭
带.当△x很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，
即，
△s≈ fx fx x x 2 y 2
省略下标i，用△表示[a，b]上任一小区间[x，x+△x]上的
窄曲边梯形的面积:
Φ= ∑△Φ
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取任一小区间[x，x+△x]上的左端点为ξ，这样△Φ
的近似值为以点x处的函数值 f (x)为高,△x为底的矩形面
积，即
△Φ ≈ f (x)△x = f (x)dx.
由于当△x趋于零时,△Φ - f(x)△x = o(△x ),根据微分
这些点把[a,b]分割成n个小区间[xｉ－１,xi], i=1,2,… n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1
数学分析10.4旋转曲面的面积
第十章定积分的应用4 旋转曲面的面积一、微元法定义：已知：若φ(x)=⎰xf(t)dt，则当f为连续函数时，φ’(x) =f(x)，或adφ=f(x)dx，且φ(a)=0，φ(b)=⎰bf(t)dt.a现将问题倒过来，若所求量φ是分布在某区间[a,x]上的，或它是该区间端点x的函数，即φ=φ(x), x∈[a,b]，且当x=b时，φ(b)适为最终所求的值.在任意小区间[x,x+△x]⊂[a,b]上，若能把φ的微小增量△φ近似表示为△x的线性形式：△φ≈f(x)△x，其中f为某一连续函数，而且当△x→0时，△φ- f(x)△x=o(△x)，亦即dφ=f(x)dx，那么只要把定积分⎰bf(x)dx计算出来，就是该问题所求的结果，这种a方法通常称为微元法.注：1、所求量φ关于分布区间必须是代数可加的；2、微元法的关键是正确给出△φ的近似表达式△φ≈f(x)△x.应用：求平面图形面积的微元表达式：△A≈|y|△x，且dA=|y|dx. 求立体体积的微元表达式：△V≈A(x)△x，且dV=A(x)dx.求曲线弧长的微元表达式：△s≈2y1'+dx.+△x，且ds=2y1'二、旋转曲面的面积设光滑曲线C 的方程为y=f(x), x ∈[a,b]，不妨设f(x)≥0.曲线C 绕x 轴旋转一周得旋转曲面如图，可用微元法导出其面积公式. 通过x 轴上点x 与x+△x 分别作垂直于x 轴的平面，在旋转曲面上截得一狭带，当△x 很小时，近似于一圆台侧面，即△s ≈π[f(x)+f(x+△x)]22y x ∆+∆=π[2f(x)+△y]2x y 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+△x ，其中△y=f(x+△x)-f(x)，又y lim 0x ∆→∆=0,2x x y 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+→∆=)x (f 12'+. 由f ’(x)的连续性可保证：π[2f(x)+△y]2x y 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+△x-2πf(x))x (f 12'+△x=o (△x).∴dS=2πf(x))x (f 12'+, S=2π⎰'+ba2)x (f 1f(x )dx.若光滑曲线C 由参数方程：x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出，且y(t)≥0，则 由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为： S=2π⎰'+'βα22)t (y )t (x y(t)dt.例1：计算圆x 2+y 2=R 2在[x 1,x 2]⊂[-R,R]上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.解：圆在x 轴上方的曲线为y=22x R -，则y ’=22xR x --，所得球带的曲面面积为：S=2π⎰-+⋅-21x x 22222xR x 1x R dx=2πR(x 2-x 1).注：当x 1=-R, x 2=R 时，则得球的表面积S 球=4πR 2.例2：计算由内摆线x=acos 3t,y=asin 3t 绕x 轴旋转所得旋转曲面面积。
第四节微元法旋转曲面面积
只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果(所求量Q的最终值） 这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解 决实际问题时经常被使用。 使用微元法的关键就是正确给出 Q的近似表达式，即
2
Q f ( x)dx dQ Q f ( x )x o(x ), 若不能保证： Q f ( x)x o(x )，则Q就不能用f ( x )x作为近似表达式，否则用 “微元法”将导致错误的结果。要严格检验：Q f ( x)x是否为x的 高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对Q f ( x)x的合理性要 特别小心。 对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式 都可以用微元法得到。 二、旋转曲面的面积 1 ）、设平面光滑曲线C由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b],（不妨 设 f ( x) 0）给出，则曲线C绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S 2 f ( x) 1 f ( x) dx.
x (t )
2
y (t ) dt.
2
3）、若平面光滑曲线C由极坐标方程：r r ( ), [ , ] ([ , ] [0, ], r ( ) 0 ), 则曲线C 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S 2 r ( ) sin
r ( )
2
r ( ) d
2
6
4
y
C
例1 计算圆 x 2 y 2 R 2 在[ x1 , x2 ] [ R, R] 上的弧段绕x轴旋转一周所得旋球带的面积。 例2 计算由星形线：x a cos3 t , y a sin 3 t
-5
2
o
-2 -4
高等数学第10章第4节旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把称为量 的元素并记做，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：⎰badx x f )(例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为⎰-=badx x f x f A |)()(|21采用微元法应注意一下两点：1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：x y s xx S V xy S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||二 旋转体的侧面积设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：2b aS π=⎰ 例1、 计算圆222R y x =+在],[],[21R R x x -⊂上的弧段绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 例2、 计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 作业：P255 1（2）（3）， 3（2）。
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x (t ) y (t ) dt.
2 2
3）、若平面光滑曲线C由极坐标方程：r r ( ), [ , ] ([ , ] [0, ], r ( ) 0 ), 则曲线C 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S 2 r ( ) sin
§4 旋转曲面面积
一、微元法
定积分 f ( x)dx 是和式的极限 lim f (i ) xi , 如果所研究的
a T 0 i 1 b n
问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这 种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使 定积分的应用问题能简便地回归到求定积分 f ( x)dx上来，我们往往
a a b b
只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果(所求量Q的最终值） 这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解 决实际问题时经常被使用。 使用微元法的关键就是正确给出 Q的近似表达式，即
2
Q f ( x)dx dQ Q f ( x )x o(x ), 若不能保证： Q f ( x)x o(x)，则Q就不能用f ( x)x作为近似表达式，否则用 “微元法”将导致错误的结果。要严格检验：Q f ( x)x是否为x的 高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对Q f ( x)x的合理性要 特别小心。 对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式 都可以用微元法得到。 二、旋转曲面的面积 1 ）、设平面光滑曲线C由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b],（不妨 设 f ( x) 0）给出，则曲线C 绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S 2 f ( x) 1 f ( x) dx.
5
x
绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
星形线
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5
r ( ) 2ຫໍສະໝຸດ r ( ) d2
6
4
y
C
例1 计算圆 x 2 y 2 R 2 在[ x1 , x2 ] [ R, R] 上的弧段绕x轴旋转一周所得旋球带的面积。 例2 计算由星形线：x a cos3 t , y a sin 3 t
-5
2
o
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2 a b
3
证明（如图，用微元法导出公式） .
y
S
y=f(x)
o
a
x
x x
b
x
2）、若平面光滑曲线C由参数方程：x x(t ) ，y y(t ), t [ , ],
4
给出，且：y (t ) 0，则曲线C 绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S 2 y (t )
a b
采用以下介绍的方法—微元法。 何谓微元法？ 一个待求的量 Q 若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性：
1
1 ）、Q是一个与其变量 x的变化区间 [a, b]有关的量； 2）、Q对于[a, b]具有代数的可加性，即 Q Q 其中Q是[a, b]的子区间[ x, x x ]所对应的部分量。如果Q的近似表达 式是：Q f ( x )dx dQ, 则要计算的量 Q Q dQ f ( x )dx.