§4 旋转曲面面积 一`微元法
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r ( )
2
r ( ) d
2
6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
y
C
例1 计算圆 x 2 y 2 R 2 在[ x1 , x2 ] [ R, R] 上的弧段绕x轴旋转一周所得旋球带的面积。 例2 计算由星形线:x a cos3 t , y a sin 3 t
-5
2
o
-2 -4
2 a b
3
证明(如图,用微元法导出公式) .
y
S
y=f(x)
o
a
x
x x
b
x
2)、若平面光滑曲线C由参数方程:x x(t ) ,y y(t ), t [ , ],
4
给出,且:y (t ) 0,则曲线C 绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为: S 2 y (t )
a b
采用以下介绍的方法—微元法。 何谓微元法? 一个待求的量 Q 若要用定积分表示出来,它必须要具备两个特性:
1
1 )、Q是一个与其变量 x的变化区间 [a, b]有关的量; 2)、Q对于[a, b]具有代数的可加性,即 Q Q 其中Q是[a, b]的子区间[ x, x x ]所对应的部分量。如果Q的近似表达 式是:Q f ( x )dx dQ, 则要计算的量 Q Q dQ f ( x )dx.
a a b b
只要把定积分计算出来,就是该问题所求的结果(所求量Q的最终值) 这种方法称为微元法,其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解 决实际问题时经常被使用。 使用微元法的关键就是正确给出 Q的近似表达式,即
2
Q f ( x)dx dQ Q f ( x )x o(x ), 若不能保证: Q f ( x)x o(x),则Q就不能用f ( x)x作为近似表达式,否则用 “微元法”将导致错误的结果。要严格检验:Q f ( x)x是否为x的 高阶无穷小,往往不是一件容易的事,因此对Q f ( x)x的合理性要 特别小心。 对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式 都可以用微元法得到。 二、旋转曲面的面积 1 )、设平面光滑曲线C由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b],(不妨 设 f ( x) 0)给出,则曲线C 绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为: S 2 f ( x) 1 f ( x) dx.
§4 旋转曲面面积
一、微元法
定积分 f ( x)dx 是和式的极限 lim f (i ) xi , 如果所研究的
a T 0 i 1 b n
问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这 种和式的极限,那么,应用定积分就可以求出问题的结果。为了使 定积分的应用问题能简便地回归到求定积分 f ( x)dx上来,我们往往
5
x
绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
星形线
-6
5
x (t ) y (t ) dt.
2 2
3)、若平面光滑曲线C由极坐标方程:r r ( ), [ , ] ([ , ] [0, ], r ( ) 0 ), 则曲线C 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为: S 2 r ( ) sin