§4 旋转曲面面积 一`微元法

r ( )
2
r ( ) d
2
6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
y
C
例1 计算圆 x 2 y 2 R 2 在[ x1 , x2 ] [ R, R] 上的弧段绕x轴旋转一周所得旋球带的面积。 例2 计算由星形线：x a cos3 t , y a sin 3 t
-5
2
o
-2 -4
2 a b
3
证明（如图，用微元法导出公式） .
y
S
y=f(x)
o
a
x
x x
b
x
2）、若平面光滑曲线C由参数方程：x x(t ) ，y y(t ), t [ , ],
4
给出，且：y (t ) 0，则曲线C 绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S 2 y (t )
a b
采用以下介绍的方法—微元法。 何谓微元法？ 一个待求的量 Q 若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性：
1
1 ）、Q是一个与其变量 x的变化区间 [a, b]有关的量； 2）、Q对于[a, b]具有代数的可加性，即 Q Q 其中Q是[a, b]的子区间[ x, x x ]所对应的部分量。如果Q的近似表达 式是：Q f ( x )dx dQ, 则要计算的量 Q Q dQ f ( x )dx.
a a b b
只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果(所求量Q的最终值） 这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解 决实际问题时经常被使用。 使用微元法的关键就是正确给出 Q的近似表达式，即
2
Q f ( x)dx dQ Q f ( x )x o(x ), 若不能保证： Q f ( x)x o(x)，则Q就不能用f ( x)x作为近似表达式，否则用 “微元法”将导致错误的结果。要严格检验：Q f ( x)x是否为x的 高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对Q f ( x)x的合理性要 特别小心。 对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式 都可以用微元法得到。 二、旋转曲面的面积 1 ）、设平面光滑曲线C由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b],（不妨 设 f ( x) 0）给出，则曲线C 绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S 2 f ( x) 1 f ( x) dx.
§4 旋转曲面面积
一、微元法
定积分 f ( x)dx 是和式的极限 lim f (i ) xi , 如果所研究的
a T 0 i 1 b n
问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这 种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使 定积分的应用问题能简便地回归到求定积分 f ( x)dx上来，我们往往
5
x
绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
星形线
-6
5

x (t ) y (t ) dt.
2 2
3）、若平面光滑曲线C由极坐标方程：r r ( ), [ , ] ([ , ] [0, ], r ( ) 0 ), 则曲线C 绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为： S 2 r ( ) sin