平面向量ppt课件

平面向量
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1.向量：有方向又有大小的量； 位移、力、速度、加速度……
标量：只有大小，没有方向的量。 长度、体积、重量、温度、时间……
2.向量的表示方法：
①小写的英文字母上加箭头来表示，如 a，读作向量a ；
②用两个大写英文字母上加箭头来表示，如AB，
表示由A到B的向量，其中A为向量的起点，B
为向量的终点，读作向量AB。
三角形法则
向量加法的运算律： abba (ab)ca(bc)
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平面向量分解定理:
rr
那对如么实果对数于e1 1这，, e 一22 是，平同使面一内a r平 的面任1e r 内1 意 的向2 两e r 量2个。ar 不,有平且行只向有量一，
我们把不平行的向量
r e1
,
r e2
叫做这一个平面内所有向
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向量的数量积
如果两个非零向量 a , b 的夹角为（ 0）
那么我们把 |a||b|cos 叫作向量 a 与向量 b 的数量积
（或内积）
记作 ab|a||b|cos
符号为 •不能写为
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数量积的运算性质：
rr
r
（1）aa|a|20 当且仅当 aa0时，a 0
rr rr （ 2） abba
0 (0,0)
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向量的坐标运算
r
向量 a 的负向量： ax1,y1
且有 a(a)(0,0)
r 向量 a 的模： |a| x12y12
向量 a 的单位向量 a 0
uur
：
a0
x1 , x12 y12
y1
x12 y12
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定义实数与向量 a 的乘积是一个向量，记作 a
对 a 的模和方向作如下规定：
rrrr r r
（ 3 ） (a ) b a (b ) ( a b )
rrrrrrr （ 4 ） a (b c ) a b a c
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向量的数量积：
rr
一般地，两个非零向量 a 、b 的夹角为(0)，
记那么作我ar 们 br ,把即|ar||a r br|b rco s|a r|叫|b r做|c 向os量.ar 与向co量sbr
量的一组基。
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y
B(x2, y2)
A(x1, y1) 根据两点之间的距离公式可知：
C
|A| B(x 2x 1)2(y2y1)2
j
o
x
i
将向量 AB 的起点置于坐标原点，
作 AB OC ，称 OC 为位置向量。
方向与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量叫作基
本单位向量，记为 i , j .
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存在非零实数 ，使 b a
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向量的夹角：
r a r b
A
O
B
rr 任给平面内的两个非零向量 a , b
将它们的起点移到同一点O
uuu r ruuu r r
作OAa,OBb
r
则射线Or A，OB的夹角 叫做向量a
与向量 b 的夹角。
的取值范围 0
＝0 ＝
＝ 2
向量 a 和向量 b 方向相同 平行 向量 a 和向量 b 方向相反 向量 a 和向量 b 垂直，记 a b
方向相同：模相加，方向与原来两个向量的方
向相同。cab
a
b
a
cab
b
方向相反：模为两个向量模之差的绝对值， 方向与模较大的向量相同。
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两个不平行的非零向量的加法：
B
C
b
c ab
O
a
A
向量加法的平 以O为起点，作 OAa,OBb 行四边形法则： 以 OA , OB 为邻边作平行四边形OACB
则平行四边形的对角线所表示的向量OC c 就叫做向量 a 和 b 的和，记作 c a b
由实数和向量乘积的定义可知，向量 a 与向量 a 平行。 反之，若两个非零向量 a 与 b 相互平行，是否存在唯一 的非零实数使 b a？
(1)向量a , b 同方向时， | b | |a |
(2)向量a , b 反方向时， | b | |a |
两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件：
存在非零实数 ，使 b a
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定义实数 与向量 a 的乘积是一个向量，记作 a (1) |a||||a|
(2) 当 0时， a 与 a 的方向相同； (3) 当0 时 a， a与 的方向相反；
(4) 当0 时 ，a 为零向量。
规定：任意实数 与零向量的乘积为零向量。0 0
两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件：
a
B
③几何图形：用有箭头的线段来表示； A
3.向量的模：向量的大小叫作向量的模，记作 | a |或 AB
4.零向量：规定模为零的向量叫作零向量；记作 0
零向量的方向是不确定的！
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5.如相向等果量的向相向量等量：a和，b记的作模a相b等 且方向相同，那a么这两个向量叫作
规定：零向量都是相等的。
b
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y
B(x2, y2)
A(x1, y1)
如何用 i , j 来表示向量 OC ？
N
C(x, y)
j
o
M
x
i
OCOMON OM xi ON y j
OCxiyj
向量的正交分解
将有序实数对 x, y称为向量 OC 的坐标，记为 OC(x, y)
u u ur
r
(x, y)
点C
位置向量 O C
向量 a
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(1) |a||||a| (2) 当 0时， a 与 a 的方向相同； (3) 当0 时 a， a与 的方向相反； (4) 当0 时 ，a 为零向量。
规定：任意实数 与零向量的乘积为零向量。0 0
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实数与向量乘积的运算律：
(1) (ab)ab
(2) ()aaa
(3) (a)( )a
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实数与向量乘积的几何意义：
向量的坐标运算
是实数，向量 a(x1,y1)b ,(x2,y2) ax1iy1 j bx2iy2 j
a b (x 1 x 2 )i (y 1 y 2 )j ab(x1x2,y1y2)
a b (x 1 x 2)i (y 1y 2)j ab(x1x2,y1y2)
ax1iy1j
特别地，零向量：
a(x1,y1)
求向量和的运算，叫做向量的加法.
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两个不平行的非零向量的和：
c ab
C
B
b
c ab
O
a
A b Ob
a
A
C
b
向量加法的 以O为起点，作 OAa,ACb 三角形法则： 则在三角形OAC中向量 OC c
且 cab
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两个不平行的非零向量的加法：
B
C
b
c ab
Ob
a
O A
平行四边形法则
c ab
C
b
a
A
6.负如 向向果量量向b：的量负a和向量b的，模记相作等a且方b向相反，那么把向量
a叫作
显然对于任意的两点A、B，有AB= BA
7.平行向量：
如 向果量向(共量线向a和量b)方记向作相同a/或/b相反，那么这两个向量叫作平行
0可根据需要确定其方向，因此 0可看作与任意向量平行
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两个平行向量的加法：