滚动检测(五)

滚动检测(五)
(时间:120分钟满分:150分) 【选题明细表】
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.函数y=2cos2x--1是( A )
(A)最小正周期为π的奇函数
(B)最小正周期为π的偶函数
(C)最小正周期为的奇函数
(D)最小正周期为的偶函数
解析:由y=2cos2x--1=cos2x-=sin 2x为奇函数,T==π,故选A.
2.已知向量a=(2,1),a²b=10,|a+b|=5,则|b|=( C )
(A) (B)(C)5 (D)25
解析:由50=|a+b|2=|a|2+2a²b+|b|2=5+20+|b|2,得|b|=5,故选C. 3.设等差数列{a n}的公差d不为0,a1=9d.若a k是a1与a2k的等比中项,则k=( B )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
解析:由a k是a1与a2k的等比中项,得=a1²a2k,即
[a1+(k-1)d]2=a1²[a1+(2k-1)d],代入a1=9d,得
[(k+8)d]2=9d²(2k+8)d,能得k=4或k=-2(舍去).故选B.
4.(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该
几何体的体积为( A )
(A)16+8π(B)8+8π
(C)16+16π(D)8+16π
解析:由三视图可知该几何体为一组合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发的三棱长分别为4、2、2的长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为2,母线长为4,故几何体的体积为2³2³4+³π
³22³4=16+8π.故选A.
5.已知直线x+my+1=0与直线m2x-2y-1=0互相垂直,则实数m的值为( B )
(A) (B)0或2
(C)2 (D)0或
解析:由直线垂直得m2-2m=0,所以m=0或2.故选B.
6.(2013梅州一模)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线
4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( B )
(A)(x-3)2+y-2=1 (B)(x-2)2+(y-1)2=1
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x-2+(y-1)2=1
解析:由题意可设圆心为(a,1)(a>0),则=1,解得a=2或a=-(舍去),因此圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选B.
7.(2013昆明一中模拟)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是( B )
(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0
(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0
解析:由题意知直线PQ与中点和圆心的连线垂直,
所以k PQ=-,故直线PQ方程为y-2=-(x-1),
即x+2y-5=0.故选B.
8.以下四个关于圆锥曲线的命题:
①双曲线-=1的离心率为;②抛物线y2=-6x的焦点坐标是(-3,0);
③椭圆x2+9y2=9上任一点P到两焦点距离之和为6;④圆x2+y2-2y=0与圆x2+y2=4恰好相切.其中所有真命题的序号为( D )
(A)①④(B)②④(C)①③(D)③④
解析:①中双曲线的离心率为;②抛物线的焦点坐标是-,0,据此可知应选D.
9.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( C )
(A)y=±x (B)y=±2x
(C)y=±x (D)y=±x
解析:由已知得到b=1,c=,a==,因为双曲线的焦点在x轴上,故渐近线方程为y=±x=±x.
故选C.
10.(2013山东日照一模)已知双曲线-=1的一个焦点与圆
x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为( D )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:由已知圆心坐标为(5,0),即c=5,又=,∴a2=5,b2=20,
∴双曲线的标准方程为-=1.故选D.
11.抛物线y2=12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形面积等于( D )
(A) (B)2(C)2 (D)3
解析:抛物线的准线方程为x=-3,双曲线的渐近线方程为y=±x,所以交点坐标为(-3,±),故面积为S=³3³2=3.故选D.
12.两个正数a、b的等差中项是5,等比中项是4,若a>b,则椭圆+=1的离心率e为( A )
(A)(B)(C) (D)
解析:由题意知a+b=10,ab=16,又a>b,所以a=8,b=2,故椭圆方程为
+=1,所以离心率为e==.
故选A.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的标准方程是.
解析:设圆的圆心为(a,0)(a>0),
则由圆与直线3x+4y+4=0相切,圆的半径为2可得=2,
所以a=2或a=-(舍),
所以圆的方程为(x-2)2+y2=4.
答案:(x-2)2+y2=4
14.(2013太原二模)椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若
|PF1|=4,则|PF2|= ;∠F1PF2的大小为.
解析:因为a2=9,b2=2,所以c===,所以|F 1F2|=2,
又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF2|=2,由余弦定理,得cos∠
F1PF2==-,所以∠F1PF2=120°.
答案:2 120°
15.(2013大连、沈阳联考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则
p= .
解析:由题意可知直线AB的方程为y=x-,联立得
x2-3px+=0,
则|AB|==8,解得p=2.
答案:2
16.函数y=log a(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直
线mx+ny+1=0上,其中m,n>0,则+的最小值等于.
解析:由题意定点A的坐标为(-2,-1),根据点A在直线mx+ny+1=0上,有2m+n=1,
于是+=(2m+n)+=4++≥8,当且仅当=,即m=,n=时等号成
立,∴+的最小值是8.
答案:8
三、解答题(共70分)
17.(本小题满分10分)
(2013浙江嘉兴高三测试)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且a=c+bcos C.
(1)求角B的大小;
,求b的最小值.
(2)若S
解:(1)由正弦定理可得
sin A=sin C+sin Bcos C,
又因为A=π-(B+C),
所以sin A=sin(B+C),
可得sin Bcos C+cos Bsin C=sin C+sin Bcos C,
又sin C≠0,
即cos B=,所以B=.
,所以acsin=,
(2)因为S
所以ac=4,
由余弦定理可知b2=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立. 所以b2≥4,即b≥2,
所以b的最小值为2.
18.(本小题满分12分)
已知圆C:x2+y2=4.(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=2,求直线l的方程;(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的
直线m,设m与y轴的交点为N,若向量=+,求动点Q的轨迹方程.
解:(1)①当直线l垂直于x轴时,方程为x=1,
l与圆的两个交点坐标为(1,)和(1,-),其距离为2,满足题意.
②若直线l不垂直于x轴,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,
设圆心到此直线的距离为d,则2=2,得d=1.
所以1=,k=,
故所求直线方程为3x-4y+5=0,
综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1.
(2)设点M的坐标为(x0,y0),Q点坐标为(x,y),则N点坐标是(0,y0),
因为=+,所以(x,y)=(x0,2y0),
即x 0=x,y0=,
又因为+=4,所以x2+=4,
由已知,直线m平行于x轴,所以,y≠0,
所以Q点的轨迹方程是+=1(y≠0).
19.
(本小题满分12分)
(2013山东日照一模)如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE.
证明:(1)取CE中点P,连接FP、BP,
∵F为CD的中点,
∴FP∥DE,且FP=DE.
又AB∥DE,且AB=DE.
∴AB∥FP,且AB=FP,
∴四边形ABPF为平行四边形,∴AF∥BP.
又∵AF⊄平面BCE,BP⊂平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD,
∵AB⊥平面ACD,DE∥AB,
∴DE⊥平面ACD,又AF⊂平面ACD,∴DE⊥AF.
又AF⊥CD,CD∩DE=D,
∴AF⊥平面DCE.
又BP∥AF,∴BP⊥平面DCE.
又∵BP⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>.
(1)解:f′(x)=-.
由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1).
故解得a=1,b=1.
(2)证明:由(1)知f(x)=+,
所以f(x)-=2ln x-.
令函数h(x)=2ln x-(x>0),
则h′(x)=-=-.
所以当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,
故当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得h(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得h(x)>0.
从而当x>0,且x≠1时,f(x)->0,
即f(x)>.
21.(本小题满分12分)
(2013大连一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点S0,-的直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由消去y得:x2+(2b-4)x+b2=0,
因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,
∴Δ=(2b-4)2-4b2=0,∴b=1,
∵椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴a=b=,
故所求椭圆C的方程为+y2=1.
(2)存在.当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:x2+y+2=2,当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程:x2+y2=1.
由
解得即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1).
下面证明点T(0,1)就是所求的点:
当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1);
若直线l不垂直于x轴,可设直线l:y=kx-.
由消去y得:(18k2+9)x2-12kx-16=0,
设点A(x1,y1)、B(x2,y2),则
又因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),
所以
²=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+kx1-kx2-=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=
(1+k2)²-k²+=0,
所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1).
所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.
22.(本小题满分12分)
已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴的负半轴上,过其上一点
P(x0,y0)(x0≠0)的切线方程为y-y0=2ax0(x-x0)(a为常数).
(1)求抛物线的方程;
(2)斜率为k1的直线PA与抛物线的另一交点为A,斜率为k2的直线PB 与抛物线的另一交点为B(A、B两点不同),且满足k2+λk1=0(λ≠0,
λ≠-1),若=λ,求证线段PM的中点在y轴上;
(3)在(2)的条件下,当λ=1,k1<0时,若P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
解:(1)由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),
因为过点P(x0,y0)(x0≠0)的切线方程为
y-y0=2ax0(x-x0)(a为常数),
所以y′=-=2ax 0,
所以p=-.
所以抛物线的方程为y=ax2(a<0).
(2)直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),
由
得ax2-k1x+k1x0-y0=0,
所以x A+x0=,x A=-x0,
同理,可得x B=-x0.
因为k2+λk1=0,
所以k2=-λk1,x B=--x0,
又=λ(λ≠0,λ≠-1),x M-x B=λ(x A-x M),x M==-x0,
所以线段PM的中点在y轴上.
(3)由P(1,-1)在抛物线y=ax2上,可知a=-1.又λ=1,
所以A(-k1-1,-),B(k1-1,-(k1-1)2).
所以=(2+k1,+2k1),=(2k1,4k1).
因为∠PAB为钝角,且P,A,B不共线,
所以²<0,即(2+k1)²2k1+(+2k1)²4k1<0.k1(2+5k1+2)<0,因为
k1<0,所以2+5k1+2>0,所以k1<-2,或-<k1<0.
又因为点A的纵坐标y A=-(k1+1)2,所以当k1<-2时,y A<-1;
当-<k1<0时,-1<y A<-.
所以∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围为
(-∞,-1)∪-1,-.。