2000清华大学数学分析

清华大学硕士生入学考试试题2000数学分析

一．（30分）（1）用δε-语言证明：11lim

1

=→x x

（2）设函数f 在点a 可导，且0)(≠a f ，求n

n a f n

a f )

()

1

(lim

+

+∞

→

（3）求极限, (2)

1lim

1p

p

p

p n n

n

+∞

→++其中.0>p

二 . （15分）计算⎰

+-L

y x ydx xdy 2

2，其L 是椭圆

12

22

2=+

b

y a

x 沿逆时针方向

三．（15分）设0,1,3

12

223

≥=+++

y x zx ky k 在条件求下的最大值和最小值.

四.（20分）设距离空间（X ，d ）是完备的，即（X ，d ）中的任何Cauchy 列都收敛：X X →:ϕ 是压缩的，即X y x y x d y x d ∈∀≤∈∃,),,())(),((),1,0(αϕϕα使得证明： 存在唯一的.)(,ξξϕξ=∈使得X

五.（20分）设Ω 是n R 中的有界闭集，R f →Ω:是上半连续的，即

εεδεδε+<<-Ω∈>∃Ω∈∀>∀)()(),(,0),(,,0x f y f x y x y x x 时，有且当

证明：f 在Ω达到最大值.