分式和分式方程常见题型训练

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分式和分式方程

解分式方程是把分式方程转化为整式方程实现的，但这个转化是不等价的，因为转化后把分母不为0的条件放宽松。两种类型需要注意：

第一种：分式方程有增根。指的是，分式在化为整式的过程中，解得的未知数是整式方程的根，但不是分式方程的根（让分式方程的分母为0）；

第二种：分式方程无解。①分式无解指的是分式方程自身无解，或化为整式方程后整式无解；②或分式方程有增根；③解得的未知数既让分母为0，又让分式无解（这种类型不能判是增根，而是判做①中的情况）。

1、若分式

2

2

56

x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） 2、若分式方程132a x

x a x

-+=

-+有增根，则a 的值为（ ）

3、若22

22

2,a a ab b b a b -+=+则= 4、若111,3b a a b a b a b

-=--+则的值是（ ）

5、解下列各题

1 已知112323,2a ab b a b a ab b +--=--求的值

2 若0

+=-求的值

6、已知

，且，则的值为（ ） 226a b ab +=0a b >>a b a b +-

2

7、若关于x 的分式方程2

233x m x x -=-+无解，则m 的值为__________. 8、若分式的值为负数，则x 的取值范围是__________．

9、 已知，则的值为______.

10、要使方程=-11x a x -2

有正数解，则a 的取值范围是

11、+++)2)(1(1 x x )

3)(2(1++x x +)

2007)(2006(1

.....+++x x =_____________

12、若分式m x x ++21

2

不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）

13、已知分式

1x y

xy

+-的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ，则a 、b 关系（ ）

A 、相等

B 、互为相反数

C 、互为倒数

D 、乘积为－1

231

-+x x 22

42141x y y x y y +-=-+-2

4y y x ++

3

14、观察以下式子：

1112122132+→=+＞，5527544264+→=+＜，3354355555

+→=+＞， 7737

22232

+→=+＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论.

1、若311=-y

x

，则=---+y

xy x y xy x 33535 。

2、若04422=+-y xy x ；则=+-y

x y

x 。 3、若

=-+=++9

641

81732122y x y x ，则 。

4、=-=n

m 1

1mn n -m ，则

若 。 5、=-≠-+b

a a

b b a 1

1,011则互为倒数，且与若 。

6、=+=+-2221,015x

x x x 则若 。

7、已知为：的代数式表示则用含y x y y x ,1

1

+-=

。 8、若=-+•+==4

42

2)(;2006,2005y x y x y x y x 则 。

9、当x 时，1

22+-x x

的值为负数。当x 时，112--x x 的值

为0。

10、当x 时，

11-x 有意义。当x 取何值时，4

2

2--x x 的值为零

应用题：

⑴甲地经过乙地到达丙地的距离为132.5千米，某人从甲地步行12.5千米到达乙地，再从乙地改乘汽车到达丙地，共用5小时30分钟，已知汽车的速度是步行速度的8倍，求：此人步行速度及汽车速度各为多少?

⑵一水池装有进出水管各一个，同时开放两管，36分钟就能使空池注满，若同时开放6分钟后关上出水管再进10分钟也能使空池注满，单独开进水管要多少时间才能把空池注满？

（3）. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所

需天数的2

3，求甲、乙两队单独完成各需多少天？

（4）、退耕还林还草是我国西部地区实施的一项重要生态工程，某地规划退耕面积69000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比是5：3，设退耕还林的面积是X 公顷，那么应满足的分式方程是什么？

4

5

材料题：将分式422

3

1

x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由分母为﹣x 2+1，可设﹣x 4﹣x 2+3=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b

则﹣x 4﹣x 2+3=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4﹣ax 2+x 2+a+b=﹣x 4﹣（a ﹣1）x 2+（a+b ）

∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b -=⎧⎨+=⎩

，∴a=2，b=1

4222222

22222

3(1)(2)1(1)(2)11211111x x x x x x x x x x x x --+-+++-++==+=++-+-+-+-+-+ 这样，分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式2

11

x -+的和． 解答：

（1）将分式42268

1x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

（2）试说明422

68

1

x x x --+-+的最小值为8．