《数学史》近代数学的兴起

5.2 向近代数学的过 渡
三次及以上的方程的根式解问题：
• 巴巧利认为x3+mx=n，x3+n=mx无根式解，就象解化 圆为方一样。
• 费罗（1465-1526）发现了形如x3+mx=n（m,n>0） 的解法。
• 尼古拉·丰丹纳（绰号塔塔里亚）（1499-1557）， 1535年宣布发现了三次方程的代数解法。
a 3 q q 2 p 3 ,b 3 q q 2 p 3 ,
2 2 3
2 2 3
• 于是得到就是所求的 x .
2.四次方程求解
费拉里（1522-1565），卡尔丹的学生，获得 解一般四次方程的解法。
x4+ax3+bx2+cx+d=0 基本思想是通过配方、因式分解后，降 为三次方程。
卡尔丹（1501-1576）医生、数学家、预言家。 《大法》公布了三次方程的解法。
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《大法》（Ars Magna）卡尔丹公式：
x3 px q
p, q >0
a 3 q (q)2 ( p)3 22 3
b 3 q (q)2 ( p)3 22 3
x3 px q
p, q >0
q a3
(q)2 ( p)3
22 3
b 3 q (q)2 ( p)3 22 3
卡尔丹公式
• 《大法》所载三次方程 x3 px q( p, q 0) 的解法，实 质上是考虑恒等式 (a b)3 3ab(a b) a3 b3 ,
• 若选取a和b，使 3ab p, a3 b3 q, 由上式不难解出a和b：
黄金分割
n
自然现象中的裴波那契数：
• 向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方 向生长的花瓣数同朝相反螺旋方向生长的花瓣数，几 乎总等于裴波那契序列中两个相邻的数。
• 菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的花也有类似 的情形。
• 一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一串数字。 • 电子学专门设计的电路也能产生裴波那契序列。
• 比德(V.Bede,674-735, 英国)，中世纪最大的教会学者 之一。他的许多著作中有不少是讲数学的，其中主要 的是关于历法和指算的论著。
• 热尔拜尔(Gerbert,约950-1003, 法国)，第一个在西班 牙穆斯林学校学习的基督教徒。有证据表明，他可能 把没有包含零的印度-阿拉伯数字带入基督教的欧洲。 据说，他做过算盘、地球仪和天球仪、钟，也许还有 手风琴。他在教会中的地位逐步提升，并最后于公元 999年被选为教皇。他被认为是一位知识渊博的学者， 并且写了关于占星学、算术和几何学等著作。
5.1.2翻译时代(12世纪)
• 直到12世纪,由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著 作的刺激,欧洲数学才开始出现复苏的迹象.
• 1100年左右，欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区 和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了 接触。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了阿 拉伯世界。
• 从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以 及东方古典学术。古典学术的发现激起了他们的极大 兴趣，对这些学术著作的搜求、翻译和研究最终导致 了文艺复兴时期欧洲数学的高涨.
• 大约在1515年,波伦亚大学的数学教授费罗 (S.Ferro,1465-1526,意大利)用代数方法解了三次方 程 x3 mx n(m, n 0) 。
• 按当时的风气，学者们是不公开自己的研究成果的， 因为这样可以提高他在资助人眼里的地位。所以，费 罗没有发表自己的解法，但是，他将自己的解法秘密 地透漏给了他的学生费奥(A.M.Fior)。费奥把这一结果 看成是他日后成名得利的凭据，以及在解题挑战赛中 向其他数学家们挑战的资本 。
5.1.1黑暗时代(5-11世纪)
• 由于罗马人偏重于实用，而没有发展抽象数学，仅仅 满足于数学在商业和民用工程上的应用。随着罗马帝 国的衰亡以及由此导致的东西方贸易的中断、国家工 程计划的撤销,就连在这方面应用的兴趣也减少了.毫不 夸大地说,在整个500年的黑暗时代中,整个欧洲除制定 教历外,在数学上没有什么成就.
关于这一发现的故事
• 与此同时,布雷西亚的尼古拉•丰坦那(Niccolo Fontana, 约1500-1557, 意大利)也在研究三次方程的 解法。由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一 马刀，愈后语言遇到障碍，人们都称他为塔塔利亚 (Tartaglia)，即意大利语的“口吃者”，并以此闻名 于世。
翻译时代(12世纪)
• 大学：波隆尼亚大学（1088）、巴黎大学（1160）、 牛津大学（1167）——摇篮
• 文艺复兴运动——资产阶级文化的兴起 • 斐波那契（1170-1250），著作《算经》（《算盘
书》） • 内容：前七章为十进制整数及分数的计算问题；8—11
章涉及商业计算的比例、利息、等差级数及等比级数， 还有赚赔、合股、折扣、复利等应用问题； • 12、13章为求一次方程的整数解问题； • 14章是求平方根、立方根的法则； • 15章是几何度量及代数问题。
向日葵的花盘。从盘中心向 外辐射出来的螺旋线：顺时 针方向伸展的螺线数目，与 逆时针方向伸展的螺线数目 是斐波那契数列的两个邻项。 事实上，任何菊科植物（如 皱菊或翠菊）的花盘都有此 特征。
植物主茎的侧面的叶子 （或芽体、枝叉）。在 主茎底部附近选定一片 叶子，然后沿主茎向上 计数叶子，一直数到恰 好在选定叶子正上方的 一片为止，这个数通常 是斐波那契数列中的一 项；绕主茎旋转计数叶 片数，并且数到刚才位 于上端的那片叶子为止， 所得到的数通常是刚才 那项前面的邻项。
裴波那契数列
• 某人在一处有围墙的地方养了一对兔子,假定每对 兔子每月生一对小兔,而小兔出生后两个月就能生 育.问从这对兔子开始,一年内能繁殖出多少对兔子?
裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，……
U n=Un-1+Un-2
(n≥3)
Un 1 ( 5 1) 0.6180339887 U n1 2
斐波那契，是欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家。
斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):《算经》(1202)
斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250, 意大利).
• 由于父亲经商的缘故，还在斐波那契的孩童时代就 已经唤起了这个孩子对算术的兴趣。后来，他们旅行 到埃及、西西里、希腊和叙利亚，他又接触到东方和 阿拉伯的数学实践。斐波那契完全确信印度—阿拉伯 计算方法在使用上的优越性。1202年，在他回到家里 不久，便发表了他的著名著作《算经》 。
关于这一发现的故事
• 1540年,意大利数学家达科伊(T.Da Coi)向卡尔丹提出 了一个导致四次方程的问题，卡尔丹未能解出，最终 还是被其才华出众的弟子费拉里解决。卡尔丹很高兴 地将这个解法收入他的著作《大法》。解法的实质是 将四次方程化为三次方程求解。
• 现在看来，说卡尔丹完全是剽窃，显然有失公正，因 为他在书中已注明这个解法是塔氏告诉他的。而且塔 氏从没有给出证明，卡尔丹不仅将塔氏方法推广到了 一般形式的三次方程，而且还补充了几何证明。
和
x3 mx2 n(m, n 0)
两种类型的所有三次方程。然而，费奥似乎是一位平 庸的数学家，他只能求解第一种类型的三次方程，而 这还是他的老师告诉他的。费奥自取其辱，塔塔利亚 大胜而归 。
关于这一发现的故事
• 塔塔利亚胜利的消息传到了一位不怎么道德的意大利 一个教书匠卡尔丹G.Cardano,1501-1576)的耳朵里， 他以把塔塔利亚推荐给一位投资者的推荐信为诱饵， 说服塔塔利亚把三次方程的解法告诉了他。1539年,他 们在米兰会面时，塔塔利亚逼迫卡尔丹起誓决不泄漏 这一秘密。然而，卡尔丹不久就违背诺言，于1545年 在德国的纽伦堡发表了一部关于代数学的拉丁文巨著 《大法》，其中就有三次方程的塔塔利亚解法 。
第五章 穿越黑暗 ——近代数学的兴起
近代数学的兴起
• 教学目标：了解三、四次方程求解方法，理解对数产 生背景及思想和映射产生的背景及符合代数的意义， 掌握解析几何产生的原因，熟练掌握射影几何产生的 问题及其意义。
• 教学重点：三、四次方程解法，对数的产生和射影几 何的产生
• 教学难点：对数产生的思想方法
关于这一发现的故事
• 塔塔利亚被这一背信弃义的行为激怒。为了寻求报复, 他在一本书中讲了自己的故事。塔塔利亚的强烈抗议 遭到卡尔丹的最有能力的学生费拉里 (L.Ferrari,1522-1565,意大利)的反击。
• 在长时间的交锋中，费拉里始终站在老师一边。他说 卡尔丹曾通过第三者(费罗的养子)从费罗那里得知此 法，反而控告塔塔利亚剽窃费罗的成果。1548年,塔 塔利亚从威尼斯一个很低的算术教师的职位突然升到 了布雷希亚的讲师的职位。他向费拉里提出挑战，认 为这样能给他带来更大的荣誉并且能够复仇。但是他 太低估了对手的实力，两人在比赛结束之前不欢而散。 这对塔塔利亚产生了不利影响，布雷西亚的权威们后 来拒绝付给他薪水，他只好回到威尼斯教他的课。至 此，一场闹剧终于收场。
阿德拉特(Adelard,约1120)
• 阿德拉特，翻译了欧几里得的《原本》和花拉子米的 天文表 。
• 阿德拉特是基督教徒，他为获得阿拉伯学问而冒生命 危险的故事是很感人的。据说他为了得到被保守得很 严密的知识，不惜假装成伊斯兰教的学生。
普拉托(Plato,约1120)
• 普拉托(Plato,约1120)，意大利人。他翻译了巴塔尼的 《天文论著》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其他 著作 。
黑死病流行
• 至于14世纪, 可以说相对而言，这是数学上的不毛之 地。这是黑死病流行的世纪，扫荡了欧洲三分之一以 上的人口；并且使北欧在政治上和经济上发生动乱的 “百年战争”就始于这个世纪。
从12世纪到15世纪中叶
• 欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中 叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中 的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士 多德、托勒枚的一些学说奉为绝对正确的教条，企图 用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。欧洲数 学真正的复苏，要到15-16世纪。
5.1 中世纪的欧洲
• 5.1.1黑暗时代(5-11世纪) 从公元5世纪中叶，西罗马帝国灭亡开始到11世
纪这个时期，称为欧洲的黑暗时代。
这一时期,旧的社会秩序已破坏，封建主和基督 教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教的统治，使 一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对 自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种 真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整 个中世纪处于凝滞状态。学校教育名存实亡，希腊学 问几乎绝迹，连许多从古代世界流传下来的艺术和技 艺也被忘记了。
5.2.1 代数学
• 三、四次方程根式求解的成功
• 费罗 （1515年）,波伦亚大学的数学教授 。 x3+mx=n (m,n>0)
• 塔塔利亚（Tartaglia，即意大利语的“口吃者”。） x3+mx2=n (m,n>0)
由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀, 愈后语言遇到障碍
关于这一发现的故事
• 在黑暗时代,在数学史上起到重要作用的人,可以勉强地 提到的是：
• 博埃齐(A.M.S.Boethius, 约480-524, 罗马)
他根据希腊材料用拉丁文编写的著作《几何学》 和《算术》，在好几百年中一直作为教会学校的标准 课本。《几何学》除了对欧几里得《原本》第一卷的 命题和第三、第四卷的少数几个命题的陈述，以及一 些简单的测量术外，就再没有什么东西 。
路古 线代
学 术 传 播 西 欧 的
伟大的翻译家杰拉德
• 这个时期最辛苦的翻译者是伟大的翻译家杰拉德 (Gherardo,约1114-1187)，他把90多部阿拉伯文著作 译成拉丁文，其中包括托勒玫的《大汇编》、欧几里 得的《原本》、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》和阿 基米德的《圆的度量》等。
• 可以说，12世纪是欧洲数学的翻译时代.
• 1535年，塔塔利亚宣布：他发现了三次方程的代数解 法。费奥认为此项声明纯系欺骗,就向塔塔利亚提出挑 战，要求来一次解三次方程的公开比赛，参赛者要解 出对方提出30个三次方程。比赛在米兰大教堂公开举 行。
关于这一发现的故事
• 结果是,塔塔利亚很快就解出了形如
x3 mx n(m, n 0)