矩形、菱形、正方形---菱形的判定

§20.3.矩形、菱形、正方形----菱形的判定
复习巩固
1、矩形的判定定理： 从角考虑：___________________________的平行四边形是矩形。

从对角线考虑：____________________________的平行四边形是矩形。

从角考虑：____________________________的四边形是矩形。

2.矩形的性质：
3.菱形的性质：
4、菱形的判定方法1: 定义：有一组邻边__________的平行四边形
是菱形. 几何表示：∵四边形ABCD 是平行四边形，
AB=CD
∴四边形ABCD 是菱形。

5、菱形的判定方法
2: ________________平行四边形
是菱形． 应用判定方法2时，要注意其性质包括两个条件：
（1）是平行四边形；（2）两条对角线互相垂直
．
已知：平行四边形ABCD ，对角线AC
⊥BD ，
求证：四边形ABCD 是菱形
证明：在ABCD 中，
OB=OD
∵AC ⊥BD
∴∠AOB____∠AOD
在△AOB 与△AOD 中,
∴四边形ABCD 是菱形
思考：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？
____________________________________ 画一个菱形，使它的边长为6cm 。

（草稿）
通过菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
6.菱形的判定方法3
：___________
的四边形是菱形．
已知:四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA 求证：四边形ABCD 是菱形。

证明：
已知：如图ABCD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交12（2011云南保山）如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？
13.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ． （1）求证：四边形ABED 是菱形；
（2）若∠ABC=60°，CE=2BE ，试判断△CDE 的形状，并说明理由．
15.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC =CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 中点，求证：四边形BCDE 是菱形．
16. 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，连结DE ，BF ，
BD ． (1)求证：△ADE ≌△CBF ．
(2)若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．
17.（2011新疆乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG ∥BD ，交CB 的延长线于点G ．
（1）求证：四边形DEBF 是菱形；
（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．
18.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；
(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
19.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点．
求证：MN 与PQ 互相垂直平分。

20.（2011•安顺）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF=CE=AE ． （1）说明四边形ACEF 是平行四边形；
（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．
21．（2011•西宁）如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥CA ，
AE ∥BD ．
（1）求证：四边形AODE 是菱形； （2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE 是 ．
22. 已知：如图，M 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中点，DM ⊥AB ，EF ⊥AB ，ME ⊥AC ，DG ⊥AC ．求证：四边形MEND 是菱形．
23.如图，□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝5．对角线AC ，BD 相
交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ． (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．
24、如图在四边形ABCD 中，点E 、F 是对角线上BD 的两点，且BE=DF 。

（1）若四边形AECF 是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形； （2）若四边形AECF 是菱形，那么四边形ABCD 也是菱形吗？为什么？ （3）若四边形AECF 是矩形，试判断四边形ABCD 是否为矩形，为什么？
25（2011邵阳）在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．
（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
F
E
C
B
A
D A
B N
P
Q
M
D
C
Ａ Ｆ Ｃ
Ｄ
Ｅ 菱形的性质与测试
1、下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）． （A ）两条对角线相等 （B ）两条对角线互相垂直
（C ）两条对角线相等且互相垂直 （D ）两条对角线互相垂直平分 2.四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD
B ．AB ∥CD ，A
C ＝B
D C ．AO ＝BO ，∠A ＝∠C D ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC 3.菱形具有的性质而矩形不一定有的是( ) A.对角相等且互补 B.对角线互相平分
C.一组对边平行另一组相等
D.对角线互相垂直 4下列条件中不能用来判定四边形是菱形的是 （ ）
A ．AB=CD ，AB=AD ，BC=CD
B ．∠A=∠
C ，∠B=∠
D ，AC ⊥BD
C ．AB=C
D ，AD=BC ，AC ⊥BD D ．OA=OB=OC=OD （O 是对角线交点） 5、下列判别错误的是( )
A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
B.有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
D.邻边相等的平行四边形是菱形.
6.一矩形两对角线之间的夹角有一个是600
, 且这角所对的边长5cm,则对角线长为( )
A. 5 cm
B. 10cm
C. 52cm
D. 无法确定 7.下列图形中,一定不是菱形的为( ) A.用两个全等的等边三角形拼成的图形. B. 一条对角线平分一组对角的平行四边形 C.用两个全等的等腰三角形拼成的图形. D.用两个全等的非等腰三角形拼成的图形
8下列条件不能够判定平行四边形ABCD 是矩形的是( )
A ．AB=BC
B ．A
C ⊥B
D C ．AD=CD D ．AC=BD 9、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）
A ．对角线相等且互相平分
B ．对角线互相垂直且相等
C ．对角线互相平分
D ．一组对角相等且一条对角线平分这组对角 10.平行四边形的四个内角角平分线相交所构成的四边形一定是（ ） A ．一般平行四边形 B ．一般四边形 C ．对角线垂直的四边形 D ．矩形
11、已知：在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则四边形EFGH 的面积为 ( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．3
12.菱形的对角线长分别为6cm 、8cm ，则它的面积为（ ）
A.6cm 2
B.12cm 2
C.24cm 2
D.48cm 2
13.用两个边长为a 的等边三角形纸片拼成的四边形是( )
A.等腰梯形
B.正方形
C.矩形
D.菱形
14.菱形周长为20 cm ，它的一条对角线长6 cm ，则菱形的面积为（ ） （A ）6 （B ）12 （C ）18 （D ）24
15.根据对角线的关系判定一个四边形是矩形或菱形必不可少的条件是。

A ．对角线相等
B ．对角线互相垂直
C ．对角线互相平分
D ．对角线垂直且相等
16.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ） A. 4
3
B. 8
3
C. 10
3
D. 12
3
17.在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE ⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ） A 、12
5
B 、
135
C 、52
D 、2
18.矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（ ） A 、6
B 、5.8
C 、2（1+ 3 ）
D 、5.2
19、菱形的周长为20,两邻角的比为2∶1，则一组对边的距离为（ ） A 、
3
2
B 、
33
2
C 、3 3
D 、
53
2
20、矩形ABCD 的对角线AC 的中垂线与AD 、BC 分别交于E 、F,则四边形
AFCE 的形状最准确的判断是（ ） A 、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、正方形 21、已知ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是() A ．AB=CD B ．AC=BD
C ．当AC ⊥B
D 时，它是菱形 D ．当∠ABC=90°时，它是矩形 22.矩形ABCD 的周长为20cm,两条对角线相交于O 点，过O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 、BC 于
E 、
F 点，连接EC ，则△CDE 的周长为（ ）
A.5cm
B.8cm
C.9cm
D.10cm
23.如图，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立的是（ ） （A ） DE=AE （B ）BD=CE （C ）
90=∠EAC （D ）
E
ABC
∠=∠2
第23题 第24题 第25题
24（2011•西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ）
A 、一组临边相等的四边形是菱形
B 、四边相等的四边形是菱形
C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
25、如图，E 是□ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长线交于点F ，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A 、AD=CF
B 、BF=CF
C 、AF=C
D D 、DE=EF 二、填空题
1.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______， 短边长为_______。

2.菱形的面积为38平方厘米，两条对角线的比为1:3，那么菱形的边长为______
3.菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______。

4.在矩形ABCD 中，AB=2BC ，在CD 上取点E ，使AE=AB ，则∠EAB= ，∠EBC= .
5、过矩形的顶点引对角线的垂线，分对角线成3cm 和9cm 两部分，则矩形的短边为 ，长边为 .
6.矩形的对角线的夹角为120°，两对角线与两短边之和为36，则对角线的长是 ，该矩形的面积是
7如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠
AOB=60°，
AE 平分∠BAD ，AE 交BC 于E ，则∠BOE 的度数是_______________.
第7题 第8题 第10题 第11题 8.如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD,BF ⊥CD ，E 、F 分别是垂足，AE=DE ，则∠EBF 是
9.□ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,分别添上下列条件:①AC ⊥BD ②AB=BC ③AC 平分∠BAD ④AO=DO.使得四边形ABCD 为菱形的有_____________(填序号)
10.如图,在□ABCD 中中,BE,DF 分别是∠ABD 和∠CDA 的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形BEDF 为菱形,则添加的一个条件可以是______________ (图中不能再添加别的点和线)
11、两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起，重叠部分的四边形是 形。

12.如图：已知菱形ABCD ，∠BAC=30○
,BD=6cm ，则∠ABD=________，∠BAD=_________，AB=________厘米，AC=_________厘米.
13矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为36cm ，此矩形的面积
14.ABCD 的一条边AB=9，对角线AC 和BD 的长分别是12和65，这个平行四边形的面积 。

15.菱形周长为40cm ，它的一条对角线长10cm. ⑴菱形的每一个内角的度数分别是 ⑵菱形另一条对角线的长为 . ⑶菱形的面积为 . 16.下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中,正确的有
17.如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；
②如果90BAC ∠= ，那么四边形AEDF 是矩形；
③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；
④如果AD BC ⊥且AB AC =
，那么四边形AEDF 是
菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）
C
B
D
A
三、解答题
1.如图，在□ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 于F ，求证：四边形AFCE 是菱形．
2.如图：AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，且交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，且交AE 于点D ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是菱形
3，如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC ⑴求证：四边形BCEF 是菱形
⑵若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△
BDE
4.已知：如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，且AE=AC ，EF ∥BC 交AD 于点F ，求证：四边形CDEF 是菱形。

5.如图，△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的两条高，点F 、M 分别是DE 、BC 的中点.求证：FM ⊥
DE.
6.如图，四边形ABCD 中，分别过A 、B 、C 、D 作对角线BD 、AC 的平行线， 两两相交于E 、F 、G 、H.
（1）画出图形，并判断四边形EFGH 的形状，并说明理由； （2）当四边形ABCD 满足________时，四边形EFGH 为菱形；
（3）当四边形ABCD 满足________时，四边形EFGH 为矩形.
7.已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF 。

过点C 作CG ∥EA 交AF 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

8.如图，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）剪成①②③④四块图形，用这
四块图形恰能拼成一个．．．．．．
矩形（非正方形）． （1）画出拼成的矩形的简图；（2）求
x
y
的值．
9.（2011•恩施）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，BC=CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P ，QC ⊥BC 与AF 交于点Q ．求证：四边形APCQ 是菱形．
y
x。