高等数学期末复习-极限

2018级数学辅导讲义（一）：极限与连续

2018.11.22

一、知识梳理：

1.初等函数：幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数.由常数及基本初等函数经有限次四则运算或复合，用一个式子表示的函数叫初等函数.

2.函数的极限

（1）定义：0,ε∀>∃0δ>，使当00x x <-δ<时，有()f x A ε-<，则0

lim ()x x f x A →=.

（2）关系：0

00lim ()()()x x f x A f x f x A -

+

→=⇔==.

3.无穷小与无穷大

（1）无穷小：若0()

lim ()0x x x f x →→∞=，则称()f x 为当0()x x x →→∞时的无穷小.

（2）无穷大：记作0()

lim ()x x x f x →→∞=∞.

（3）无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程下，若()f x 无穷大，则1()f x 无穷

小；若()f x 无穷小，()0f x ≠，则1()

f x 无穷大.

（4）渐近线：若lim ()x f x A →∞

=，则直线y A =是()f x 图像的水平渐近线；若0

lim ()x x f x →=∞

（一般0x 是使分母为零的点），则直线0x x =是()f x 图像的铅直渐近线.4.极限运算法则

（1）无穷小运算法则：

.a 有限个无穷小还是无穷小

.b 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2

有限个无穷小的乘积也是无穷小

（3）复合函数的极限运算法则：若0

1lim (),lim (),0,x x u a

x a f u A φδ→→==∃>使当010x x δ<-<时，(),x a φ≠则0

lim [()]lim ()x x u a

f x f u A φ→→==.

（4）洛必达法则：若同时满足：.a lim ()lim ()0f x F x ==（

型）或lim ()f x =lim ()F x =∞（

∞∞型）；.b ()f x ，()F x 可导且'()0F x ≠；.c '()lim '()

f x F x 存在（或为∞），则()'()()lim

lim (lim()')()'()()

f x f x f x F x F x F x =≠.推论

若lim '()lim '()0f x F x ==（或为∞），且满足b,c 条件，则'()''()

lim

lim

'()''()

f x f x F x F x =.（常用求导公式：.()'0a C =，1

.()'b x x

μ

μμ-=，.(sin )'cos c x x =，.(cos )'sin d x x =-，

.()'x x e e e =，1.(ln )'f x x

=

）5.两个重要极限：0sin lim 1

x x

x

→=1

lim(1)x x e x

→∞+=（1

0lim(1)x x x e →+=）

6.等价无穷小的替换：

（1）分式替换：若'~',~',lim

'βααββα存在，则'

lim lim '

ββαα=.（2）和差取大：若()o βα=，则~αβα±.

（3）和差替换（一般不用）：若~',~'ααββ，,βα不等价，则~''αβαβ--且

''

lim

lim

αβαβγγ

--=.（4）因式替换：若~αβ，()x φ极限存在或有界，则lim ()lim ()x x αφβφ=.

常用等价无穷小：sin ~x x ，tan ~x x ，2

1cos ~2x x -，arctan ~x x ，arcsin ~x x ，

(1)1~x x μμ+-，ln(1)~x x +，1~x e x

-8.连续性与间断点

（1）连续性：若0

0lim ()()x x f x f x →=，则称()f x 在点0x 连续.在区间上每一点都连续的函数

叫在该区间上的连续函数.

（2）间断点：若函数有以下3种情况之一：.a ()f x 在0x 无定义；.b ()f x 在0x 有定义，但0

lim ()x x f x →不存在；.c ()f x 在0x 有定义，0

lim ()x x f x →存在，但0

0lim ()()x x f x f x →=，则称0

x 为()f x 的间断点.（3）间断点的类型：

.a 第一类间断点（前提：0

0(),()f x f x -+都存在）：若00()()f x f x -+

=，0x 为可去间断点；若00()()f x f x -

+

≠，0x 为跳跃间断点.

.b 第二类间断点（前提：0

0(),()f x f x -+至少一个不存在）：若00(),()f x f x -+

中有一个为∞，0x 为无穷间断点；若()f x 的图像在0x x →时产生振荡现象，0x 为振荡间断点.

二、典例解析：

例1

3221lim 53

x x x x →-=-+.

[变式1]2123

lim

54x x x x →-=

-+.

[变式2]sin lim x x

x

→∞=

.

【反思】1.求极限问题的基本策略是什么？变形的原则是什么？

2.例1、变式1、变式2分别趋于什么“型”？这些“型”的结果是否确定？

例2

2223lim 32x x x x x

→∞+=+.

[变式]求0ln 2lim ln 5x x

x

+

→=.

【反思】1.求∞

∞

型极限有哪些方法？

2.有理函数有哪些可能的极限情况？

例3

求1

x →.

[变式1]22023lim 32x x x

x x

→+=+.

[变式

2]1

lim

1x x →=

-.

[变式3]1lim sin

x x x

ω→∞

=.

【反思】1.求0

型极限有哪些方法？

2.解决例3有几种方法？

3.用换元法求极限的关键点是什么？

4.如何求0⋅∞型极限？