高中一题多解经典练习题1

高中一题多解经典练习题

1、原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立

0>∴m 且Δ0≤，得4≥m

变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立

0>∴m 且Δ0<，得4>m

变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，

∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m < 40≤≤∴m

变3：182

23+++=x n

x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911

82

2,∈+++=x n

x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -

∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根

∴

5==n m

∴ 当m y =时，08

==m

n x - R x ∈ ，也符合题意

∴5==n m

2、解不等式523<<3-x

解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解

（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<

解法二：转化为不等式组求解

原不等式等价于

014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x

解法三：利用等价命题法 原不等式等价于

-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x

解法四：利用绝对值的集合意义

原不等式可化为

2

5

23<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小

于

2

5

，由图得， 解集为}

{0x 1-<<<<或43x x

3、已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：8

52a a a ,,成等差数列

法一：用公式q

q a s n n 一一111)

(=，

因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则

6396391613121121121111q q q q q q q q a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)

()()(一一一一一一

所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法

二

用

公

式

q

q

a a s n n 一一11=

，

q

q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)

(∴,=+=+

则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀

证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=）

3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=

)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=

解得2

1

3一=q （下略）

4、 已知5

4

=αsin 且α是第二象限角，求αtan

解：α是第二象限角，54=αsin 3

4

5312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒

变1：54

=αsin ，求αtan

解：05

4

>=αsin ，所以α是第一或第二象限角

若是第一象限角，则34

53==ααtan ,cos

若是第二象限角，则3

4

54一一==ααtan ,cos

变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan

解：由条件10≤

当 10<

211m

m αm α一一=

=tan ,cos

若是第二象限角2

211m

m αm α一一一一tan ,cos ==

当1=m 时αtan 不存在

变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan

当α时第一、第四象限角时，2

1m

m

α一=

tan

当α是第二、第三象限角时，2

1m

m α一一=tan

5、求函数)()(01

x x

x x f +=的值域

方法一：判别式法 --

设x

x y 1

+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y

当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，

)()(01

x x

x x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2

方法二：单调性法

先判断函数)()(01

x x x x f +=的单调性

任取210x x ，则2

12121211x x x x x x x f x f )

-)(-()(-)(=

当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数

由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞

,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2 方法三：配方法

2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01

=x

x -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2

方法四：基本不等式法

x x x f 1

+

=)(212122=≥+=x

x x x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2