高中一题多解经典练习题1
高中数学经典题一题多解(一)：解析几何一题多解 21题 53解
32OA OB =+第一种解题思路：把直线的方程联立椭圆3OB +，(,222M x +y)在椭圆:4C3,=(，由待定系数法求得2λ，23OB +第三步：把32OM OA OB =+椭圆上这个条件，但是只提供这就是原题的构造过程.，过(4,)5A 且斜率为k 的直线交椭圆(4)5y k x -=-与:25C +由2⎨⎪(12)k x+.又26424(1k∆=-2211,x y ⎧+=⎪3cos ||||41a a b k α==+134≤如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)相切于A ，与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时，||AB 取得最大值？并求最大值．初等解法：设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(12R <<)相切于A ， 所以 2||1m R k =+， 即222(1)m R k =+ ①，因为l 与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，由2214y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿， 即22410k m -+=， ②由①、②可得2222223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， 设11(,)B x y ，由求根公式得1228442(14)km km kx k m m=-=-=-+， ∴2211441()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+==， ∴222221211614||5k OB m R x y +===-+=， ∴在直角三角形OAB 中，222222244||||||55()AB OB OA R R R R=-=--=-+， 因为2244R R+≥，当且仅当2(1,2)R =∈时取等号，所以2||541AB -=≤， 即当2(1,2)R =∈时，||AB 取得最大值，最大值为1．高等解法：上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．-++ m x x1)()⊥．∴MA MB又 21x x +=)11(41+-λk )11(42+-λk =k 4-(2121λλλλ++2)， ，1λ+2λ=38-， (1) 21x x =216k )11(1+λ)11(2+λ=216k (211λλ+2121λλλλ++1) ，1λ+2λ=38-， (2) 由(1)得: 1λ2λ=)3(492--k ，由(2)得: 1λ2λ=)3(80)16(922-+-k k . ∴ )3(492--k =)3(80)16(922-+-k k ，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).如果考虑结论中涉及到的1λ+2λ怎样用k 表示，刚才提供的解法二可以演变为下面的解法三：1λ+2λ=441+-kx +442+-kx =-4(411+kx +412+kx )=-4×)4)(4(8)(2121++++kx kx x x k =-4×16)(48)(2121221+++++x x k x x k x x k ，然后把21x x +=238k k -，21x x =3192-k 代入上式化简得: 1λ+2λ=483962-k =38-，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).第7题 2012年江苏卷解析几何题的轨迹解法2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出12,PF PF 与12,AF BF 的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出P 点的轨迹方程，再判断P 点的轨迹为椭圆，然后直接求出12PF PF +是定值． 一、题目：由点B 在椭圆上知，1222BF BF +=，所以11212=(22)AF PF BF AF BF -+．同理，22112=(22)BF PF AF AF BF -+．所以12121221212122+=(22)(22)22AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF -+-=-+++由①②得，212222(1)=2m AF BF m +++，21221=2m AF BF m ++，所以1223+=22=222PF PF -． 所以12PF PF +是定值．三、轨迹解法：（1）椭圆的方程为2212x y +=．（2）（ii ）如右图，设1AF 的延长线交椭圆于1B ， 设(,)P x y ，11()A x y ，，122()B x y ，，由对称性，22()B x y -，-，其中1200y y ><，，由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，. 设1AF 的方程分别为1x my =-，由22221(2)21=021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--⎨⎪=-⎩， 显然0>，12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 因为2,,P F A 共线，且所在直线有斜率，所以1111y yx x =-- ①， 因为1,,P F B 共线，且所在直线有斜率，所以2211y yx x =+- ②，12111x x x =+--，122212122)2()y y m y y m y y =--+9)3(2222=+-++y x y x ，即0322=-+x y x )335(≤≤x所以，点M 的轨迹方程为0322=-+x y x )335(≤≤x ．第10题 一道1985年高考解析几何题的两个优美解已知椭圆，直线，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上，且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.优美解1(极坐标法)如图，依题意设三点的极坐标分别为.因点在椭圆上， 故有，所以①.又点在直线上，所以有，即②.又由得③ .由①②③得，即，所以，化为直角坐标方程得.又点不能是坐标原点，所以不同时为零，故点的轨迹方程是()，即，其轨迹是中心为焦点在直线上的椭圆(坐标原点除外).优美解2(向量方法)依题意设，设，则，因点在直线上，故有即①.又点在椭圆上，所以有即②. 又由得即③.由①②③得，即，下同法1略.问题是数学的心脏，问题解决是数学的核心和目标，简单优美是数学的更高追求，根据问题特点灵活选择恰当的方法使问题得以轻松解决，可从中可体验创造美、发现美、欣赏美的愉悦和成功.第11题 抛物线对称轴上五个重要点在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上有五个重要的点，即(0,0)O ，(,0)2pK -，(,0)2p F ，(,0)M p ，(2,0)N p ，与这五点相关的高考试题非常多，本文对这五个点做一个简单的总结，其中前三个点的研究既用了代数法，又用了几何法，后两个点的研究只用了代数法，希望这个研究方法能对同学们有所启发，在遇到由此改编的试题的时候能够选用恰当的方法．为了减少作图和便于比较，我们把涉及五点的结论所需的图形全部放在一个整体的图形中，这个图我们把它叫做五点图，如右图所示：1、原点(0,0)O 处的三点共线：过(,0)2pF 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、，过A B 、分别作准线2px =-的垂线，垂足为11A B 、，O 为坐标原点，则1A O B 、、三点共线，1A O B 、、三点共线． 证法一 几何法连结1AB 交x 轴于1O 点，由已知11AA FK BB ∥∥， 由抛物线定义11,,AA AF BB BF ==于是11111111O F BB B K O K O KBF FA BA BA B A AA FA=====，( 2FBB-∠180，∴F B F⊥解：（1）因为椭圆由184x y +=⎨⎪⎩08=≥．又+ OA OB221(1k +==OB OA OB =.,OA OB OA OB =2整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅=．设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则MA 12)()(x x y -+22,OA OB OA OB =整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则11(y y y y x x --⋅=--,OA OB OA OB =2整理得: OAx x⋅又因12x x⋅≠122所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线12x x⋅又因12∴⋅=x x24(22p p -解法3:设圆C 的圆心为1x x +⎧=12又因12x x ⋅x x ∴⋅=1|4pd ∴=5+5(14k 时，上式取等号．2-127t.()21712727t t =⨯- ()2271271227t t +-≤⨯377=. ……12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立. ∴ ABC ∆的面积的最大值为377． …… 14分 第 16题 一道解析几何定值题的2种解法已知曲线C 是到点)83,21(-P 和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥, 轴（如图）。
高考数学一题多解测试1.doc
高考数学一题多解测试题目：求函数)()(01 x x x x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01 x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2 方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xx x x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4 综上10≤≤a。
一题多解问题(高中数学经典题型)
1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。
2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。
于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。
高中数学一题多解
题目：已知等腰三角形ABC，且AD是三角形ABC的高，E为边BC的中点，AE与BC交于点F，求证：∠ACF=∠BCE。
解法1：根据题目已知，AD是三角形ABC的高，说明角BAD和角FAC互余，即∠BAD+∠FAC=90°。
又因为三角形ABC为等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，即角BAD和角FAC相等。
因此，∠FAC=∠BAD。
由已知条件，E为边BC的中点，所以BE=EC，并且连接AE。
因为E是边BC的中点，所以AE是三角形ABC的中线，所以AE平分∠BAC。
因此，∠BAE=∠CAE，即角BAD和角CAF相等。
综上所述，∠FAC=∠BAD=∠CAF，即∠ACF=∠BCE。
解法2：在△ABC中，已知等腰，所以AB=AC。
根据题目条件，AD是三角形ABC的高，所以BD=CD。
由于E为边BC的中点，所以BE=EC。
连接AE，AF，BF，CF。
由于△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，所以∠ACB=∠BCA=∠BAC。
又因为AE是边BC的中线，所以AE平分∠BAC，所以∠BAC=∠CAE。
又因为AF是△ABC中△BCF的高，所以∠ACF=∠AF C。
所以∠ACF=∠AFC=∠BCF。
由于余角定理，对于任意角∠X和∠Y，若∠X+∠Y=90°，则称∠X和∠Y互余。
由题意可知∠BAC和∠BAD互余，所以∠BAD+∠FAC=90°。
又由于是等腰三角形，所以∠ACB=∠BAC。
所以∠ACB+∠FAC=90°，即∠ACF=90°-∠ACB。
由题目条件可知BE=EC，所以△BEC是一个等腰三角形，所以角BEC=角BCE。
所以∠ACF=90°-∠ACB=∠BEC=∠BCE。
综上所述，∠ACF=∠BCE。
万能高中数学说题 一题多解,多题归一
2、解三角形在高考中主要以简单、基础题出现，考察内容与三角函数、向量、 均值不等式结合的较多。题型设置主要是一道选择题加一道解答题，难度以简单基 础为主。因此，高考中是学生必须拿下的一块阵地，也是学生学习、考试由浅入深 的关口。
一题多解，多题归一
各位老师，您们好： 我今天要说的题目是:
一、已知
中，点D在边BC上，
二、△ABC中，sin²A- sin²B- sin²C =sinBsinC. （1）求A; （2）若BC=3，求△ABC周长的最大值。
．当 取得最小值时，
________．
1
2
3
题目背景 解题思路 变式迁移
一、题目背景
3、考察学生代数推导、数学运算、解题优化的思想和能力。
二、解题思路
一．填空题【2022年全国甲卷】已知
中，点D在边BC上，
．当
取得最小值时，
________．
【分析】 利用余弦定理表示出
后，结合均值不等式即可得解.
【解】 设
，则在
中，
，在 ，所以
中，
，当且仅当
即
时，等号成立，所以当
取最小值时，
二、解答题【2020年新课标2卷理科】
四、反思
1、 在日常教学中，通过不断的变式，运用数学转化的思 想，加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加深 对问题的认识。
2、引导他们探索数学问题的解题方法，做一题，通一类， 会一片。更重要的是可以提高学生的化归迁移的思维能力和 思维灵活性。引领学生善于思考，提高他们分析问题和解决 问题，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
高考数学典型题一题多解系列一
第1题 真数相同的对数式比较大小的3种解法比较大小： 15log 3 12log 3解法一（图象法）：利用两个函数12log y x =和15log y x =图象如右图，得12log 315log 3<．解法二： （单调性法）利用一个函数log 3x y =的单调性考虑函数31log 3log x y x==， 因为函数3log y x =在(0,1)上是增函数， 所以log 3x y =在(0,1)上是减函数， 又1125>，所以12log 315log 3<． 解法三：（作差法） 利用函数lg y x =的单调性，直接作差表达更简单因为 12log 31255lg 3lg 3lg 3(lg 2lg 5)log 3lg 3lg 30lg 5lg 2lg 5--=-+=-=<， 所以12log 315log 3<．第2题 真数底数都不同的对数式比较大小的2种解法 比较24log25与25log 26的大小解法一：（作差法）22425lg 25lg 26lg 25lg 24lg 26log 25log 26lg 24lg 25lg 24lg 25--=-=∵2lg 24lg 26lg(2426)lg[(251)(251)]lg 25lg 24lg 26lg 252222+⨯-⨯+<==<=，∴2lg 25lg 24lg 26>，∴2425log 25log 26>． 解法二： （分离常数法，利用换底公式）242425log 251+log 24=，252526log 261+log 25=， ∵252612425>> ∴242525252526log log log 242425>>，∴2425log 25log 26>． 第3题 一对特殊关系的指数方程与对数方程的两根和的3种解法设方程340xx的根为1x ，方程log 403xx 的根为2x ，求12x x .解法一：（观察法+证明法）因为13140，所以1x 方程340x x 的一个根，又()34xf x x在R 上为增函数，所以()34xf x x在R 上最多只有一个零点，所以11.x因为3log 3340，所以3x方程3log 40xx的一个根，3()log 4f x xx 在(0,)上为增函数，所以3()log 4f x xx在(0,)上最多只有 一个零点，所以23.x 所以124.x x解法二： （化归为同种函数法）显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求出12x x .此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考：11340xx ①322log 40x x ②①式可以变形为1134xx ，即为311log (4)x x ，若设14x t ，则14x t，于是3log 4tt ，②式变为322log 4x x ，t与2x 都是方程3log 4xx 的根，而这个方程即3log 40xx， 又函数3()log 4f x xx在(0,)上为增函数，最多只有一个实数根，因此必有214xx ，所以124.x x解法三: （利用一对反函数图象） 将方程340xx 变形为34xx ，将方程log 403xx变形为log 43xx，在同一坐标系内分别作出函数3x y，log 3yx ， 4yx 的图像， 因为3x y与3log yx 互为反函数，图像关于直线yx对称，而4y x 与y x 垂直，设垂足为C ， 则直线4yx与3x y，3log yx 的图像的交点A ，B 关于点C 对称，易求得C 点坐标为(2,2)，又A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ， 由中点坐标公式得124.x x第4题 一道含有绝对值函数的零点问题的2种解法已知函数||()2x f x x =+，方程2()f x kx =有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围.x解法一：（去掉绝对值号，化为二次函数问题） 原方程即2||2x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程1||2k x x =+有三个不同的实数解. ⑴当0x >时，方程化为：12kx x =+，即2210kx kx +-=，①0k =时 ，方程无解；②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=+=+， ⅰ）当10k -<<时，0∆<，方程无实数解. ⅱ）0k >时，显然0∆>，122x x +=-，1210x x k=-<，结合0x >知原方程有一个正根.ⅲ）1k ≤-时，2440k k ∆=+≥，而此时122x x +=-，1210x x k=->，结合0x >知方程无解. ⑵当0x <时，方程化为：12kx x =-+，即 2210kx kx ++=，①0k =时 ，方程无实数解；②当0k ≠时，2444(1).k k k k ∆=-=- ⅰ）当01k <<时，0∆<，方程无实数解. ⅱ）0k <时，显然0∆>，122x x +=-，1210x x k=<，结合0x <知原方程有一个负根.ⅲ）1k =时，方程显然有两个相等的负根.ⅳ）1k >时，2440k k ∆=->，而此时122x x +=-，1210x x k=>，结合0x <知方程有两个不等的负根.综上可得，当1k >时，方程2()f x kx =有四个不同的实数解.解法二：（利用两个函数图象法，利用斜率几何意义法）原方程即2||2x kx x =+. 0x =恒为方程的一个解，因此问题转化为方程1||2k x x =+（*） 有三个不同的实数解.显然0k ≠，在同一个坐标系中作出函数1()2g x x =+和函数()||h x k x =（0k ≠）的图像：由图像可知，当0k <时，两个函数图像仅有一个交点；当0k >时，若()||h x k x =的图像在第二象限的部分与双曲线相交，则在第二象限内有两个交点，而在第一象限内显然总有一个交点，因此我们只要利用判别式求出相切时k 的值0k ，那么本题的答案就是0k k >. 当0k >，0x <方程即2210kx kx ++=，由2444(1)0k k k k ∆=-=-=得： 1.k = 因此k 的取值范围1k >.第5题 一道自主招生函数零点问题的2种解法函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，问：(())f f x x =是否有实数根？证明你的结论． 解法一：（没有实根问题转化为证明不等式恒成立）(())f f x x =是没有实数根．证明：因为()f x x =没有实数根，所以()f x x >，或()f x x <， 当()f x x >时，再以()f x 代x 有(())()f f x f x >，所以(())f f x x >， 当()f x x <时，再以()f x 代x 有(())()f f x f x <，所以(())f f x x <，所以(())f f x x =是没有实数根． 解法二：（用反证法）(())f f x x =是没有实数根．证明：若存在0x x =使得00(())f f x x =，令0()f x t =，则0()f t x =，即有0(,)x t 和0(,)t x 是y f x =（)的点，显然这两点关于y x =对称， 所以()y f x =与y x =必有公共点，从而()f x x =有实数解，与已知矛盾． 所以(())f f x x =是没有实数根． 规律总结：替换法是一个重要的方法。
全国各地高考数学一题多解：高考数学一题多解——山东卷 Word版含解析
山东卷1.(2017.山东文T4)已知34cosx =,则2cos x = (A)- 14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18【考点】二倍角公式及其变形【试题分析】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【答案】D【解析】法一：34cosx =，cos2x =2cos 2x -1=81. 法二：由34cosx =得27sin 16x =，2141212sin 1168cos x x =-=-=. 法三：由34cosx =得27sin 16x =，229712cos sin 16168cos x x x =-=-=. 3.(2017.山东文T11)若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2），则2a +b 的最小值为____ 【知识点】基本不等式【试题分析】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题． 【答案】82a +b =b b b +-22=b b b b b +-+=+-+-24224)2(2=)2.(24242244--+≥-+-+b b b b =8. 法三：直线过点(1,2),则,121=+b a ,22211abb a ≥+=即ab ≥8,当且仅当b=2a 时等号成立,所以2a +b ,822≥≥ab 当且仅当b=2a 时等号成立.(理科T7)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【知识点】函数单调性、基本不等式、比较大小【试题分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．法二：a >b >0，且ab =1则a >1,0<b <1,所以+>>12,a b+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a又+<22log (a b)log 当a=b =1时等号成立.<<a b 012，所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2. 法三：构造,2ln 11)(),2(log )(2x x f x x x x f -='>-= ,14ln 2ln 22ln >=>x 所以,12ln 1<x 此时0)(>'x f ， 所以f （x ）在（2，+∞）上为增函数. 所以f （x ）>f (2)=1>0,所以x >log 2x ，即2a >)(log 2log 22b a a +>，所以b +<+21log (a b)a ,<<ab012，+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2.。
一题多解专辑001——函数及其表示高考题一题多解精选重置页面无答案2
一题多解专辑001函数及其表示高考题一题多解精选(无参考解答)十八、一题多解1.(2021天津文8)(共20题的第8题 8道选择题 第8题 150分占5分)函数()2,1,2, 1.x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩设a R ∈，假设关于的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，那么a 的取值范围是( )A.[]2,2-B.2⎡⎤-⎣⎦C.2,⎡-⎣D.⎡-⎣2.(2021天津理8)(共20题的第8题 8道选择题 第8题 150分占5分)函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，假设关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，那么a 的取值范围是( )A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3.(2021江苏理10文10)(共23题 14道填空题 第10题 200分占5分)函数()21f x x mx =+-，假设对任意[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，那么实数m的取值范围是 。
4.(2021湖南理10)(共22题 10道选择题第10题 150分占5分) 函数()212xf x x e =+-()0x <与 ()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，那么a 的取值范围是( )A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.(),e -∞ C.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭5.(2021湖北文6)(共22题 10道选择题第6题 150分占5分)定义在区间[]0,2上的函数()y f x =的图象如下图，那么2y f x =--的图象为( )6.(2021重庆文7)(共21题 10道选择题第7题 150分占5分) 假设函数()()122f x x x x =+>-在x a =处取最小值，那么a =( )A.12+B.13+C.3D.47.(2021山东理9文10)(共22题 12道选择题 第9题 150分占5分) 函数2sin 2xy x =-的图象大致是( )1 2 xyO1 12 -1 xyO 1 2 -1 xyO -1 1 2 xyO 1 1 2 xyO8.(2021江苏理14文14)(共23题 14道填空题 第14题 200分占5分)将边长为1m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2S =梯形的周长梯形的面积，那么S 的最小值是 。
高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案 .
高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
高中数学一题多解经典例题解析
【典例 6】已知向量 OA (k,2) ， OB (2,3) ， OC (3k,4) ，且 A, B,C 三点共线，则 k
.
解法一：距离公式法 A, B,C 三点共线 AB BC AC 取 O 点的坐标为 (0,0) ，则 A(k,2) ， B(2,3) ， C(3k,4)
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a，b 的值，这种
方法在有些时候非要有用。
y 2x
【典例 3】若变量 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z=3x+y 的最大值是
．
y 1
解法一：解方程法
y 2x
①
将原式的不等号看成等号，得
A.
CU CU
A B
{2,3} {3}
{3}
{2,3}
CU
B
CU
A ，A
错误
B.
CU CU
A B
{2,3} {3}
CU
B
CU
A
{2,3}
{1,2,3}
U
，B
错误
C. CU B {3}, A {1} CU B A ，C 正确 D. CU A {2,3}, B {1,2} CU A B {2} ，D 错误 解法三：韦恩图法
解法一：图像平移法 f (x 2) x2 5x 7 是将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位长度得到
由 AB BC AC ，解得 k 3 . 解法二：共线向量法 A, B,C 三点共线 AB // BC // AC AB OB OA (2,3) (k,2) (2 k,1) ① BC OC OB (3k,4) (2,3) (3k 2,7) ②
高考试卷试题复习一题多解
定额市鞍钢阳光实验学校一题多解例析：如图所示，倾角为θ的直角三角形木块固定在地面上，有一个可视为质点的小球以初速度v 0从木块顶点 0沿水平方向抛出。
试求小球运动中距斜面的最远距离。
解法一：用常规分解法求解设小球从O 点抛出后经过t 时间运动到A 点时距斜面的距离最远，则小球在A 点时的速度v A 与斜面平行，如图所示。
则由图可得θtan 0⋅=v v y ①又由平抛运动的规律得gt v y =② 221gt y =③④ 由图得 θtoc y AC ⋅=θsin ⋅=AC h ⑤由①②③④⑤解得小球距斜面的最远距离为θθsin tan 220⋅⋅=gv h解法二：用解析法求解设小球从O 点抛出后经过t 时间运动到A 点时距斜面的距离最远，则小球在A 点时的速度v A 与斜面平行，如图所示。
则由图可得θtan 0⋅=v v y①又由平抛运动的规律得 gt v y = ②A 点坐标x A、y A分别为t v x A 0= ③ 221gt y A = ④ 又斜面的直线方程为 0)(tan =-x y θ ⑤则由点到直线的距离公式22b a c by ax h A A +++=得最远距离为θθsin tan 22⋅⋅=gv h解法三：用平抛、类平抛运动的特殊规律求解设小球从O 点抛出后经过t 时间运动到A 点时距斜面的距离最远，则小球在A 点时的速度v A 与斜面平行，且v A 的反向延长线必经0x 的中点，如图所示。
则由图可得θtan 0⋅=v v y ①又由平抛运动的规律得 gt v y = ② t v x 0= ③又小球距斜面的最远距离θsin 21⋅=x h ④ 由①②③④解得为θθsin tan 220⋅⋅=gvh解法四：用运动的合成与分解的知识，将小球的运动沿平行斜面方向和垂直斜面方向分解如图建立直角坐标系，将小球的初速度v 0和加速度a=g 分别沿x 、y 方向分解，小球的运动可以看成是沿x 方向的初速度为v 0x 、加速度为a x 的匀加速运动和沿y 方向的初速度为v 0y 、加速度为a y 的类竖直上抛运动的合成。
高中数学一题多解例题
1、解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒（2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于 014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x2、已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列 法一：用公式qq a s n n 一一111)(=， 因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则 6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）。
2022届高考数学一题多解思维发散训练
页2022届高考数学题型一题多解方法一：因为a log34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.方法二：因为a log34＝2，所以－a log34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝132＝19，故选B.方法三：因为a log34＝2，所以a2＝1log34＝log43，所以4a2＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝14a＝19，故选B.方法四：因为a log34＝2，所以a＝2log34＝log39log34＝log49，所以4－a＝14a＝19，故选B.方法五：令4－a＝t，两边同时取对数得log34－a＝log3t，即a log34＝－log3t＝log31 t，因为a log34＝2，所以log31t＝2，所以1t＝32＝9，所以t＝19，即4－a＝19，故选B.方法六：令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log41t.由a log34＝2，得a＝2log34＝log39log34＝log49，所以log41t＝log49，所以1t＝9，t＝19，即4－a＝19，故选B.2．已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为() A．7 B．8C．15 D．16页方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3. 已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则() A．M∪N＝{x|－3≤x<4}B．M∩N＝{x|－2≤x<4}C．(∁U M)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)D．M∩(∁U N)＝(－3，－2)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.a2＝1，解得a＝－2.故选B.方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a ＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B.5．(2020·高考天津卷)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁U B)＝()A．{－3，3}B．{0，2}C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3}页解析：选C.方法一：由题知∁U B ＝{－2，－1，1}，所以A ∩(∁U B )＝{－1，1}，故选C. 方法二：易知A ∩(∁U B )中的元素不在集合B 中，则排除选项A ，B ，D ，故选C. 6．(2021·福建省质量检测)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x －4)(x ＋2)≥0}，则∁R (A ∪B )＝( ) A ．{x |－2≤x ≤1} B ．{x |1≤x ≤4} C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <4}解析：选C.方法一：因为B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，所以A ∪B ＝{x |x ≤－2或x ≥1}， 故∁R (A ∪B )＝{x |－2<x <1}，故选C.方法二：－2∈B ，故－2∉∁R (A ∪B )，排除A ，D ；2∈A ，故2∉∁R (A ∪B )，排除B.故选C.解析：选C.方法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b，所以A ，B ，D 不一定成立，因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －aab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.方法二：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b 一定成立．故选C.8．若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：方法一：当x ＝0时，1≥0对任意的a ∈R 恒成立，当x ≠0时，因为不等式x 2＋2ax ＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以x 2＋2ax ＋1＝0在R 上无解或有两个相等的实根或x 2＋2ax ＋1＝0有两个不等的实根且两根均小于0，所以Δ＝4a 2－4≤0或⎩⎨⎧4a 2－4>0，－2a <0，解得a ≥－1.页方法二：因为x ＝0时，1≥0对任意的a ∈R 恒成立，当x ≠0时，不等式可化为－2a ≤x ＋1x (x ∈(0，＋∞))，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x 时取等号，所以易知－2a ≤2，解得a ≥－1.综上，a ≥－1. 答案：[－1，＋∞)所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)．方法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)．所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎨⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，所以a ＝14.页此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6，故选C.方法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数，又f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝6.12. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)方法一：①当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]． ②当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法二：因为f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，页故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )．此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)． 故选D.所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.方法二(单调性法)：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，所以y min ＝1.14．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．方法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.方法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 答案：1415．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________．方法一：因为f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )． 所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )． 因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数， 由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2，页故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.答案：216．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]解析：选D.方法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x＞0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x＜0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x＜0，所以－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，选D.方法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.17. 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式__________．方法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得页⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二(利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)＝－1， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用零点式)：由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 18. 已知a ＝0.30.6，b ＝0.30.5，c ＝0.40.5，则 ( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >aD ．c >b >a方法一：由指数函数y ＝0.3x 在定义域内单调递减，得a <b ，由幂函数y ＝x 0.5在定义域内单调递增，得c >b ，故选D.方法二：因为a b ＝0.365<1，且b c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫340.5<1，又a ，b ，c 都为正数，所以c >b >a ，故选D.页【答案】 D19. 已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________．方法一：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a ，又f (0)＝a ＋b ，所以函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －(a ＋b )＝a (x －0)，即y ＝ax ＋a ＋b .又该切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.方法二：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a .因为函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，f （0）＝a ＋b ＝2×0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1， 所以a －b ＝3.当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f (x )max ＝f (1)＝－e.记g (x )＝e xx －2e(x >0)，则g ′(x )＝（x －1）e x x 2，所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e. 综上，当x >0时，f (x )≤g (x )， 即f (x )≤e xx －2e ，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.方法二：由题意知，即证e x ln x －e x 2－e x ＋2e x ≤0， 从而等价于ln x －x ＋2≤e xe x .设函数g (x )＝ln x －x ＋2，则g ′(x )＝1x －1.所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0， 故g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1. 设函数h (x )＝e xe x ，则h ′(x )＝e x （x －1）e x 2.页所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0， 故h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1. 综上，当x >0时，g (x )≤h (x )，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.方法二：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan3π4＝－1. 方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1.页设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.方法二(从“名”入手，化异名为同名)：原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2β⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋12cos 2α＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12.又α，β为锐角，所以sin α＝217，cos β＝1314.页因此cos 2α＝2cos 2α－1＝17，sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32. 因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜π2， 又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2， 又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3.方法二：同方法一得，cos β＝1314，sin α＝217. 因为α，β为锐角，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝217×1314－277×3314＝2114. 所以sin(α－β)＞0，故α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎪⎫21142＝5714. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝277 ×5714－217×2114＝12. 所以2α－β＝π3.页解析：选B.方法一：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，ω>0，所以ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3，故选B.方法二：当ω＝2时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，满足题意，故排除A ，C ，D ，选B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.方法二：易知f (x )＝ 3 sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.页所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形． 方法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．28. 若将上题条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状． 方法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形． 方法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．29．已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4) D ．(1，4)解析：选A.方法一：设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.方法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A.30．(2020·长沙市四校模拟考试)如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设BA→＝a ，BC →＝b ，则BE →＝( )页方法一：如图所示，取BC 的中点F ，连接AF ，因为BC ＝2AD ， 所以AD ＝CF ，又AD ∥CF ，所以四边形ADCF 为平行四边形， 则AF ∥CD ，所以CD →＝F A →.因为DE ＝EC ，所以CE→＝12CD →＝12F A →，所以BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12F A →＝BC→＋12(BA →－BF →)＝BC →＋12(BA →－12BC →)＝12BA →＋34BC →＝12a ＋34b ，故选D. 方法二：如图，连接BD ，因为DE ＝EC .所以BE→＝12(BD →＋BC →)＝12(BA →＋AD →＋BC →)＝12(BA →＋ 12BC →＋BC →)＝12BA →＋34BC →＝12a ＋34b ，故选D.31．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN→，则λ＋μ＝________．解析：方法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1)．因为AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.方法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85. 答案：85方法一：由已知得|CA→|＝|CB →|＝2，CA →·CB →＝0，AP →＝13(CB →－CA →)，所以CP → ·CA →＋CP → ·CB →＝(CA →＋AP → )·CA →＋(CA →＋AP → )·CB →＝|CA → |2＋AP → ·CA →＋CA → ·CB →＋AP → ·CB →＝|CA → |2＋13 (CB →－CA → )·(CB →＋CA → )＝|CA → |2＋13 |CB → |2－13 |CA → |2＝22＋13 ×22－13 ×22＝4. 方法二：由已知，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (0，0)，A (2，0)，B (0，2)，设P (x ，y )．因为BP ＝2P A ，所以BP →＝2P A →，所以(x ，y －2)＝2(2－x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y ＝23，所以CP→·CA →＋CP →·CB →＝(43，23)·(2，0)＋(43，23)·(0，2)＝4.故选D.33．已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE →＝BC →，设向量AE →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________．方法一：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，则|AE →|＝5，|BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.方法二：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0，0)，B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，所以AE→＝(2，1)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.答案：－1010页＝（2－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－2－5i5＝－i ，选D.方法二：利用i 2＝－1进行替换，则2－i 1＋2i ＝－2×（－1）－i 1＋2i ＝－2i 2－i 1＋2i ＝－i （1＋2i ）1＋2i ＝－i ，选D.方法一：因为(1＋i)z ＝|1－i|，所以z ＝|1－i|1＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）2＝22－22i ，故选C.方法二：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为(1＋i)z ＝|1－i|，所以a －b ＋(a ＋b )i ＝2，所以⎩⎨⎧a －b ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝－22.所以z ＝22－22i ，故选C.＝10－5i2－i＝5，故选A.＝（2＋i ）2（3－4i ）（2＋i ）（2－i ）＝（3＋4i ）（3－4i ）5＝5，故选A.页方法一：设z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则由|z 1|＝|z 2|＝2，得x 21＋y 21＝x 22＋y 22＝4.因为z 1＋z 2＝x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)i ＝3＋i ，所以|z 1＋z 2|2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＋2x 1x 2＋2y 1y 2＝8＋2x 1x 2＋2y 1y 2＝(3)2＋12＝4， 所以2x 1x 2＋2y 1y 2＝－4，所以|z 1－z 2|＝|x 1－x 2＋(y 1－y 2)i|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22－2x 1x 2－2y 1y 2＝8＋4＝2 3.方法二：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝3－a ＋(1－b )i ，则⎩⎨⎧|z 1|2＝a 2＋b 2＝4，|z 2|2＝（3－a ）2＋（1－b ）2＝4，即⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，3a ＋b ＝2，所以|z 1－z 2|2＝(2a － 3 )2＋(2b －1)2＝4(a 2＋b 2)－4(3a ＋b )＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z 1－z 2|＝2 3. 方法三：题设可等价转化为向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a ＋b ＝(3，1)，求|a －b |.因为(a ＋b )2＋(a －b )2＝2|a |2＋2|b |2，所以4＋(a －b )2＝16，所以|a －b |＝23，即|z 1－z 2|＝2 3.方法四：设z 1＋z 2＝z ＝3＋i ，则z 在复平面上对应的点为P (3，1)，所以|z 1＋z 2|＝|z |＝2，由平行四边形法则知OAPB 是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z 1－z 2|＝2×32×2＝2 3. 答案：2338．(2020·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝____________．方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＋a 6＝2，得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－4＋6d ＝2，解得d ＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＋a 6＝2a 4＝2，所以a 4＝1，所以d ＝a 4－a 14－1＝1－（－2）3＝1，所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25. 答案：25页因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ； 选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.40. (2020·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8方法一：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8＞0，a 9＜0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D.方法二：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，页解得⎩⎨⎧a 1＝15，d ＝－2，则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D. 【答案】 D41．(2020·高考全国卷Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( ) A ．12 B ．24 C ．30 D ．32【解析】 选D.方法一：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝（a 1＋a 2＋a 3）qa 1＋a 2＋a 3＝q ＝2，由a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(1＋2＋22)＝1，解得a 1＝17，所以a 6＋a 7＋a 8＝a 1(q 5＋q 6＋q 7)＝17×(25＋26＋27)＝17×25×(1＋2＋22)＝32，故选D.方法二：令b n ＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2(n ∈N *)，则b n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3.设数列{a n }的公比为q ，则b n ＋1b n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝（a n ＋a n ＋1＋a n ＋2）qa n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝q ，所以数列{b n }为等比数列，由题意知b 1＝1，b 2＝2，所以等比数列{b n }的公比q ＝2，所以b n ＝2n－1，所以b 6＝a 6＋a 7＋a 8＝25＝32，故选D.又b 1＝a 1＝2，所以{b n }是以2为首项，以2为公差的等差数列． 所以b n ＝2＋2(n －1)＝2n .方法二：因为b n ＝a nn ，所以a n ＝nb n ， 又na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，所以n (n ＋1)b n ＋1－(n ＋1)nb n ＝2n (n ＋1)，即b n ＋1－b n ＝2，页又b 1＝a 1＝2，所以{b n }是以2为首项，以2为公差的等差数列． 所以b n ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)及题设得，c n ＝22n －n ＝4n －n ，所以数列{c n }的前n 项和S n ＝(41－1)＋(42－2)＋…＋(4n －n ) ＝(41＋42＋…＋4n )－(1＋2＋…＋n ) ＝4－4n ×41－4－n （1＋n ）2＝4n ＋13－n 2＋n 2－43.43. (2020·贵阳市四校联考)中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是( )A ．丙分34文，丁分31文B ．丙分37文，丁分40文C ．丙分40文，丁分37文D ．丙分31文，丁分34文方法一：设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，且成等差数列，设公差为d ，根据题意可得⎩⎨⎧a 1＋a 2＝77，a 5＋a 6＋a 7＝75，即⎩⎨⎧a 1＋a 1＋d ＝77，a 1＋4d ＋a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝75，解得⎩⎨⎧a 1＝40，d ＝－3，所以丙分得a 3＝a 1＋2d ＝34(文)，丁分得a 4＝a 1＋3d ＝31(文)，故选A. 方法二：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a －3d ，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d ，则⎩⎨⎧a －3d ＋a －2d ＝77，a ＋d ＋a ＋2d ＋a ＋3d ＝75，解得⎩⎨⎧a ＝31，d ＝－3，所以丙分得a －d ＝34(文)，丁分得a ＝31(文)，故选A.44. 在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( )页A ．1B ．2C ．3D ．5方法一：因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a 1＋a 3)·(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝（a 5＋a 7）2a 1＋a 3＝428＝2.同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项， 所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)， 故a 13＋a 15＝（a 9＋a 11）2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 方法二：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 5＝a 1q 4，a 7＝a 3q 4，所以q 4＝a 5＋a 7a 1＋a 3＝48＝12.又a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，a 13＋a 15＝a 1q 12＋a 3q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.45．(2020·开封市定位考试)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选C.方法一：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0， 所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C.方法二：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 2q ＋4a 2q ＋4a 2＝0，因为a 2≠0，所以q ＋4q ＋4＝0，即(q ＋2)2＝0，所以q ＝－2，故选C.46. 如图，四边形ABCD 为矩形，ED ⊥平面ABCD ，AF ∥ED .求证：BF ∥平面CDE .【证明】方法一：如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF，因为AF∥DN且AF＝DN，所以四边形ADNF为平行四边形，所以AD∥FN且AD＝FN，又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC，所以FN∥BC且FN＝BC，所以四边形BCNF为平行四边形，所以BF∥NC，因为BF⊄平面CDE，NC⊂平面CDE，所以BF∥平面CDE.方法二：因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE；又AF∥ED，因为AF⊄平面CDE，ED⊂平面CDE，所以AF∥平面CDE；因为AF∩AB＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，所以平面ABF∥平面CDE，又BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE.47．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．方法一：如图，建立空间直角坐标系D xyz ，则D 1(0，0，2)，E (1，2，0)， ED 1→＝(－1，－2，2)． 设P (x ，y ，z )，EP →＝λED 1→，λ∈[0，1]， 则EP→＝(x －1，y －2，z )． 所以(x －1，y －2，z )＝λ(－1，－2，2)． 解得x ＝1－λ，y ＝2－2λ，z ＝2λ. 所以P (1－λ，2－2λ，2λ)，设点P 在直线CC 1上的垂足为Q ，得Q (0，2，2λ)， |PQ→|＝（λ－1）2＋4λ2＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－152＋45. 当λ＝15时，|PQ →|min＝255. 方法二：取B 1C 1的中点E 1，连接D 1E 1，E 1E ， 则CC 1∥平面D 1EE 1.所以点P 到直线CC 1的距离的最小值即为CC 1与平面D 1EE 1的距离．过点C 1作C 1F ⊥D 1E 1于F ，线段C 1F 的长即为所求．在直角三角形C 1D 1E 1中，C 1F ＝255. 答案：25548. 已知直线l 过点M (2，1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．页方法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋（－4k ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立． 故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二：设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2，1)， 所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b ≥22ab ，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 为x 4＋y2＝1， 即x ＋2y －4＝0.所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝21＋k 2|k |＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－k ）＋1（－k ） ≥4. 当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 方法二：由本例3的解析知A (a ，0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1. 所以|MA |·|MB |＝|MA→|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.50．直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________．方法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，页即|3k －1|＝|－3k －3|，所以k ＝－13，所以直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)， 即x ＋3y －5＝0；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1， 也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.方法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)， 即x ＋3y －5＝0；当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1，4)，所以直线l 的方程为x ＝－1，故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－151．(2021·岳阳模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 解析：选D.方法一：设所求直线上任一点为(x ，y )，则它关于x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，所以2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.方法二：根据直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D ，再根据两直线交点在直线x ＝1上知选D.所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 方法二：设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知：P (0，2)， 将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0. 方法三：设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.53．(2021·南充市第一次适应性考试)若过点A (4，0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1页方法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，联立得⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，y ＝k （x －4），则(x －2)2＋k 2(x －4)2＝1，得(k 2＋1)x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＋3＝0， 根据题意知Δ＝(8k 2＋4)2－4(k 2＋1)(16k 2＋3)≥0⇒－33≤k ≤33.方法二：设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，直线l 与圆有公共点，则圆心(2，0)到直线l ：kx －y －4k ＝0的距离d ＝|2k －0－4k |k 2＋1＝|2k |k 2＋1≤1⇒4k 2≤k 2＋1⇒3k 2≤1⇒－33≤k ≤33.由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2， 解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2，可得b 2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 方法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入，可得（－5）225－k ＋（3）29－k＝1，页解得k ＝5或k ＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋3b 2＝1，a 2－b 2＝16，解得⎩⎨⎧a 2＝20，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法一：直线方程y ＝2x －1过点(1，1)，而(1，1)在椭圆内部，故选A. 方法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 29＋y 24＝1，得10y 2＋2y －35＝0，Δ＝22－4×10×(－35)＝1 404>0，所以直线y ＝2x －1与椭圆x 29＋y 24＝1相交．所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.方法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，页所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝157. 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 方法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2 上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.方法二：由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，所以抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43. 【答案】 43页 当直线l 的方程为x ＝233时，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－233， 则OA →·OB →＝43－43＝0.当直线l 的方程为x ＝－233时，不妨设 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－233， 则OA→·OB →＝43－43＝0， 综上，OA ⊥OB .所以△AOB 为直角三角形．②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为直线l 与圆O 相切，所以233＝|m |k 2＋1，即3m 2－4k 2－4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，所以Δ＝16k 2m 2－8(1＋2k 2)(m 2－2)＝8(4k 2－m 2＋2)＝163(4k 2＋1)>0， 且x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－41＋2k 2.所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2页＝（1＋k 2）（2m 2－4）－4k 2m 2＋m 2（1＋2k 2）1＋2k 2＝3m 2－4k 2－41＋2k 2＝0，所以OA ⊥OB .综上所述，OA ⊥OB .所以△AOB 为直角三角形． 方法二：①当直线l 的方程为y ＝233时，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，233，则OA →·OB →＝ －43＋43＝0，所以OA ⊥OB .所以△AOB 为直角三角形．②当直线l 的方程为y ＝－233时，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－233，所以OA→·OB →＝－43＋43＝0，所以OA ⊥OB ，所以△AOB 为直角三角形．③当直线l 不与x 轴平行时，设其方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为直线l 与圆O 相切，所以233＝|m |t 2＋1，即3m 2－4t 2－4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，x 24＋y 22＝1，得(t 2＋2)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0.所以Δ＝4t 2m 2－4(t 2＋2)(m 2－4)＝8(2t 2－m 2＋4)＝ 163(t 2＋4)>0，且y 1＋y 2＝－2tmt 2＋2，y 1y 2＝m 2－4t 2＋2.OA →·OB →＝y 1y 2＋x 1x 2＝y 1y 2＋(ty 1＋m )(ty 2＋m ) ＝(1＋t 2)y 1y 2＋tm (y 1＋y 2)＋m 2＝（1＋t 2）（m 2－4）－2t 2m 2＋m 2（t 2＋2）t 2＋2页＝3m 2－4t 2－4t 2＋2＝0，所以OA ⊥OB ，所以△AOB 为直角三角形．综上所述，△AOB 为直角三角形．设直线l ：y ＝kx ＋m .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.依题意得Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即3＋4k 2＝m 2.设x 1，x 2为方程(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2， 所以x 1＝x 2＝－4km3＋4k 2.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . 又Q (4，4k ＋m )，设R (t ，0)为以PQ 为直径的圆上一点， 则由RP→·RQ →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km －t ，3m ·(4－t ，4k ＋m )＝0. 整理，得4km (t －1)＋t 2－4t ＋3＝0.由km 的任意性，得t －1＝0且t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1. 综上可知以PQ 为直径的圆过x 轴上一定点(1，0)．方法二：设P (x 0，y 0)，则曲线C 在点P 处的切线PQ ：x 0x 4＋y 0y3＝1.页令x ＝4，得Q ⎝⎛⎭⎪⎫4，3－3x 0y 0. 设R (t ，0)为以PQ 为直径的圆上一点， 则由RP→·RQ →＝0，得(x 0－t )·(4－t )＋3－3x 0＝0， 即x 0(1－t )＋t 2－4t ＋3＝0.由x 0的任意性，得1－t ＝0且t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1. 综上可知，以PQ 为直径的圆过x 轴上一定点(1，0)．60．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．256种B ．128种C ．72种D ．64种 解析：选C.方法一：首先涂A 有4种涂法，则涂B 有3种涂法，C 与A ，B 相邻，则C 有2种涂法，D 只与C 相邻，则D 有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法． 方法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A 有4种涂法，B 有3种涂法，C 有2种涂法，D 有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用3种颜色，这时A ，B ，C 的涂法有4×3×2＝24种，D 只要不与C 同色即可，故D 有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．61．在100件产品中，有2件次品，从中任取3件，其中“至少有1件次品”的取法有________种．方法一：第1类，“只有1件次品”，共有C 12C 298种；第2类，“有2件次品”，共有C 22C 198种，由分类加法计数原理知共有C 12C 298＋C 22C 198＝9 604(种)．方法二：无任何限制共有C 3100种，其中“没有次品”共有C 398种，则“至少有1件次品”共有C 3100－C 398＝9 604(种)．答案：9 60462. 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．页(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．【解】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)方法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．方法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．63. (2020·广州市阶段训练)(3x2－2x－1)5的展开式中，x2的系数是________．(用数字填写答案)方法一：因为(3x2－2x－1)5＝[(3x2－2x)－1]5展开式的通项公式为T r＋1＝C r5(3x2－2x)5－r·(－1)r，当r＝0或r＝1或r＝2时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中无x2项；当r＝3时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中x2的系数为4；当r＝4时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中x2的系数为3；当r＝5时，二项式(3x2－2x)5－r的展开式中无x2项．所以所求展开式中x2的系数为4×C35×(－1)3＋3×C45×(－1)4＝－25.方法二：(3x2－2x－1)5＝(3x＋1)5(x－1)5，(3x＋1)5的展开式中常数项为1，x的系数为3C45＝15，x2的系数为9C35＝90，(x－1)5的展开式中常数项为－1，x的系数为C45×(－1)4＝5，x2的系数为C35×(－1)3＝－10，所以(3x2－2x－1)5的展开式中，x2的系数为1×(－10)＋15×5＋90×(－1)＝－25.页方法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －26＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 12，所以其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 12(x )12－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝C r 12(－1)r (x )12－2r ＝C r 12(－1)r x 6－r，由6－r ＝3得r ＝3，所以含x 3项的系数为C 312(－1)3＝－220.方法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －26＝（x 2－2x ＋1）6x 6＝（x －1）12x 6，要求其展开式中含x 3项的系数即求(x －1)12的展开式中含x 9项的系数，为C 312(－1)3＝－220.答案：－22065. 已知射手甲射击一次，命中9环(含9环)以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12. 求甲射击一次，至少命中7环的概率． 【解析】 记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ， 则P (A )＝1－0.56－0.22－0.12＝0.1，“甲射击一次，命中7环”为事件B ，则P (B )＝0.12， 由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生， 故A 与B 是互斥事件，方法一：记“甲射击一次，命中8环”为事件C ，“甲射击一次，命中9环(含9环)以上”为事件D ，由于一次射击命中，A ，B ，C ，D 不可能同时发生，故A ，B ，C ，D 是互斥事件， 则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B ＋C ＋D ， 所以P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.12＋0.22＋0.56＝0.9. 所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9. 方法二：因为“甲射击一次，至少命中7环”为事件A ， 所以P (A －)＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.所以甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9.。
高中数学一题多解经典题型汇编(精品)
高中数学一题多解经典题型汇编解法一：运算法A.()()A C B C B C A C A C U U U B U ⊆⇒= ，A 错误B.U A A C U = 或U B B C U = ，B 错误C.A B A B A =⇒⊆ ，又φφ=⇒=A B C B B C U U ，C 正确D.A B A B A =⇒⊆ φ≠⇒B A C U ，D 错误解法二：特殊值法由题意，不妨设}1{},2,1{},3,2,1{===A B U ，则A.()()A C B C B C A C U U U U ⊆⇒⊆⇒⎩⎨⎧==}3,2{}3{}3{}3,2{，A 错误B.()()U A C B C B C A C U U UU =≠=⇒⎩⎨⎧==}3,2,1{}3,2{}3{}3,2{ ，B 错误 C.φ=⇒==A B C A B C U U }1{},3{，C 正确D.φ≠=⇒==}2{}2,1{},3,2{B A C B A C U U ，D 错误解法三：韦恩图法如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误.◆◇方法解读◇◆解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。
解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简单。
解法三：韦恩图更加地形象直观，能够快速、准确的作出判断，此法它利用了数形结合的思想。
【典例2】已知i z i 23)1(+=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对于的点位于第 象限. 解法一：复数的四则运算法 i i i i i i i i z i z i 2232232)23()23()1)(1()1)(23(12323)1(++-=++-=+-++=-+=⇒+=- i z 223223+--=∴⇒第四象限. 解法二：利用相等复数法（待定系数法）设复数bi a z +=，则bi a z -=i i b a b a i bi a i i z i 23)()(23))(1(23)1(+=+--⇒+=--⇒+=-∴⇒+--=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒i bi a z b a b a b a 2232232232232)(3第四象限. ◆◇方法解读◇◆解法一：先通过解方程得出复数z 的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。
第14讲 立体几何知多少(含解析)-【高中数学】一题多解拔尖训练
一题多解第14讲立体几何知多少，位置关系空间角典型例题【例1】如图141 ,在矩形ABCD 中,E 为边AB 的中点,将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ,若M 为线段1A C 的中点,则在ADE 的翻转过程中,正确的命题是________.(1)BM 是定值;(2)点M 在球面上运动;(3)一定存在某个位置,使1DE A C ;(4)一定存在某个位置,使MB ∥平面1A DE .【例2】如图145 ,在Rt ABC中,4,3,,2AB AC A ,AP mPB AQ nQC (,0)m n ,且满足111,2M m n 是BC 的中点,对任意的,QP QM R 的最小值记为 f m ,则对任意的0,m f m 的最大值为________.【例3】如图147 ,在四棱锥P ABCD 中,E 为AD 上一点,PE 平面,,,2,ABCD AD BC AD CD BC ED AE F ∥为PC 上一点,且2CF FP (I)求证:PA ∥平面;BEF (证明略)(II)若PE ,求二面角F BE C 的平面角的大小.【例4】已知,a b 是异面直线,,,,,,A B a C D b AC b BD b ,且2,1AB CD ,则异面直线,a b 所成的角等于________.【例5】已知三棱锥P ABC 满足60APB BPC CPA ,三个侧面,,APB BPC CPA 的面积分别为,2,12,则这个三棱锥的体积是________.【例6】已知在四棱柱1111ABCD A B C D 中,侧棱1AA 底面1,2ABCD AA ,底面ABCD 的边长均大于2,且45DAB,点P 在底面ABCD 内运动且在,AB AD 上的射影分别为,M N ,若2PA ,则三棱锥1P D MN 体积的最大值为________.强化训练1.在四棱锥S ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,,M N 分别是,SA BD 上的点.有下列命题：(1)若SM DN MA NB,则MN ∥平面SCD ;(2)若SM DN MA NB ,则MN ∥平面SCB ;(3)若平面SDA 平面ABCD ,且平面SDB 平面ABCD ,则SD 平面ABCD .其中正确命题的序号为________.2.如图1426 ,在四棱锥P ABCD 中,E 为AD 上一点,PE 平面,ABCD //,AD BC AD ,CD 22,BC ED AE 3,EB F 为PC 上一点,且2CF FP .(I)求证://PA 平面BEF ;(II)若二面角F BE C 的平面角的大小为60,求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小.3.如图1427 ,在三棱锥A BCD 中,3,2,AB AC BD CD AD BC M 是AD的中点,则异面直线,CM AB 所成角的大小为________.4.已知三棱锥P ABC 的体积为16,点,D E 分别在侧棱,PB PC 上,且2,PD DB 3PE EC ,则三棱锥P ADE 的体积为________.5.过凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ,使SO 3 ,若22,S AOD S BOC V a V b ,当S ABCD V 最小时,ABCD 的形状为________.一题多解第14讲立体几何知多少，位置关系空间角典型例题【例1】如图141 ,在矩形ABCD 中,E 为边AB 的中点,将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ,若M 为线段1A C 的中点,则在ADE 的翻转过程中,正确的命题是________.(1)BM 是定值;(2)点M 在球面上运动;(3)一定存在某个位置,使1DE A C ;(4)一定存在某个位置,使MB ∥平面1A DE .【解析】【解法1】设CD 中点为S ,则111=2MS A D MS A D ,∥,且MS 为定值,又因为,,DS BE DS BE ∥,所以四边形DSBE 是平行四边形,所以BS DE ∥且BS 为定值.由余弦定理可得2222212cos 2cos MB MS SB MS SB MSB MS SB MS SB A DE ,所以MB 是定值,(1)正确.因为B 是定点,所以点M 是在以B 为圆心,MB 为半径的球面上,所以(2)正确.若当DE EC 时,如图14-2:1110DE A C DE A E EC DE A E DE EC ,(3)错误因为1,SB DE MS A D ∥∥,又因为1,SB SM S DE A D D ∩∩,所以平面MSB ∥平面1A ED ,所以MB ∥平面1A ED ,(4)正确.【点拨】利用向量数量积判定线线的垂直关系.【解法2】如图 143,1 正确,由余弦定理可知MB 为定值,同【解法1】;(2)正确,同【解法1】；(3)错误,若2AB AD ,则DE EC .若1DE A C ,又因为1A C 在平面ABCD 的射影在AC 上,所以.DE AC 由题意知AC 与DE 不垂直,所以(3)不正确.(4)正确,取DC 中点F ,则11,,,FB DE MF A D FB MF F A D DE D ∩∩∥∥,所以平面//MFB 平面1A ED ,所以MB ∥平面1A ED .【点拨】先利用假设反证法证明不垂直再利用面面平行证明线段平行.【解法3】如图144 ,(1)正确,延长DE 交CB 的延长线于点N ,连结,AN DAN 绕着DN旋转,因为1A N 为定值,所以MB 为定值;(2)正确,点M 在以B 为圆心,MB 为半径的球面上运动;(3)错误,同【解法2】;(4)正确,取EC 中点P ,可以类似【解法2】证明平面MPB ∥平面1A ND ,所以MB ∥平面1.A ED 【点拨】从不同角度构造辅助线.【赏析】本题涉及立体几何的考点比较多,如线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直.熟练掌握线面、面面平行及垂直的判定和性质定理、线面角、二面角的定义及求法是解立体几何题的关键.【例2】如图145 ,在Rt ABC中,4,3,,2AB AC A ,AP mPB AQ nQC (,0)m n ,且满足111,2M m n 是BC 的中点,对任意的,QP QM R 的最小值记为 f m ,则对任意的0,m f m 的最大值为________.【解析】【解法1】设 ,0,0,P a Q b ,以A 为坐标原点,,AB AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图146 所示的平面直角坐标系.则 4,,3,a m a AP mPB b n b AQ nQC因为1112m n ,所以4312a b a b ,所以86551a b,所以直线PQ 过点86,55N ,结合向量模长的几何意义可知QP QM 可等价视为点0430,22M ,即32,2M与直线PQ 上点连线的距离,所以最大值 f m 就是点M 到直线PQ 的距离的最大值,当MN PQ 时,M 到直线PQ 距离最大.所以max 1()2f m MN.【点拨】依据题意建立平面直角坐标系,使向量坐标化,从而实现数量化运算.【解法2】由,AP mPB AQ nQC 可知1111AP AB m AQ AC n,取点N 使得45AN AM ,所以2121211555AP AQ AB AC AN m n ,因为21212111215552m n,所以,,P Q N 三点共线,下同【解法1】,可知max 11()52f m MN AM .【点拨】利用向量运算,添加必要的辅助线实现向量的转化.【赏析】本题考查向量坐标形式的运算及点到直线距离公式,【解法1】利用向量坐标运算,【解法2】添加必要的辅助线实现向量的转化,【解法1】是常用的基本方法,易上手好操作.【解法2】巧妙构造,要求对重要结论熟练掌握并能灵活运用.【例3】如图147 ,在四棱锥P ABCD 中,E 为AD 上一点,PE 平面,,,2,ABCD AD BC AD CD BC ED AE F ∥为PC 上一点,且2CF FP (I)求证:PA ∥平面;BEF (证明略)(II)若PE ,求二面角F BE C 的平面角的大小.【解析】【解法1】连结CE ,在平面PCE 内,过点F 作FH CE 于点H .因为FH PE ∥,所以FH 平面ABCD .过点H 作HM BE 于点M ,连结FM .由三垂线定理得FM BE ,所以FMH 为二面角F BE C 的平面角.因为FH 平面ABCD ,PE 平面ABCD ,所以FH PE ∥,所以23FH CF PE CP ,所以22333FH PE AE ,同理1233MH BC AE ，所以在Rt FHM 中,tan 3FH FMH HM所以3FMH ,即二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直,当点F 在一个半平面上时,通常用三垂线定理法求二面角的大小.【解法2】排除多余信息,若我们只考虑二面角F BE C ,我们很快发现,直四棱锥P EBCD 可以补成长方体,如图149所示.连结EC ,在平面PEC 内,过点F 作FO EC 于点O ,过点O 作OM BE 于点M ,连结FM ,如图1410 .因为PE 平面EBCD ,PE 平面PEC ,所以平面PEC 平面EBCD ,且平面PEC 平面EBCD EC .因为FO 平面,PEC FO ED ,所以FO 平面EBCD ,所以FMO 是二面角F BE C 的平面角,设AE a,则2,(0)ED a PE a,因为PE 平面ACD ,FO 平面ACD ,所以PE FO ∥,所以23FO CO CF PE CE CP ,所以233FO a ,又因为OM BC ∥,所以13OM EO BC CE ,得23OM a ,所以3tan 23FO FMO OM a 所以3FMH ,所以二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】利用图形的特征,采用补形方法解决问题.【解法3】如图1411 ,连结CE ,在平面PCE 内过点F 作FH CE 于点H .因为PE 平面ABCD ,CE 平面ABCD ,所以FH PE ∥,所以FH 平面ABCD .过点H 作HM BE 于点M ,连结FM .由三垂线定理得FMBE ,所以FMH 为二面角F BE C 的平面角.设(0)AE a a ,则2,BC ED a PE ,所以24,.33MH a FM a (同【解法2】)由射影面积法得Δ112cos ,1232HEB FEBBE MH S FMH FMH S BE FM 所以二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】利用射影面积法求解.【解法4】延展平面BEF 为平面BEMF ,如图1412 所示,则平面BEF ∩平面PAD EM ,在平面PAD 中,作MO 平面ABCD 于点O ,如图1413.因为PE 平面ABCD ,所以MO PE ∥,所以MO 与PE 共面,因为M 平面PAD ,所以.O AD 则OE BE ,由三垂线定理知MEBE ,所以MEO 是所求二面角的平面角.由（I )可知//ME PA ,所以2DM DE MP EA,又因为MO PE ∥,所以23MO DO DM PE ED PD ,不妨设(0)AE a a ,则2,ED a PE,因此得2,,tan 3a MO MO OE MEO OE 3MEO ,所以二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】延展平面BEF 为平面BEMF ,将过点F 作平面EBCD 垂线的间题转化为过点M 作平面EBCD 垂线的问题.如图1414 ,延长CB 至点M ,使得2MB BC ,所以,,MB BC AE MB AE MB AE ED∥,所以AEMB 是平行四边形.因为,AM EB AM ∥平面EFB ,EB 平面EFB ,所以AM ∥平面EFB .由 I 得PA ∥平面,EFB AM PA A ,所以平面PAM ∥平面FEB ,则二面角P AM C 的平面角即为二面角F EB C 的平面角,因为PE 平面,EBCD EA AM ,所以PAE 是二面角P AM C 的平面角.不妨设(0)AE a a ,由三垂线定理得PA AM ,则,tan PE PE PAE AE.所以二面角P AM C 的平面角是3,即二面角F EB C 的平面角是3.【点拨】寻找二面角的平面角较困难,根据平面平移不改变与另一个平面构成的角的大小的原理,如果能把二面角中的一个平面平移,找出辅助平面与另一个平面的交线,就可以作出二面角的平面角.【解法6】以E 为坐标原点,分别以,,EA EB EP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图14-15所示的空间直角坐标系.不妨设(0),EA a a EB b ,则22,BC ED AE a PE易知0,0,0,,0,,0E P B b ,设平面ABCD 的法向量 1111,,n x y z ,因为2CF FP所以 223223,,,,,,0,,0,333333b b F a a EF a a EB b因为2200EF EB n n,即222220,3330,b ax y az by 令21z,则2x ,可得平面EBF的一个法向量2 n .设二面角F BE C 的平面角为 ,所以12121211cos cos ,22 n n n n n n ,所以3.所以二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】设12,n n 分别是二面角l 的面, 的法向量,则向量12,n n 的夹角,即为l 的平面角或其补角（需要根据具体情况判断相等或互补).【赏析】本题主要考查与二面角有关的立体几何综合知识.推荐【解法5】为最佳解答.求二面角的平面角的常用方法有定义法、三垂线定理法、射影面积法、平移平面法、补形法、空间向量的坐标法等,以下对各个解法进行分析.【解法1】应用三垂线定理法解题.联系到PE 平面ABCD ,有的同学大胆猜想(像一个魔术师,下子从帽子里变出一只兔子),得出了正确的结论;相应地,还有很大一部分同学被复杂的空间图形吓退,找不到二面角的确切位置,无从下手.【解法2】应用构造补形法解题,联系到长方体,比【解法1】更易得出.FO EBCD 平面【解法3】应用射影面积法解题,联系到点F 在底面EBCD 的射影,依据射影公式求二面角.【解法4】应用垂线平移法解题,联系【解法3】,过F 点作垂线,那么垂足落在哪里?有很多同学是含糊不清、模棱两可的,那么我们为什么不换一个点呢?将过点F 作平面EBCD 垂线的问题转化为过点M 作平面EBCD 垂线的问题.【解法5】应用平面平移法解题,将求二面角F BE C 的平面角的问题转化为求二面角P AM C 的平面角的问题.【解法6】应用空间向量求解法,是一种十分简捷且传统的解法.当题目条件中垂直关系明显时,利用空间坐标系不失为一种更有效的方法.【例4】已知,a b 是异面直线,,,,,,A B a C D b AC b BD b ,且2,1AB CD ,则异面直线,a b 所成的角等于________.【解析】【解法1】如图1416 ,在长方体中,因为//BE CD ,所以ABE 就是异面直线,a b 所成的角,又因为,,,,A B a C D b BD b ,所以,,CE b AC b AC CE C ,所以b 平面ACE ,所以b AE ,所以BE AE ,所以ABE 是直角三角形.又因为2,1AB CD ,所以1BE ,所以1cos 2BE ABE AB ,所以60.ABE 【点拨】构造长方体求解.【解法2】如图1417 所示,过点A 作AE CD ∥,=AE CD ,连结BE ,则EAB 是异面直线,a b 所成的角,由题意知ACDE 是矩形,所以,AE DE AE BD ,因为DE BD D ,所以AE平面BED ,所以AE BE .所以ABE 是直角三角形,又因为2,1AB CD ,所以1cos 2EAB ,所以60EAB.【点拨】利用平移法把异面直线平移为相交直线.【解法3】以A 为坐标原点,分别以,,AC AE CD 方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立如图1418 所示的空间直角坐标系,所以 0,0,0,,0,0,0A C a a ,则,0,1,D a B ,所以,0,0,1AB CD ,所以1cos 2AB CD AB CD 又因为 0,90,所以异面直线,a b 所成的角为60.【点拨】在构造长方体的基础上建立空间直角坐标系解决问题.【赏析】本题是一道典型的异面直线成角间题,与常见问题不同的是,本题中的异面直线不是直接出现在立体几何图形中.【解法1】和【解法3】都是将两条异面直线放置在长方体中求解.【解法1】将直线CD 平移到BE 处,从而易解.【解法3】则借助空间向量的方法求解.【解法2】利用异面直线所成角的概念,将CD 平移至AE 处后,在Rt BAE 中求解.在求两条异面直线所成角的大小时,要注意异面直线所成角的范围是0,2.利用中位线或平行四边形来添加辅助线的方法,有时也可对空间图形使用.【例5】已知三棱锥P ABC 满足60APB BPC CPA ,三个侧面,,APB BPC CPA 的面积分别为3,2,12,则这个三棱锥的体积是________.【解析】【解法1】由各侧面的面积可得13sin6022APB S PA PB ,所以2PA PB ,同理8343,33PB PC PA PC ，所以833PA PB PC ,构造三棱锥P A B C ,使得60A PB A PC B PC ,2,PA PB PC 所以13P A B C V ，因为P ABC P A B C V PA PB PC V PA PB PC，所以269P ABC P A B C PA PB PC V V PA PB PC【点拨】由三角形面积公式求得三棱锥的侧棱长,构造一个特殊的三棱锥,利用体积关系解决问题.【解法2】由题意得1sin60242APB S PA PB PA PB (1)，1sin60224BPC S PC PB PB PC (2)13sin60124CAP S PA PC PA PC (3)由(1)(2)(3)联立解得431,2,3PA PB PC.如图1420 ,过点B 作BD 平面APC 于点D ,作DE PA 于点E ,连结BE ,易证AP 平面BDE ,所以AP BE ,在Rt BPE 中,2,60PB BPA,所以1PE .因为60APB APC BPC,所以点D 在APC 的平分线上,即30APD CPD,所以在Rt PDE 中,易得233PD ,同理,3BD ,所以111114332626sin601332323239P ABC APC V S BD PA PC BD .【点拨】求出三条棱长,过某一顶点作高,直接法求解体积.【解法3】设,,PA PB PC 的长度分别为,,a b c ,同【解法2】,则易得431,2,3a b c .如图1421 ,设点A 在平面BPC 上的射影为点O ,因为60APB APC BPC,所以30BPO CPO,所以3cos 3 ,所以26sin 1cos 3,所以点A 到平面PBC 的距离6sin 3AO PA,所以11161626sin602.3323339P ABC PBC V S AO PB PB 【点拨】作出点A 在平面PBC 上的投影,利用三余弦定理解题.注:三余弦定理证明:如图14-22,在三棱锥A BCD 中,AO 平面BCD ,过点O 作OE BC 交BC 于点E ,连结AE ,易得BC 平面AOE ,所以BEAE .在Rt AOB 中,cos OB ABO AB ,在Rt ABE 中,cos BE ABE AB,在Rt BOE 中,cos BE OBE BO,所以cos cos cos BE OB BE OBE ABO ABE BO AB AB,所以cos cos cos .ABE OBE ABO 【赏析】【解法1】巧妙地补形成一个特殊的三棱锥,利用一个平面 截三棱锥P ABC ,分别交三棱锥的棱,,PA PB PC 于点,,D E F ,则.P ABC P DEF V PA PB PC V PD PE PF解法23、实质相同,都是求底面和高,【解法3】利用三余弦定理求出三棱锥的高.【例6】已知在四棱柱1111ABCD A B C D 中,侧棱1AA 底面1,2ABCD AA ,底面ABCD 的边长均大于2,且45DAB,点P 在底面ABCD 内运动且在,AB AD 上的射影分别为,M N ,若2PA ,则三棱锥1P D MN 体积的最大值为________.【解析】【解法1】如图1423 ,设AP ,0,45N ,所以sin 2sin ,sin 452sin 45PN PA PM PA ,所以1sin135sin 45,2PMN S PM PN111212sin 45sin 245333P D MN D PMN V V ,所以当22.5 时,1P D MN V 取得最大值1.3【点拨】引入角度为变量﹐建立体积的三角函数式,利用三角函数法求最值.【解法2】因为2PA ,知点P 在以点A 为圆心,半径为2的圆弧上,因为45,90,90,DAB PMA PNA所以,,,A M P N 四点在以AP 为直径的圆F 上,如图14-24,所以1190,2122MFN FM FN AP ,所以MN在PMN 中,2222||||2cos135MN PM PN PM PN 因为22||2PM PN PM PN ,当且仅当222PM PN 时取等号,所以22PN PM PN所以2PM PN 所以1112121223323D PMN PMN V S .所以1D PMN V 的最大值为213.【点拨】利用平面几何法求得MN 的值,进而可利用均值不等式法求得PMN 面积的最大值,最后求得体积的最大值.【解法3】1112233P D MN D PMN PMN PMN V V S S 如图1425 所示,设,BAP DAP ,122sin 2sin sin135cos cos 22PMN Scos 12222,当且仅当22.5 时取等号,所以1P D MN V 的最大值为13.【点拨】引入两个角度,建立体积的代数表达式，结合积化和差公式可由两角和与差的余弦公式解决问题.【赏析】本题依托立体几何背景﹐涉及线面垂直﹑线线垂直和棱锥体积的求法.如何求解PMN 的面积的最大值是本题的关键.【解法1】从角度出发,将各边长转为为三角函数形式,利用三角函数值的有界性解答.【解法2】从平面几何的角度出发,利用基本不等式取得最值.这两种方法都是处理解三角形问题的基本方法.【解法3】从两角的关系出发,使用积化和差公式,实质是利用角的变换,和【解法1】有异曲同工之妙.强化训练1.在四棱锥S ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,,M N 分别是,SA BD 上的点.有下列命题：(1)若SM DN MA NB,则MN ∥平面SCD ;(2)若SM DN MA NB ,则MN ∥平面SCB ;(3)若平面SDA 平面ABCD ,且平面SDB 平面ABCD ,则SD 平面ABCD .其中正确命题的序号为________.【解析】答案：①③2.如图1426 ,在四棱锥P ABCD 中,E 为AD 上一点,PE 平面,ABCD //,AD BC AD ,CD 22,BC ED AE 3,EB F 为PC 上一点,且2CF FP .(I)求证://PA 平面BEF ;(II)若二面角F BE C 的平面角的大小为60,求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小.【解析】（Ⅰ）证明：连结AC 交BE 于点M ，连结FM .因为//EM CD ，所以12AM AE PF MC ED FC，所以//FM AP ，又因为FM 平面,BEF PA 平面BEF ，所以//PA 平面BEF（Ⅱ）解：以E 为坐标原点，EB ，EA ，EP 所在直线分別为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如答图141 所示.设点(0,0,)P t ，因为PE 平面ABCD ，则向量(0,0,PE ，t )即为平面BEC 的法向量.因为//,,22,3AD BC AD CD BC ED AE EB ，所以四边形BCDE 为矩形，(3,0,0),(3,2,0)B C ，因为F 为PC 上一点，且2CF FP ，则有22221,,,1,,,(3,0,0)3333F t EF t EB设平面BEF 的法向量(,,)n x y z ，则n EF ，即有n .0EF ，即22033x y zt ，又0EB n ，即30x ，所以10,1,n t.因为二面角F BE C 的平面角大小为60，则PE 与n 的夹角为120 ，所以21cos1202||||11n PE n PE t t ，解得t 33),933P PB .因为PE 平面ABCD ，所以PBE 即为直线PB 与平面ABCD 所成的角.在Rt PBE 中，3cos 223BE PBE PBE PB 6，所以直线PB 与平面ABCD 所成角为6.3.如图1427 ,在三棱锥A BCD 中,3,2,AB AC BD CD AD BC M 是AD的中点,则异面直线,CM AB所成角的大小为________.【解析】取BD 中点N ，连结MN ，CN ，如答图14-2因为3,2,AB AC BD CD AD BC M 是AD 的中点，所以//MN AB ，且1322MN AB ，所以(CMN 或其补角）是异面直线CM ，AB 所成的角.因为CM 2227cos 29BD CD BC BDC BD CD 所以222172cos 4CN DN CD DN CD BDC .所以2222cos 22MN CM CN CMN MN CM .所以4CMN .所以异面直线CM ，AB 所成角的大小为4.4.已知三棱锥P ABC 的体积为16,点,D E 分别在侧棱,PB PC 上,且2,PD DB 3PE EC ,则三棱锥P ADE 的体积为________.【解析】由答图143 可知:P ABC P ADE V PA PB V PA PD .34223PC PE ，所以8P ADE V .5.过凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ,使SO 3 ,若22,S AOD S BOC V a V b ,当S ABCD V 最小时,ABCD 的形状为________.【解析】由已知，易得22,AOD DOC S a S b .设,AOB COD S x S y ，则22.S ABCD V a b x y 因为22AOD COD AOB DOC S S a DO y x S OB S b，所以22xy a b .而2(x y xy ab 设0,0a b )，于是222()a b x y a b ，当且仅当x y ab 时取等号，这时2.AOD DOC S AO a a OC S y b 同理，DO a OB b ，所以AO OC DO OB，所以//AD BC .另一方面：当x y ab 时，2,AOD DOC S AO a a BO OC S y b OD 2DOC DOC S b b S y a(1)当a b b a ，即22,AOD COD a b S S 时，AO BO OC OD，所以//AB CD .此时，四边形ABCD 是平行四边形.(2)当a bb a，即22,AOD Da b S S时，AO BOOC OD，所以AB与CD不平行.此时，四边形ABCD是梯形.。
全国各地高考数学一题多解：高考数学一题多解——北京卷 Word版含解析
北京卷1、【2017年高考数学北京理1】若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则A B =（ ）.A.}12|{-<<-x xB.{}–2<3x x <C.{}–1<1x x <D.{}1<3x x <【答案】A【知识点】集合的交运算【试题分析】本题考查考生的运算能力．属于基础题．解析三（特殊值法）从选择支入手，令0=x ，得B A B A ⋂∉∉∈0,0,0则排除B 和C. 再令23-=x ，得：B A B A ⋂∈-∈-∈-23,23,23则，排除D ，故选A. 2、【2017年高考数学北京文11】已知0x …，0y …，且1x y +=，则22x y +的取值范围是__________．【答案】]1,21[ 【知识点】直线与圆的综合，不等式的范围问题【试题分析】本题考查数形结合思想，转化与化归思想的应用，考查考生的运算求解能力．属于中档题．【解析】解析一：由已知得：122)1(,,12222222+-=-+=++-=x x x x y x y x x y 得代入，时，取得最小值，当时，取得最大值或，当2121110]1,0[,21)21(22===∈+-=x x x x x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析二：为与两坐标轴的交点分别设直线1=+y x ),0,1(),1,0(B A 上一点，为线段点AB y x P ),(，到原点的距离为则22111002222=+-+≥+=y x PO P ,1=≤AO PO 又，所以12222≤+≤y x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析三：,220,022y x y x xy y x +≤+≤>>时，由基本不等式得：当,1,20,0222=++≤+>>y x y x y x y x 根据条件）（时，可得：当；得：2122≥+y x .0,时，结果显然成立有一个为当y x .1)(20,022222=+=++≤+≥≥y x xy y x y x y x 时，另一方面，当].1,21[22的取值范围是所以y x + 解法四：θθ22cos ,sin ==y x 则由已知条件得：设，].1,21[2sin 21-1cos sin 2)cos (sin cos sin 2222224422∈=-+=+=+θθθθθθθy x ].1,21[22的取值范围是所以y x +].1,21[],1,22[],1,22[)4sin(2∈∈∈+r r 所以：即：πθ].1,21[22的取值范围是所以y x + 3、【2017年高考数学北京理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则AP 的最小值为___________.【答案】1【知识点】点与圆的位置关系，圆的极坐标方程【试题分析】本题主要考查圆的极坐标方程，点与圆的位置关系，意在考查化归与转化、运算求解能力．属于中档题．【解析】解析一：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：,044222=+--+y x y x.1),2,1(,1)2()1(22==-+-r y x 半径圆心为即：,12)20()11(),0,1(22>=-+-=d P P 到圆心的距离点的直角坐标为点.112min =-=-=r d AP P 点在圆外，所以所以：.1的最小值为所以AP解析三：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为：,044222=+--+y x y x.31,1)2(.1),2,1(,1)2()1(222≤≤≤-==-+-y y r y x 即：可得：半径圆心为即：].3,1[34)2(1)1(),31)(,(2222∈-=+--=+-=≤≤y y y y x AP y y x A 则：设.1的最小值为所以AP4、【2017年高考数学北京理15】在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.【答案】36)2(1433)1(【知识点】正弦定理，余弦定理【试题分析】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式．考查考生的运算求解能力与解决问题的能力.属于基础题．【解析】 (1),73,60a c A ABC =︒=∆中，因为在 .14332373sin sin =⨯==a A c C 由正弦定理得：（2）解析一：.3,7==c a 所以因为A bc c b a cos 2222-+=由余弦定理,721323222=⨯⨯-+b b 得： ).(58舍或解得：-==b b.36233821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC 的面积所以 解析二：当7a =时，3c =，sin C 3=14＜c a 13cos 14C ∴. △ABC 中sin =sin[π-(+)]=sin(+)B A C A Csin cos cos sin ⨯⨯=A C +A C131=+214214⨯⨯= .367343721sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC 的面积所以 解析三：如图所示：.点，垂足为作过点G AC BG B ⊥.23233==AG BG ，解得：,21322=-=∆BG BC CG BCG Rt 中，在 .8=+==CG AG AC b 即：.36233821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC 的面积所以。
2021新高考高中数学一题多解经典题型汇编
高中数学一题多解经典题型汇编高中数学一题多解经典题型汇编 【典例1】设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ⊆B ，则下列式子成立的是（ ） A ．B C A C U U ⊆ B ．U B C A C U U = C ．φ=B C A U D ．φ=B A C U解法一：运算法A.()()A C B C B C A C A C U U U B U ⊆⇒= ，A 错误B.U A A C U = 或U B B C U = ，B 错误C.A B A B A =⇒⊆ ，又φφ=⇒=A B C B B C U U ，C 正确D.A B A B A =⇒⊆ φ≠⇒B A C U ，D 错误解法二：特殊值法由题意，不妨设}1{},2,1{},3,2,1{===A B U ，则A.()()A C B C B C A C U U U U ⊆⇒⊆⇒⎩⎨⎧==}3,2{}3{}3{}3,2{，A 错误 B.()()U A C B C B C A C U U UU =≠=⇒⎩⎨⎧==}3,2,1{}3,2{}3{}3,2{ ，B 错误 C.φ=⇒==A B C A B C U U }1{},3{，C 正确D.φ≠=⇒==}2{}2,1{},3,2{B A C B A C U U ，D 错误解法三：韦恩图法如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误.◆◆方法解读◆◆U BA解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。
解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简单。
解法三：韦恩图更加地形象直观，能够快速、准确的作出判断，此法它利用了数形结合的思想。
【典例2】已知i z i 23)1(+=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对于的点位于第 象限. 解法一：复数的四则运算法 i i i i i i i i z i z i 2232232)23()23()1)(1()1)(23(12323)1(++-=++-=+-++=-+=⇒+=- i z 223223+--=∴ ⇒第四象限. 解法二：利用相等复数法（待定系数法） 设复数bi a z +=，则bi a z -= i i b a b a i bi a i i z i 23)()(23))(1(23)1(+=+--⇒+=--⇒+=-∴⇒+--=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒i bi a z b a b a b a 2232232232232)(3第四象限. ◆◆方法解读◆◆解法一：先通过解方程得出复数z 的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。
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高中一题多解经典练习题1、原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m < 40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意∴5==n m2、解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x3、已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q q q a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式qqa a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=）3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）4、 已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mmα一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan5、求函数)()(01x xx x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01x x x x f +=的单调性任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2 方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xx x x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,26、若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a7、求函数)()(01x xx x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01x xx x f +=的单调性任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a8、椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ） （A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
故选D解法二： 由题知124321)(21max 21=⨯=•⨯=∆b F F S F pF ，而在椭圆中：164tan 221==∆πb S F PF ，∴不可能成立,1612>故选D解法三：由题意知当p 点在短轴端点处21PF F <最大，设α221=<PF F ，∴<⇒<=,4,143tan παα此时21PF F <为锐角，与题设矛盾。
故选D解法四：设)sin 4,5(θθcon P ，由,21PF PF ⊥知02121=•⇒⊥PF PF PF PF ，而⇒-=⇒=+-=+-=•970sin 16925)sin 4,35)(sin 4,35(22221θθθθθθθcon con con con PF PF 无解，故选D解法五：设θ=∠21F PF ，假设21PF PF ⊥，则26)4sin(26sin 66||||21≤+=+=+πθθθcon PF PF ，而102||||21==+a PF PF即：2610≤，不可能。
故选D解法六：=-=--+=-+=<||||2|||264||||236||||2)|||(|||||36||||21212121222121222121PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF F con 0257125321)2||||(321||||3222121≠=-=-+≥-PF PF PF PF ，故212190PF PF PF F ⊥∴≠< 不可能。