运筹学PPT 第四章 线性整数规划

1. 投资场所的选址问题
某城市拟在东、西、南三区设立商业网点，备选位置有 A1~A7共7个，如果选Ai，估计投资为bi元，利润为ci元，要 求总投资不超过B元，规定 东区：A1、A2、A3中至多选2个 西区：A4、A5中至少选一个 南区：A6、A7中至少选一个 问如何设点使总利润最大？
max z= ci xi
解：模型为：
Max Z 7 x1 5 x2 9 x3 6 x4 3 x5
54x1 35x2 57x3 46x4 19x5 115 s.t. x 0 或 1 (i 1,,5) i
4. 消防队问题 某城市的消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个 消防救火站。下图①~④表示消防站，1~11表示防火区域， 图中连线表示各地区由哪个消防站负责。问题：可否减少消 防站的数目，仍能同样负责各地区的防火任务？如果可以， 应关闭哪个消防站？ 2
6
2：00 ——
6：00
30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工 作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满 足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人 员数,于是LP模型为:
min z=x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6

例14 固定费用问题
某工厂为生产某种产品，有3种不同的生产 方式可供选择。设第j种生产方式的固定成本为kj， 可变成本为cj 。若不考虑其他约束，请建立使总 成本最小的规划模型。
分析： 设采用第j种生产方式时的产量为 , x k c x 则使用第j 种方式时的成本为 0
若设 y
x 0 x 0
+9x31+14x32+16x33+13x34+7x41 +8x42+11x43+9x44

x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( E任务只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( J任务只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( G任务只能一人干)
解：令 x i=

1， Si被选中
min z=
10
c x
i 1
10
i i
0， Si没被选中
s.t.
x x 1 xx xx 11 x x 1 x x x x 2 x 0
i 1 i
x
1 7
5
8
8
3
5
4
5
5
6
7
8
i
或 1，i=1, … ,10
s.t.
x
i 1
8
i
5
x1 x2 1
x6 x7 x8 1
x6 x2
xi 0 或 1，i=1, … ,8
2. 指派问题 问题描述：n项任务可由n个人完成，由于专长不同，各人 完成各任务的时间也不同，求最优安排。 要求：每人只能完成一项任务，每项任务只能由一人完成。 例： 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作任务E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书翻译成不同语种说明书所需的时间如下表所示， 问应指派何人去完成何项任务，使所需总时间最少？
x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( R任务只能一人干)
xij = 0 或 1，i,j = 1,2,3,4
课堂练习:P57例2.23
例：甲、乙、丙、丁是四名游泳运动员，他们各种 姿势的100m游泳成绩如表。为组成一个4×100m 混合泳接力队，怎样选派运动员，方使接力队的游 泳成绩最好？
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
x 0 x M y y 0或1
[例]
人力资源分配的问题 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘 务人员数如下： 班次 1 2 3 4 5 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 所需人数 60 70 60 50 20
班次 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30

x1 + x 6 x1 + x 2
≥ 60 ≥ 70
wenku.baidu.com
1 2 3 4 5 6
1, x 0,即采用第j 种生产方式时 0， x 0,即不采用第j 种生产方式时
则总费用z ( k y c x ) ( k y c x ) ( k y c x )
初步建立模型为 Minz ( k y c x ) ( k y c x ) ( k y c x )
E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
甲 乙 丙 丁
解：令
xij= min

1， 指派第i人去完成第j项任务
0， 不指派第i人去完成第j项任务 z=2x11+15x12+13x13+4x14+10x21+4x22+14x23+15x24
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
x 0 y 0或1
问题：不能保证当 0时必有y 1,怎样解决？ x
— —加约束 x M y , M 为x 的上界。则最后模型为
Minz ( k y c x ) ( k y c x ) ( k y c x )
课堂练习2: 某篮球队有8名队员，其身高和专长如下表，现要选 拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？
队员 身高 专长 1 1.92 中锋 2 1.90 中锋 3 1.88 前锋 4 1.86 前锋 5 1.85 前锋 6 1.83 后卫 7 1.80 后卫 8 1.78 后卫
xi=0或 1，i=1, … ,4
课堂练习: 某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设 若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民 小区编号如表所示，问为覆盖所有小区至少应建多 少所小学？
备选校址代号
A B C D E F
覆盖的居民小区编号
1、5、7 1、2、5 1、3、5 2、4、5 3、6 4、6
（2）选择了S3或S4就不能选择S5，反 过来也一样;
（3）在S5，S6 ，S7，S8中最多只能选 两个。 问如何选择井位使总费用最小？
课堂练习1: 某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻井探油，
如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 （2）选择了S3或S4就不能选择S5，反过来也一样 （3）在S5，S6 ，S7，S8中最多只能选两个 问如何选择井位使总费用最小？
第四章 线性整数规划
整数规划——变量只能取整数的规划问题。 当变量只能取0或1两个值， 称0-1规划。
整数规划的分类：
纯整数规划：所有变量都限制为整数


混合整数规划：仅部分变量限制为整数
0-1整数规划：变量的取值仅限于0或1
整数规划的解法：分枝定界法或割平面法
基本思想是把一个整数规划问题化为一 系列的线性规划问题来求解
1 7 1 7
1 选中A 即x 0 不选A
则A 的利润为c x , 需投资为b x
东区在A1，A2， A3中至多选2个
怎样表示？
1 选中A 解：设x 0 不选A 则模型为 Maxz c x

x x x 2
b x B x x x 2 x x 1 x x 1 x ,, x 是0 1变量
x2 + x 3
x3 + x 4 x4 + x 5
≥ 60
≥ 50 ≥ 20
x5 + x 6
≥ 30
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0且为整数
最优解：X* =(60 ，10，50 ，0 ，30 ，0）， Z*=150
二、

0-1整数规划
投资场所的选址问题 指派问题 背包问题 消防队问题
解：令 x i=

7
1， Ai被选中
i 1
0， Ai没被选中
∑ bixi≤B i=1 x1+x2+x3≤2 s.t. x4+x5≥1 x6+x7≥1 x =0或 1，i=1, … ,7
i
7
课堂练习1:
某钻井队要从S1~S10共10个井位中确定五个钻 井探油，如果选Si，估计钻探费用为ci元，并且 井位选择上要满足下列条件： （1）或选择S1和S7，或选择S8 ;
例13 投资场所选址问题
计划在东、西、南三个区开设若干商业网点，拟在 A1，…，A7 7个地点中选择。规定：东区在A1，A2，A3中
至多选2个，西区在A4，A5中至少选1个，南区在A6，A7中
至少选1个。已知在Ai建点需投资bi，可获利ci，现共有资 金为B。问应如何布局可使总利润最大？ 分析：
决策变量x , , x 分别表示地址A , , A 的选择变量,

1， 物品i被选中 0，物品i没被选中
m
Max z ci xi
ai xi b s.t. i 1 xi 0 或 1

m
i 1
例：一个徒步旅行者要在背包中选择一些最有价值的物品携 带。他最多能带115kg的物品，现有5件物品，分别重54、35、 57、46、19kg，其价值依次为7、5、9、6、3。问携带哪些 物品可使总价值最大？
运动员 甲 乙
丙 丁
仰泳 75.5 65.8
67.6 74.0
蛙泳 86.8 66.2
84.3 69.4
蝶泳 66.6 57.0
77.8 60.8
自由泳 58.4 52.8
59.1 57.0
3. 背包问题 问题描述 已知：一个背包最大容量为b公斤；有m件物品供选择，每 件物品重ai公斤，价值为ci（i=1,…,m）。 问题：携带哪些物品可使总价值最大？ 一般模型 xi=
某篮球队有8名队员，其身高和专长如下表，现要选 拔5名球员上场参赛，要求： （1）中锋只有1人上场 （2）后卫至少有一人上场 （3）只有2号上场，6号才上场 要求平均身高最高，应如何选拔队员？
解：令 x i=

1， 队员i被选中 0，队员i没被选中
1 8 max z= ci xi 5 i 1
1 8 2 9
1
3 6 5
7
4
10
4
3
11
解：令 x i=

1， 保留第i个消防队 0， 撤消第i个消防队
则模型为
min z= x1+x2+x3+x4

x1+x2 ≥1 x1+x2 ≥1 x1 ≥1 x1 +x3 ≥1 x3 ≥1 x1 +x3+x4≥1 x1 +x4≥1 x1+x2 +x4≥1 x1 +x4≥1 x4≥1 x3+x4≥1