《科学与工程计算基础》总复习

总复习
一、有效数字与误差界
（1）两数和、差、积的绝对误差与相对误差公式如下：
)(21a a ±δ≤1a δ+2a δ，)(21a a r ±δ≤
2
12
1a a a a ±+δδ+
)(21a a δ≤12a a δ+21a a δ，)(21a a r δ≤1a r δ+2a r δ
（2）函数值的相对误差公式
对一元函数)(x f y =，若x 有绝对误差x δ，则)(x f 有绝对误差 )(x f δ=)(x f 'x δ， 从而相对误差为：)(x f r δ=
)
()(x f x f 'x δ
例1 设1a =1.21，2a =3.65，3a =9.81均为有效数字，试求1a -2a ，1a +2a +3a ，1a 2a +3a 的相对误差.
解：因1a ，2a ，3a 均为有效数字，故
1a δ≤2102
1-⨯，1a r δ=11a a δ≤
21021
.15
.0-⨯， 2a δ≤21021-⨯，2a r δ=
22a a δ≤
21065.35
.0-⨯ 3a δ≤2102
1-⨯，3a r δ=
23a a δ≤
21065
.35
.0-⨯ 从而
)(21a a r -δ≤
2
12
1a a a a ±+δδ=0.40982
10-⨯
)(321a a a r ++δ≤
3
213
21a a a a a ++++δδδ=0.10222
10-⨯
)(21a a δ≤12a a δ+21a a δ，)(21a a r δ≤1a r δ+2a r δ≤21021
-⨯+2102
1-⨯
)(321a a a r +δ≤
3
213
21)(a a a a a a ++δδ≤81
.965.321.1105.032+⨯⨯⨯-=0.10542
10-⨯
例2 设计算球体积允许其相对误差限为1％，问测量球半径的相对误差限最大为多少？ 解：记球的半径为R ，体积为V ，则
V r δ≤1％.
由公式：V =3
3
4R π，得到V '=2
4R π
V r δ=V
V 'R δ=32
3
44R R ππR δ=3R R δ≤1％⇒R R δ≤31％=0.33％. 二、线性方程组的追赶法及迭代的收敛性
1. 追赶法
对一个三对角矩阵（33⨯阶）A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡33
22211b a c b a c b 如果我们要将它分解成一个单位下三角阵与一个上三角矩阵的积，即
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡33
22211
b a
c b a c b =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡111
3
2l l ⨯⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡322
11
u d u d u =L ⨯U 则系数2132132,,,,,,d d u u u l l 满足如下关系：
1d =1c ，2d =2c 1u =1b ；2l =
12
u a ；2u =2b -2l 1c ；3l =2
3u a ；3u =3b -3l 2c 例3 用追赶法求解线性方程组，并写出矩阵L 和U .
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----113210*********x x x 解：设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210121012，L =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡1113
2
l l ，U =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡322
11
u d u d u ，b =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-113 因1b =2b =3b =2，1a =2a =1c =2c =-1，由追赶法得 1d =2d =-1，1u =2，2l =
12u a =21-，2u =2b -2l 1c =2-)1(21-⨯-=23，3l =23u a =2
31-=32
- 3u =3b -3l 2c =2-)1(32-⨯-=3
4
即
L =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--
132121
1，U
=⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3412312
由L y =b ⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--
321132121
1y y y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-113⇒⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y =⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡34213
由U x =y ⇒⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3412312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡34213⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112
2. 关于迭代的收敛性问题
对迭代格式
f Bx x k k +=+)()1( 则
（1）上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组f Bx x +=的精确解*
x 的充要条件是迭代矩阵B 的谱半径1)(<B ρ
利用性质B B ≤)(ρ，可以得到收敛的一个充分条件是：
（2） 若有1<B ，则由上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组f Bx x +=的精确解*
x
且有误差估计式：
)1()(*)(1---≤
-k k k x x B
B x x 及)0()(*)(1x x B
B
x x k k
k --≤-
记*)(x x e k k -=，)0()
(0x x e k -=，上式可以写成
01e B
B
e k
k -≤
或者
B
B
e e k
k -≤
10
从中可以求出满足一定精度所需的迭代次数.
例 4 设*
x 表示线性方程组b Ax =精确解，现用迭代格式f Bx x k k +=+)()1(进行求解，其中
8.0)(=B ρ，记误差向量*)(x x e k k -=，如果要求计算精度达到6010-≤e e k
，试估计大约需
要进行多少次迭代. 解：要使6010-≤e e k
，因
B
B
e e k
k -≤
10
及)(B ρB ≤
将B 近似地用谱半径)(B ρ代替则
如果
)(1)(B B k
ρρ-610-≤，那么6
010-≤e e k .由
)
(1)(B B k
ρρ-610-≤得到 k )8.0(610)8.01(-⨯-≤
算得k ≥70.即至少需要70次迭代才能满足要求.
例5 设有线性方程组⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11121111
1112321x x x 试证明：在迭代求解时，用-J 迭代发散，而用-GS 迭代收敛。

解： 因
A =⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--21111
1112，L =⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---011001000
，U =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000100110，D =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-200010002 所以，-J 迭代矩阵为
)(1
U L D B J +=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
---02
12110121210 -GS 迭代矩阵为
U L D B S
G 1)(---==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---
-21002121
021210
由0453
=+
=-λλλJ B I ，得到特征值为：01=λ，i 253,2±=λ，⇒125)(>=J B ρ 由0)2
1(2
=+=--λλλS G B I ，得到特征值为：01=λ，213,2-=λ，⇒12
1
)(<=-S G B ρ 所以，-J 迭代发散，-GS 迭代收敛。

注意：在具体计算时，为了方便可以用
0=--U L D λ计算-J 迭代的特征值，用
0)(=--U L D λ计算-GS 迭代的特征值。

本例中，0=--U L D λ即0211
11
112=--λ
λ
λ
0)(=--U L D λ即02111
2=--λ
λ
λλλ
λ
三、分段插值（三次样条插值） 1.Newton 插值多项式 例6 设给定数据
(1) 作出函数f (x )的均差表；(2) 写出牛顿3次插值多项式)(3x N .
（2）)(3x N =1+
2)0(-x +)1)(0(--x x +2)2)(1)(0(---x x x =1+21x +)1(-x x +23)2
3
)(1(--x x x
2.三次样条插值
例7 求出满足边界条件1)0(='s ，2)3(='s 的三次样条插值函数.
解：记00=x ，11=x ，22=x ，33=x ；0)(0=x f ，1)(1=x f ，1)(2=x f ，0)(3=x f
注意到：01x x -=12x x -=123==-h x x ，所以 2
1
==i i λμ 2,1=i
0d =
))(],[(6
0100
x f x x f h '-=0)11(6=-⨯（)(0x f '=)0(f '=1)0(='s ） 3d =
]),[)((6
11
n n n n x x f x f h ---'=18))1(2(6=--⨯（)(n x f '=)3(f '=2)3(='s ） 1d =6],,[210x x x f =3)21(6-=-⨯，
2d =6],,[321x x x f =3)2
1
(6-=-⨯.所以，关于0M ，1M ，2M ，3M 的方程组为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21
21221
00212210012
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3210M M M M =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--18330 下面用三对角方程的追赶法求解。

四、代数精度 例8 求积公式
⎰
1
)(dx x f ≈)0(0f A +)1(1f A +)0(0f B '
已知其余项的表达式为)(f R =)(ξf k '''，)1,0(∈ξ.试确定系数0A ，1A ，0B 使该求积公式具有尽可能高的代数精度，并给出该求积公式的余项和代数精度的次数. 解：
当)(x f =1时，
⎰
1
)(dx x f =1 ⇒0A +1A =1
当)(x f =x 时，
⎰1
)(dx x f =21 ⇒1A +0B =2
1 当)(x f =2
x 时，⎰10)(dx x f =31 ⇒1A =3
1
代入求得：
0A =32，1A =31，0B =6
1
，从而
⎰10)(dx x f ≈)0(32f +)1(31f +)0(6
1
f '，且求积公式的代数精度至少为2，能否更高有待验证.为此取
当)(x f =3
x 时，
⎰1
0)(dx x f =⎰10
3
dx x =4
1，而 )0(32f +)1(31f +)0(61f '=31 说明当)(x f =3
x 时不能使求积公式准确成立，因而该公式只有2次代数精度. 下面考虑余项，设
⎰
1
0)(dx x f =
)0(32f +)1(31f +)0(6
1
f '+)(ξf k ''' 将)(x f =3
x 代入，得到
41=31+3！k ⇒ k =721
-，即余项为 )(f R =)(72
1
ξf '''-，)1,0(∈ξ.
五、数值微分
例9 下表给出了函数x y sin =在各点的值：
假设)900.0cos(=0.62160997，试
（1） 分别就步长h =0.01，0.02利用三点公式
)(0x f '≈
)]2()(4)(3[21
000h x f h x f x f h +-++- )(0x f '≈)]()([21
00h x f h x f h
++--及
计算)900.0(f '，并对)900.0(f '计算截断误差，结果列于表中.
（2） 利用公式opt h =3
3M
ε
（ε=0.0000005）选择最优步长，计算)900.0(f '，并比较结果. （3） 利用中心差商公式)(0x f '≈
)]()([21
00h x f h x f h
++--就步长h =0.02运用外推法外推二次计算)900.0(f '，比较结果.
解：（1）步长h =0.01，0.02时的)900.0(f '计算结果列于下表：
（2）当ε=0.0000005时，由opt h =3
3M
ε
，可以算得最优步长为 opt h =30000015.0≈0.011 利用上面两个公式计算)900.0(f '的结果见表格.
得到较好的计算步长，必须进一步提高计算精度.如取ε=0.00000005=0.56
10-⨯，则可算得最优步长为h =0.011，且可算得)900.0(f '=0.621607，误差为：6
1089.2-⨯ （3）记)(h G =
)]()([21
00h x f h x f h
++--，由上面算得 )02.0(G =0.6215675，)01.0(G =0.6215996，
误差：)900.0(f f '-'=7103.3-⨯.计算表明外推一次精度明显提高使结果具有6位有效数字.
六、微分方程单步（多步）法系数的确定. 例10 ：考虑微分方程初值问题
⎩⎨
⎧=≤≤='η
)(),(a y b
x a y x f y
已知2步显式公式
)],(),([1111---+++=i i i i i i y x f y x f h y y γβα
是一个2阶公式，试确定其中参数γβα,,，及局部截断误差。

解: 该公式的截断误差为 111)(+++-=i i i y x y R
=)]()([)()(111--+'+'--i i i i x y x y h x y x y γβα
=)()(6
)(2)()(33
2h O x y h x y h x y h x y i i i i +'''+''+'+ )()(6)()(2)()()()(33
2h O x y h x y h x y h x y i i i i +'''--''--'---αααα )(i x y h '-β)]()(2
)()([22
h O x y h x y h x y h i i i +'''+''-'-γ =)1)((α-i x y +
())()(216
16
1)(2
12
1)(13
32h O x y h x y h x y h i i i +'''⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++''⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+'--+γαγαγβα
要达到2阶公式,则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=--=--+=-0
2
1
210101γαγβαα⇒⎪⎩⎪
⎨⎧===021γβα
所求的公式为:
),(211i i i i y x hf y y +=-+ 局部截断误差 )(3
13
ξy h '''。