《科学与工程计算基础》总复习
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总复习
一、有效数字与误差界
（1）两数和、差、积的绝对误差与相对误差公式如下：
)(21a a ±δ≤1a δ+2a δ，)(21a a r ±δ≤
2
12
1a a a a ±+δδ+
)(21a a δ≤12a a δ+21a a δ，)(21a a r δ≤1a r δ+2a r δ
（2）函数值的相对误差公式
对一元函数)(x f y =，若x 有绝对误差x δ，则)(x f 有绝对误差 )(x f δ=)(x f 'x δ， 从而相对误差为：)(x f r δ=
)
()(x f x f 'x δ
例1 设1a =1.21，2a =3.65，3a =9.81均为有效数字，试求1a -2a ，1a +2a +3a ，1a 2a +3a 的相对误差.
解：因1a ，2a ，3a 均为有效数字，故
1a δ≤2102
1-⨯，1a r δ=11a a δ≤
21021
.15
.0-⨯， 2a δ≤21021-⨯，2a r δ=
22a a δ≤
21065.35
.0-⨯ 3a δ≤2102
1-⨯，3a r δ=
23a a δ≤
21065
.35
.0-⨯ 从而
)(21a a r -δ≤
2
12
1a a a a ±+δδ=0.40982
10-⨯
)(321a a a r ++δ≤
3
213
21a a a a a ++++δδδ=0.10222
10-⨯
)(21a a δ≤12a a δ+21a a δ，)(21a a r δ≤1a r δ+2a r δ≤21021
-⨯+2102
1-⨯
)(321a a a r +δ≤
3
213
21)(a a a a a a ++δδ≤81
.965.321.1105.032+⨯⨯⨯-=0.10542
10-⨯
例2 设计算球体积允许其相对误差限为1％，问测量球半径的相对误差限最大为多少？ 解：记球的半径为R ，体积为V ，则
V r δ≤1％.
由公式：V =3
3
4R π，得到V '=2
4R π
V r δ=V
V 'R δ=32
3
44R R ππR δ=3R R δ≤1％⇒R R δ≤31％=0.33％. 二、线性方程组的追赶法及迭代的收敛性
1. 追赶法
对一个三对角矩阵（33⨯阶）A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡33
22211b a c b a c b 如果我们要将它分解成一个单位下三角阵与一个上三角矩阵的积，即
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡33
22211
b a
c b a c b =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡111
3
2l l ⨯⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡322
11
u d u d u =L ⨯U 则系数2132132,,,,,,d d u u u l l 满足如下关系：
1d =1c ，2d =2c 1u =1b ；2l =
12
u a ；2u =2b -2l 1c ；3l =2
3u a ；3u =3b -3l 2c 例3 用追赶法求解线性方程组，并写出矩阵L 和U .
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----113210*********x x x 解：设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210121012，L =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡1113
2
l l ，U =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡322
11
u d u d u ，b =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-113 因1b =2b =3b =2，1a =2a =1c =2c =-1，由追赶法得 1d =2d =-1，1u =2，2l =
12u a =21-，2u =2b -2l 1c =2-)1(21-⨯-=23，3l =23u a =2
31-=32
- 3u =3b -3l 2c =2-)1(32-⨯-=3
4
即
L =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--
132121
1，U
=⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3412312
由L y =b ⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--
321132121
1y y y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-113⇒⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y =⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡34213
由U x =y ⇒⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3412312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡34213⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112
2. 关于迭代的收敛性问题
对迭代格式
f Bx x k k +=+)()1( 则
（1）上述迭代格式产生的向量序列收敛于方程组f Bx x +=的精确解*
x 的充要条件是迭代矩阵B 的谱半径1)(
利用性质B B ≤)(ρ，可以得到收敛的一个充分条件是：
（2） 若有1
x
且有误差估计式：
)1()(*)(1---≤
-k k k x x B
B x x 及)0()(*)(1x x B
B
x x k k
k --≤-
记*)(x x e k k -=，)0()
(0x x e k -=，上式可以写成
01e B
B
e k
k -≤
或者
B
B
e e k
k -≤
10
从中可以求出满足一定精度所需的迭代次数.