2015年高考真题——理科数学(陕西卷)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合2
{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =U （ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】
试题分析：{}
{}2
0,1x x x M ===，{}{}
lg 001x x x x N =≤=<≤，
所以[]0,1M N =U ，故选A ．
考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．
2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女
教师
的人数为（ ） A ．167 B ．137 C ．123 D ．93
【答案】B
考点：扇形图．
3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin(
)6
y x k π
ϕ=++，据
此函数
可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C 【解析】
试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．
4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2
x 的系数为15，则n =（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
考点：二项式定理．
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．24π+
D ．34π+
【答案】D 【解析】
试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是
()1
211222342
ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．
6.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：因为22
cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．
7.对任意向量,a b r r
，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A ．||||||a b a b ⋅≤r r r r
B ．||||||||a b a b -≤-r r r r
C ．22()||a b a b +=+r r r r
D ．22
()()a b a b a b +-=-r r r r r r
【答案】B
考点：1、向量的模；2、向量的数量积．
8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）
A ．28
B ．10
C ．4
D ．2
【答案】B 【解析】
试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的2
3110y =+=，故选B ． 考点：程序框图．
9.设()ln ,0f x x a b =<<，若()
p f ab =，(
)2a b q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系
式中正确的是（ ）
A ．q r p =<
B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q => 【答案】C
考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．
10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料
的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)
12
8
【答案】D 【解析】
试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+
由题意可列3212
2800
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：
当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．
考点：线性规划．
11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）
A ．3142π+
B ．1142π-
C ．11
2π- D ．112π
+
【答案】B 【解析】
试题分析：2
2
2
2
(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤
如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于
21111114242
ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是21
11
42142π
ππ
-
=-
⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．
12.对二次函数2
()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有
一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A ．-1是()f x 的零点
B ．1是()f x 的极值点
C ．3是()f x 的极值
D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A
考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】
试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．
14.若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线22
1x y -=的一个焦点，则p= ．
【答案】22
考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 15.设曲线x
y e =在点（0,1）处的切线与曲线1
(0)y x x
=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标
为 ．
【答案】()1,1 【解析】
试题分析：因为x
y e =，所以x
y e '=，所以曲线x
y e =在点()0,1处的切线的斜率
010
1x k y e ='
==
=，设P 的坐标为()00,x
y （00x >），则001y x =
，因为1
y x =，所以21y x '=-
，所以曲线1y x
=在点P 处的切线的斜率0
220
1
x x k y x ='==-
，因为121k k ⋅=-，所以2
11x -
=-，即2
01x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．
考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．
16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表
示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】1.2 【解析】
试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是()1
1010222162
⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2
252x y =
，即2225
y x =，所以当前最大流量是
()()5
3235
35
522224022
255255257575753
x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡
⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰，
故原始的最大流量与当前最大流量的比值是
16
1.2403
=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()
,3m a b =r
与()cos ,sin n =A B r
平行．
（I ）求A ； （II ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．
【答案】（I ）
3
π
；（II ）332．
试题解析：（I ）因为//m n r r
，所以sin 3cos 0a B b A -=，
由正弦定理，得sinAsinB 3A 0-
=
又sin 0B ≠，从而tan 3A =， 由于0A π<<，所以3
A π
=
(II)解法一：由余弦定理，得2
2
2
2cos a b c bc A =+- 而72,a =3
π
A =
得2
742c c =+-，即2
230c c --= 因为0c >，所以3c =. 故∆ABC 的面积为
133
bcsinA 2=
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2
π
∠BA =
，
C 1AB =B =，
D 2A =，
E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．
（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；
（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）
6．
试题解析：（I ）在图1中，
因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，∠
BAD=
2
π
，所以BE ⊥AC
即在图2中，BE ⊥
1
OA，BE ⊥OC
从而BE⊥平面
1
A OC
又CD P BE，所以CD⊥平面
1
A OC.
(II)由已知，平面
1
A BE⊥平面BCDE，又由（1）知，BE ⊥
1
OA，BE ⊥OC
所以
1
A OC
∠为二面角
1
--C
A BE的平面角，所以
1
OC
2
A
π
∠=.
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，
因为
11
B=E=BC=ED=1
A A, BC ED
P
所以
1
2222
(E(A(0,0,),C(0,,0),
2222
B-
得
22
BC(,,0),
22
-
u u u r
1
22
A C(0,,
22
-
u u u u r
，CD BE(2,0,0)
==-
u u u r u u u r
.
设平面
1
BC
A的法向量
1111
(,,)
n x y z
=
u r
，平面
1
CD
A的法向量
2222
(,,)
n x y z
=
u u r
，平面
1
BC
A与
平面
1
CD
A夹角为θ，
则1
11
n BC
n A C
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u r u u u r
u r u u u r，得11
11
x y
y z
-+=
⎧
⎨
-=
⎩
，取
1
(1,1,1)
n=
u r
，
2
21
n CD
n A C
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u r u u u r
u u r u u u r，得2
22
x
y z
=
⎧
⎨
-=
⎩
，取
2
(0,1,1)
n=
u u r
，
从而
12
6
cos|cos,|
3
32
n n
θ=〈〉==
⨯
u r u u r
，
即平面
1
BC
A与平面
1
CD
A
6
考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，
（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从
离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】
试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．
从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）
(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.
解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤
1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.
解
法
二
：
121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=
故(A)1P(A)0.91P =-=.
考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.
20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22
221x y a b
+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到
经过两点
(),0c ，()0,b 的直线的距离为
1
2
c ． （I ）求椭圆E 的离心率；
（II ）如图，AB 是圆:M ()()2
2
5
212
x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方 程．
【答案】（I 3II ）
22
1123
x y +=． 【解析】
试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立
()2
22
21
44y k x x y b
⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用10AB =可得2
b 的值，进而可得椭圆E 的方程．
试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到直线的距离22
bc
d a
b c =
=
+， 由1
2
d c =
，得2222a b a c ==-，解得离心率3c a =
. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为2
2
2
44x y b +=. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且|AB |10=易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得
2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=
设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22121222
8(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k
++-+=-=-++
由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得1
2
k =
. 从而2
1282x x b =-.
于是
12|AB ||x x =-=
=
由|AB |
2
3b =.
故椭圆E 的方程为
22
1123
x y +=. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为222
44x y b +=. (2) 依题意，点A ，B
关于圆心M(-2,1)对称，且|AB |=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则222
1144x y b +=，2222244x y b +=，
两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()
1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121
k .2
AB y y x x -==-
因此AB 直线方程为1
(2)12
y x =
++，代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，2
1282x x b =-.
于是
12|AB ||x x =-=
=
由|AB |
23b =.
故椭圆E 的方程为
22
1123
x y +=. 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.
21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2
x ，⋅⋅⋅，n
x 的各项和，其中0x >，
n ∈N ， 2n ≥．
（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个零点（记为n x ），且
1
1122
n n n x x +=
+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为
()n g x ，比较()n f x
与()n g x 的大小，并加以证明．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】
试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证1
1122
n n n x x +=
+；
（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小．
试题解析：（I ）2()()212,n
n n F x f x x x x =-=+++-L 则(1)10,n F n =->
1
21111111
2()1220,122222
12
n n
n n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫
⎝⎭
=+++-=-=-
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-L 所以()n F x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内至少存在一个零点n x . 又1
()120n n F x x nx
-'=++>L ，故在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，
所以()n F x 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n n
x x +--=-，故111
=+22n n n x x +.
(II)解法一：由题设，()
(
)11().2
n
n n x g x ++=
设()()211()()()1,0.2
n
n n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->L
当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()1
1
1()12.2
n n n n x h x x nx --+'=++-L
若
01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-
L ()()11
110.22
n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()1
1111()22n n n n n n h x x
x nx x ----+'<++-
L ()()11
110.22
n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.
综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <
解法二 由题设，()()2
11()1,(),0.2
n
n
n n
n x f x x x x g x x ++=+++=
>L 当1x =时, ()()n n f x g x =
当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221
()()(1)0,2
f x
g x x -=-
-<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，
()()11
1
k+1k 11()()()2
k
k k k k k x f x f x x g x x x
+++++=+<+=+()1211
2
k k x k x k +++++=.
又()()11k+121111
()22
k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=
令
()1()11(x 0)
k k k h x kx k x +=-++>，则
()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-
所以当01x <<,()0k
h x '<,()k h x 在(0,1)上递减；
当1x >,()0k
h x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211
()2
k k x k x k g x +++++>
故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.
解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+L 则111a b ==，
11n n n a b x ++==，
所以()1
1+1(2n)n k x a k k n
-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()
111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n
---=-=+
->≤≤
当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.
当1x ≠时, ()()1
2211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n
----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.
若01x <<, 1
1n k x -+<,()0k m x '<,
当1x >,1
1n k x
-+>,()0k
m x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.
请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作
答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 切O e 于点B ，直线D A 交O e 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；
（II ）若D 3DC A =，C B =O e 的直径．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】
试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O e 的直径．
试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90o
， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD
=,又2BC ，从而32AB =， 所以224AC AB BC -=，所以D=3A .
由切割线定理得2
=AD AB AE ×，即2
=AD
AB AE =6，
故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.
考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232
x t y t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x
轴正半轴为极轴
建立极坐标系，C e 的极坐标方程为23ρθ=．
（I ）写出C e 的直角坐标方程；
（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I ）(2
2
33x y +-=；（II ）()3,0．
【解析】
试题分析：（I ）先将23ρθ=两边同乘以
ρ可得223sin ρρθ=，再利用
222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C e 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则2C 12t P =+，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．
试题解析：（I ）由2
,sin ρθρθ==得，
从而有(2
222
+,+3x y x y ==所以.
(II)设1(3t),2P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}
24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；
（II + 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】
试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<
的解集为{}
24x x <<可得a ，b 的值；（II ），
试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-
则2,
4,b a b a --=⎧⎨-=⎩
解得3a =-,1b =
（II =≤
4==
1=，即1t =时等号成立，
故
max
4=.
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.。