高等数学课后习题答案第五章

习题五
1．求下列各曲线所围图形的面积：
（1）与x2+y2=8(两部分都要计算)；
解：如图D1=D2
解方程组得交点A(2，2)
(1)
∴,
．
（2）与直线y=x及x=2；
解：.
(2)
（3）y=e x，y=e-x与直线x=1；
解：．
(3)
（4）y=ln x，y轴与直线y=ln a，y=ln b．(b>a>0)；
解：．
(4)
（5）抛物线y=x2和y=-x2+2；
解：解方程组得交点(1，1)，(-1，1)
．
(5)
（6）y=sin x，y=cos x及直线；
解： ．
(6)
（7） 抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线； 解：y′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2． ∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(，3)．故所求面积为
(7)
()()()()()33
222302
33
2
2230
2
4343d 2643d d 69d 9.4
D x x x x x x x x x x x x x
⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦
=+-+=⎰
⎰⎰⎰
（8） 摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴；
解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ． 所以
()()
()
2π2π
2π
2
20
2d 1cos d sin 1cos d 3π.
a
S y x a t a t t a t t
a ==--=-=⎰
⎰⎰
(8)
（9） 极坐标曲线 ρ=a sin3φ；
解： ．
(9)
（10） ρ=2a cos φ； 解：
．
(10)
2． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r =a (1+cos θ)及r =2a cos θ; 解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a 的
圆，故D =πa 2
．
(11)
（2）及．
解：如图12，解方程组
得cosθ=0或,
即或．
(12)
．
3．已知曲线f(x)=x-x2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a．
解：如图13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1-a，a(1-a))
∴
依题意得
得a=-2．
(13)
4．求下列旋转体的体积：
（1）由y=x2与y2=x3围成的平面
图形绕x轴旋转；
解：求两曲线交点得(0，0)，(1，1)
．（14）
（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；
解：见图14，
．
（2）星形线绕x轴旋转；
解：见图15，该曲线的参数方程是：
，
由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为
(15)
5．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的
轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标
分别为：E(a，h)，D(A，0)，于是得到ED所在的直线
方程为：
(16)
对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：，同理可得该椭圆的另一半轴为：．
故该椭圆面积为
从而立体的体积为
.
6．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.
(17)
解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．
过区间[ R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于
从而该立体的体积为
．
7．求下列曲线段的弧长：
（1），0≤x≤2；
解：见图18，2yy′=2．
∴．从而
(18)
（2）y=ln x，；
解：
．
（3）；
解：
=4.
8．设星形线的参数方程为x=a cos3t，y=a sin3t，a>0求
（1）星形线所围面积；
（2）绕x轴旋转所得旋转体的体积；
（3）星形线的全长．
解：(1)
．
(2)
(3)x t′=-3a cos2t sin t
y t′=3a sin2t cos t
x t′2+y t′2=9a2sin2t cos2t，利用曲线的对称性，
．
9．求对数螺线r=e aθ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．
解：
．
10．求半径为R，高为h的球冠的表面积．
解：
=2πRh．
11．求曲线段y=x3(0≤x≤1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．
解：
．
12．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？
解：如图19，区间[x，x+d x]上的一个薄层水，有微体积d V=10·6·d x
(19)
设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为
d w=x·60g d x=60gx d x．
于是将水全部抽出所作功为
．
13．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相
齐，计算闸门的一侧所受的水压力．
解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为
．
压力元素为
所求压力为
（20）
=1467(吨) =14388(KN)
14． 半径为R 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？
解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为
(x －R )2+y 2=R 2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R ]区间上的许多薄片都上提2R 的高度时需作功的和的极限。

取深度x 为积分变量，典型小薄片厚度为d x ，将它由A 上升到B 时，在水中的行程为x ；在水上的行程为2R －x 。

因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x 为零，因而该片在水中由A 上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B 时，需作的功即功元素为
222d (2)[π()d ]π(2d π(2)(2)d w R x g y x x g R x x g R x Rx x x
=-=-=--
所求的功为
220
22230
2223404π(2)(2)d π(44)d 41π2344
π(KJ).3R
R
R
w g R x Rx x x
g R x Rx x x
g R x Rx x R g =--=-+⎛
⎫=-+ ⎪
⎝
⎭=⎰⎰
15． 设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段d s 对质点N 的引力的近似值即为引力元素
（图22）
22d d (d )d d d cos cos d ,
x km s km km F R R R R
km F F R ρρρ
θθρ
θθθ=
==== 则
2202
2cos d 2cos d sin
2d d sin sin d x y km km km F R R R km F F R
ϕ
ϕ
ϕρρρϕ
θθθθρ
θθθ-=====
⎰⎰
则
22sin d 0.
y km F R ϕ
ϕ
ρ
θθ-==⎰
故所求引力的大小为2sin
2km R
ρϕ，方向自N 点指向圆弧的中点。

16． 求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：
（21）
(1)()f x =
解：200111π1.arcsin 2422a
a a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰
(2) f (x )=x 2
解：
2
223001111d d .233a
a a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 17． 求正弦交流电i =I 0sin ωt 经过半波整流后得到电流
0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧
≤≤⎪⎪=⎨
⎪≤≤
⎪⎩
的平均值和有效值。

解：
π
π
2π
00
π
00
21sin d 0d cos π
π
ππI I i I t t t t ωω
ω
ω
ωω
ω
ωωω⎡⎤=
+
=
=-⎢⎥⎣⎦⎰
⎰ 有效值
I =
2ππ2π
2222π000π
222
0001()d ()d ()d ()d 2π2πsin d 2π4T i t t i t t i t t i t t T I I t t ωωωωωωωωω⎡⎤==+⎢⎥
⎣⎦
==⎰⎰⎰⎰⎰
故有效值为
2I I =. 18． 已知电压u (t )=3sin2t ，求
(1) u (t )在
π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的平均值； 解：
π2026()3sin 2d .
ππu t t t ==⎰ (2) 电压的均方根值.
解：均方根公式为
()f x =
故
()u
t ==
=
19． 设某企业固定成本为 C ′(x )=x 2－14x +111，R ′(x )=100－2x ． 试求最大利润．
解： 设利润函数L (x )． 则L (x )=R (x )－C (x )－50
由于L ′(x )=R ′(x )－C (x )=(100－2x )－(x 2－14x +111)=－x 2+12x －11 令L ′(x )=0得x =1，x =11．
又当x =1时，L ″(x )=－2x+12>0．当x =11时L ″(x )<0，故当x =11时利润取得最大值．且最大利润为
L (11)=
11
20
(1211)d 50
x x x -+--⎰
3110
13341[611]50111.333x x x =-+--==
20． 设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？
(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？ 解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大． 即2=7－2x ，x=5/2(百台)
(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．
在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为
ΔL (x )=
7
722552
2
2
(52)d 51
x x x x
-=-=-⎰．
即此时总利润减少1万元.
21． 某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期． 解：投资20年中总收入的现值为
20
5%5%2001200
800e d (1e )
5%
400(1e )2528.4 ()t y t --⋅-==
-=-=⎰万元
纯收入现值为
R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元)
收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有
5%200
(1e )8005%
12005ln =20ln =4.46 ().
5%2008005%4T T -⋅-==-⨯年
22． 某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？ 解：设每年以均匀流方式存入x 万元，则 5= 10
(10)0.050
e d t x t
-⎰
即 5=20x (e 0.5-1)
0.51
4(e 1)x =
-≈0.385386万元=3853.86元．。