英国数学教育改革
§4.7 国际数学课程改革的若干特点与趋势(12875)
第七节国际数学课程改革的若干特点与趋势4.7.1 数学课程改革需要国际视野20世纪下半叶以来国际数学教育改革是在以下两方面的背景下展开的：首先，科学技术本身特别是计算机技术的迅猛发展冲击着原来的数学课程与教学模式，数学教育的目的、内容重点和教学手段等诸多方面都出现了新的变化；其次，科学技术的迅速发展促使数学的应用领域得到了极大的拓展，数学成为公民必需的文化修养，数学教育大众化成为时代的趋势．数学课程改革需要了解和研究国际数学教育改革的新动向，目的是要拓宽我们的视野，在国际视野下分析研究数学课程改革，考察国际数学课程改革的最新发展及其特点．才能结合世界数学课程发展的脉搏，形成自己新的数学课程改革思想和实践体系．新中国成立以来，我们从模仿“苏联老大哥”开始构建自己的数学课程体系，其中又经历了近30年被“帝、修”封锁和我们自己闭关锁国，拉大了与世界的差距，基本上完全忽视了对世界数学课程发展的关注．我们的数学教师都是学着同一个几乎是一成不变的数学课程成长起来，并且一代代传承着上节所述的“用昨天的知识，教今天的学生，去应付明天的工作”这种模式．如果这种状态不彻底改变，我们的数学教育培养出的人在新世纪的国际竞争中只能失败．科学技术的高速发展导致的世界经济一体化，带来了世界范围内政治、经济、文化等全方位的冲撞与融合．面对这种情况，各式各样的“比较××学”应运而生，比较教育学也许是其中最活跃的一门．我国科学、文化与教育界长期以来习惯于着意寻找西方与我国在这些方面的区别和进行比较．并常常出现两种倾向：一种是盲目推崇、“言必称欧美和日本”的民族虚无主义；另一种是认为我们与西方文化在传统和现实两方面由于社会政治经济状况差别很大，外国的东西对我们没有参考价值，坚持我行我素的自我中心主义．这两种态度都是不妥的，原因在于：首先，生活在同一个地球上的人类，虽然各国有不同的文化背景和历史传统，但其基本的生存环境与进化发展过程是相似的，尤其是面对当今“地球村”的日益扩大，很多领域走“世界大同”已呈一种大趋势．正因为如此，世界各主要发达国家数学课程的发展还是有较为相似的规律的，存在诸多共性．美国著名比较教育学家坎德尔曾预测说：“世界上几乎所有国家将在教育目的与课题上越来越趋于接近和类似，只是各国用于解决教育课题的方法和手段，依存于该国的传统和文化罢了”．①其次，“有比较才能鉴别”，“他山之石，可以攻玉”．本土文化，国际视野，能为我们的数学课程改革提供参照系．从别人经验教训可以对照出自己成败得失，能为自己下一步怎么做找到比较合理的方向，把事情做得更好．例如，以美国为代表的西方国家在20世纪历次数学课程改革中的“钟摆现象”，对我们就是一个很好的启示；但反过来，需要我们思考的问题也不少，“当我们把中国的基础数学教育与西方发达国家的基础数学教育做比较的时候，经常会得出我们的比人家的好，至少也不比人家差的结论，尤其是中国学生在国际数学奥林匹克竞赛屡获金牌、而欧美学生只能拿银牌或铜牌的时候，有人对这一结论更是深信不疑．其实，这样的比较究竟价值几何值得商量．真正应该思考的是：我国青少年奥林匹克竞赛屡屡夺冠，这与未来的诺贝尔奖之间到底有多少联系，有没有联系？未来世界重大的创造发明何时会出现在中国？我们的数学课程包不包括对付出、牺牲、理解、责任、自信、尊重、诚信、求实这些看似与数学没有什么关系的抽①冲原丰编《比较教育学》，1981年日文版．转引自钟启全：《现代课程论》，华东师范大学出版社1989年版，第749～750页．象概念的理解和植入？数学课程管不管道德行为习惯的养成？现在社会上违反科学、不讲诚信的事件层出不穷、防不胜防，原因肯定是多方面、复杂的，作为基础教育的重要组成部分．这和我们的数学课程有没有关系？……在我国的数学课堂里，老师站在讲台上耐心细致地计算和推理，学生坐在位子上认真听讲和作笔记．老师讲授知识，学生接受知识，是我们通常的数学课堂教学模式．用秩序的眼光，我国的数学教育的确是层次分明、井井有序．而许多欧美国家则显得无序可循、杂乱无章．但这些无法维持基本水准的教育，却能造就高水平的人才，荷兰、日本、德国、俄罗斯都有一批诺贝尔奖获得者，而我们的教育就是不能比他们的教育培养更多的创新人才．”①这也应该引起我们自己的反思，正确认识和回答这些问题，才能使我国数学课程改革能够深入发展．诚然，20世纪以来西方数学课程改革格局风云变换、纷繁驳杂，演化更迭迅速，我们既不可能、也没理由追星逐月，而且上述国家好多东西确实未必适合我国的国情．但对这些，我们可以通过“审问之、慎思之”加以评论和甄别，可以认同、可以摒弃．“正是在不同的思维模式的撞击中，我们的思考才能够处于充满生机的状态，从而使我们的课程设计和教学设计不断地从经验水平上升到科学水平．”②在上述意义上，拓宽视野，在国际视野下建立我国数学课程改革的参照系，是本次数学课程改革顺利进展的重要前提．我们有责任、有义务在密切关注、认真研究西方数学课程改革理论的基础上，独立思考、冷静反思、坚持追求真理、怀疑批判的理性精神，注重西方教育同我国教育的共性部分，消化和汲取其中有意义的思想养分，是一定能够从国际教育科学的宝库中，借鉴到有益的东西，以促进我国课程改革的顺利进展．4.7.２主要发达国家数学课程改革的理念与特点③1. 美国的数学课程改革的理念与目标——重视数学的价值及数学能力回顾20世纪数学教育的发展，不难发现，美国教育在20世纪所经历的几次重大变革都是以课程改革为其核心，并且都对整个国际数学教育都产生过深远的影响．在20世纪初，以杜威（Dewey）为代表的进步主义教育派就首先对传统的“学校以课堂为中心，课堂以教师为中心，教师以书本为中心”的“老三中心”教育思想进行批判，提出“以生活为中心，以儿童为中心，以活动为中心”的“新三中心”现代教育观，之后又经过了以“新数运动”——“回到基础”——“问题解决”为主题的几个改革．1989年，美国国家研究委员会（NRC）发表了《休戚与共——关于数学教育失败向全国所作的报告》，提出了数学课程必须作出重大的改革，促成了2000年《学校数学的课程与评价标准》的产生．就改革的理念而言，“美国国家研究委员会于1989年在题为《人人关心数学教育的未来》的报告中列出了未来数学教育改革应当实施的7个转变，包括：①学校教育应从双重使命（为多数人的数学很少，为少数人的数学很多）转到单一使命（为所有学生提供共同的核心数学）；②数学教学从传授知识的传统模式转到激发学生学习动机的学生实践模式；③公众对数学的态度从冷漠和敌意转到承认数学在现今社会中的重要性；①孙晓天：《数学课程发展的国际视野》，高等教育出版社2003年9月第一版，绪论．②钟启全：《现代课程论》，华东师范大学出版社1989年版，第751页．③这个专题的介绍主要参考了徐斌艳：《数学经验展望》，华东师范大学出版社2001年版，第十章“数学课程改革的若干趋势“(368～391页)与孙晓天：《数学课程发展的国际视野》，高等教育出版社，2003年版全书中相关的内容．④数学教学从专注于常规技能的训练转到发展广泛的数学能力；⑤数学教学从强调为学习进一步课程的需要转到强调为学生现在和将来的需要服务；⑥数学教学从强调纸笔运算转到强调使用计算器和计算机；⑦公众对数学的理解从随心所欲的法则的不变教条转到关于模式的严格而又生动的学科．”①就改革的目标而言，美国国家教学教师协会（NCTM）先后于1989年、1991年和1995年建立了教学、教师、考核三个方面的标准认为，在信息社会中，数学教育的核心是培养全体学生的数学素养，表现为以下四个方面社会目的：第一，培养学生成为具有数学素养的劳动者；第二，使学生具有终身学习能力；第三，需要所有的学生都有学习数学的机会；第四，使学生具有处理信息的能力．而对“具有数学素养的公民”，具体提出五项目标：①懂得数学的价值，即懂得数学在文化中的地位和社会生活中的作用；②对自己的数学能力有自信心；③有解决现实数学问题的能力；④学会数学交流，会读数学、写数学和讨论数学；⑤学会数学的思想方法．美国正式的《学校数学的原理与标准》于2000年春季出版，其宗旨是保证高质量的数学教育，继续坚持1989标准提出的数学教育应面向全体学生，而不只是少数人学习的学科的基本理念．基本观点用六条原则进行表述：①平等原则．良好的数学教育需要平等——为全体学生提出高期望并提供有力的支持．②课程原则．课程必须是前后连贯，注重重要数学内容，讲求表述的课程．③教学原则．进行有效的数学教学需要了解学生已掌握了什么和需要学习什么，从而为他们提供必要的帮助．④学习原则．学生必须通过理解并积极借助经验和已有的知识获取新知，进行数学的学习．⑤评定原则．评定应当有助于对重要数学内容的学习以及为学生和教师提供有用的信息．⑥技术原则．技术在数学的教与学中是必不可少的，它直接影响到数学的教学方式并能促进学生的学习．2．英国的数学课程改革的理念与观点——重视数学的价值“英国的数学教育改革被学者认为‘历来十分活跃，在国际上占有重要地位’（许承厚，1995）．在数学课程和教材改革方面，20世纪60年代新数学运动中出现的SMP教材和80年代出版的《考克罗夫特报告》（中文版译名为《数学算数》，见范良火，1994）在国际上有相当影响”．②随着新数学运动的挫折，英国对数学课程作了重大改革调整，以教师讲授为主的教学方式在英国已不多见，在数学教学中，学生有机会参加多种形式的活动．1982年，由考克罗夫特（Cockcroft）博士为首的英国国家教学委员会发表了题为“数学算数”的著名的《Cockcroft报告》（后面简称《报告》），这是英国①转引自孙晓天：《数学课程发展的国际视野》，高等教育出版社，2003年9月第一版，第10页．②孙晓天：《数学课程发展的国际视野》，高等教育出版社，2003年9月第一版，第46页．数学教学改革的纲领性文件．其核心是：数学教育的根本目的是为了满足学生今后——成人生活、就业和进一步学习的需要，并对上述三种数学需要进行了具体的讨论，阐述了为满足这三种需要学校数学应有什么样的课程内容和教学方法；论述了进行良好的数学教学所需的多种条件和支持．《报告》认为数学教学的基本目的是“数学可用来作一种传递信息——表示、解释和预测信息的强有力的手段”；第二个重要原因是“数学在其他领域的重要意义”；此外还有一原因是“数学内在的趣味性和吸引力”．《报告》认为：不同能力水平的学生所学的数学课程既要有相同之处也要有区别．相同之处体现在，所在学生都会接触到的数学共同的核心内容，并具体列出了数学课程内容的“基础表”，认为它应成为面向所有学生的数学大纲的一部分；差别之处体现在对于不同的学生，额外增加的内容在深度、评价方法和教学目的方面有所侧重．《报告》强调数学教学要与学生日常生活经验联系起来；强调让学生成功地发展他们学习数学的自信心；强调更好地发展个别化教学方法以适应不同能力学习的学习需要；《报告》关注数学“应用”，强调数学教学要与实际应用紧密联系起来，认为教师需要帮助学生理解如何应用所学的概念与技能，如何利用它们去解决问题．《报告》还指出：有足够的证据表明，计算器的使用对基本的计算能力没有产生任何负面的影响，儿童从早期起学习使用简单的计算器是明智的．以《Cockcroft报告》为背景，英国数学课程基本理念包括：①数学对于大众具有重要意义，人们利用数学交流信息和思想，完成一系列的实际任务及解决现实生活中的问题；②数学是探索新世界的工具，数学的应用过程是生动的、具有创造性活动的过程；③数学的技巧虽然重要，然而它们仅仅是达到目的的一种手段，在数学教学的过程中，应该让学生了解数学在现实生活中的应用价值，从而让学生体会到学习数学的重要，具有良好的数学观；④数学具有欣赏的价值，数学欣赏能给学生带来智力活动体验和探索经验的兴奋；⑤数学内容应该具有统一性和多样性，应该体现多样性和个别性相结合．学校能根据国家标准作出计划，针对个别学生的需要做出适当的伸缩．３．日本的数学课程改革——有愉快感、充实感的学习活动日本数学教育具有和中国一样的东亚文化传统，考试文化等在数学教育中具有重要作用．二十年来，日本课程改革提出的重点是精选教学内容，改善学生学习的基本方向，培养学生的创造能力、思维能力、判断能力和表达能力．1996年8月，日本中央教育审议会发表题为《关于面向21世纪的我国教育》的咨询报告．指出；教育要注重对学生基本素质和能力——“生存能力”的培养，由注重灌输知识向注重培养学习能力和独立思考能力转变．即要培养学生自己发现问题、自己学习、独立思考、判断、行动的能力，以及更好地解决问题的能力；培养学生具有健康的身心，自律意识，关心、同情他人的情感和品格以及与他人合作的能力．提出课程改革的总目标：培养学生具有丰富的人性和社会性，具有自立于国际社会的日本人的意识；通过开展宽松的教育活动，切实加强基础，充实发展个性的教育；使各个学校能够发挥主动性，创造出有特色的教育．基于上述目标，日本数学课程改革的最新特点为：首先，提倡数学学习一种有愉快感、充实感的学习活动．包括以下两方面理念：第一，提倡以学生为主体的数学学习活动；第二，在宽松的气氛中学习数学，打好基础；其次，进一步精简学习内容．认为要实现上述要求，必须进一步精简传统的学习内容；最后，提倡选择性学习和综合学习．新课程增加了选修课课时，使课程具有较大的弹性，适合不同学生的需要．综合学习是本次学习指导纲要中新增设的内容，它通过学生综合数学知识或者数学知识与其他知识的综合来解决一个研究课题．４. 荷兰数学课程改革的特点①——现实的数学教育荷兰的教育有其独到之处，这主要体现在以下两个方面：一是高度自由．荷兰的课程目标是最简单的，篇幅短，语言简略．荷兰政府不干预学校的具体教学内容和教学方法，一个学习科目具体需要怎么教和怎么学，完全由学校和教师们自己决定，学校则根据自己的办学理念和教学计划自行决定选用何种教材或教材系列；二是教师有充分的权威．荷兰的教师可以不通过学校的管理人员自己决定与教学工作有关的事务，其作用远比学生自己的考试成绩重要．然而在如此自由的教育环境中，荷兰的数学教育并没有象想象的那么“混乱”．相反，荷兰的数学教育水平很高，据“第三次国际数学和科学研究”（TIMSS，1997）的测试结果，荷兰学生的数学成就在所有西方国家中名列前茅．并且荷兰的数学课程在不同的学校中不仅没有呈现出明显的差别，甚至可以说是统一的．因为几乎所有的学校都在使用统一的数学课程，这就是基于现实数学教育理念的数学课程．现实数学教育与传统数学教育迥然不同，两者的根本区别在于：传统数学教育是要“教给”学生数学的现成结果，而现实数学教育是要学生自己去再“发现”数学的这些结果．“现实”一词包含两种涵义：①现实数学教育是现实的，即现实数学教育与学生熟悉的生活密切相关，学生通过自己熟悉的生活学习数学，作为教育内容的数学和现实生活中的数学始终紧密的联系在一起；②现实数学教育是实现的，即现实数学教育与数学的“再发现”紧密相连，学生所学的数学知识不是教师课堂灌输的现成数学结果，而是在教师引导下由学生自己发现和得出的结论．现实数学教育是荷兰数学家弗赖登塔尔（H. Freudenthal，1905～1990）与其领衔的荷兰数学教育研究集体在近半个世纪的时间里丰富、发展和完善起来的新型数学教育．弗赖登塔尔是20世纪最伟大、最有影响的数学教育家，他指导、推动和亲身参与了荷兰的数学教育改革实践，并对20世纪国际数学课程的改革与发展作出重大贡献．我国正在进行的新一轮数学课程改革也受到了弗赖登塔尔现实数学教育思想的影响和启发．1991年，在弗赖登塔尔先生逝世一周年时出版了他最后一本内容广博的、在数学教育发展史上具有承前启后重要历史作用的遗著《数学教育反思》．这本书的副标题是：“中国之行演讲集”，指他1985年80高龄之际来中国访问之行，说明《数学教育反思》这部重要著作的历史足迹，是从他1985年的中国之行开始的．弗赖登塔尔在这本著作中结合荷兰的数学教育改革实践，探索了现实数学教育思想产生的背景，追寻了现实数学教育在近半个世纪时间里的发展历程，对现实数学教育的思想和实践进行了系统的总结．“现实数学教育”指导下的数学课程观可以归结为以下两个基本方面：①数学在本质上是一项人类活动，通过数学课程让学生重复人类数学发现的过程是可能的；“学校中的数学不是那些封闭的系统，而是作为一项人类活动的数学，是从现实生活开始的数学化过程……”．学生具有“潜在的发现能力”，他们本身的思维和行为方式已经具备了教师甚至研究人员的特征，在他们身上实现重复人类数学发现的活动是可能的．数学教育应当发展这种潜能，使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论，实现数学的“再发现”．数学课程，应当是引导学生重复人类数学发现的过程、实现数学再发现和再创造的过程的①这个专题的基础内容来自孙晓天：《数学课程发展的国际视野》，高等教育出版社，2003年版，第三章．课程．②数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始和结束．弗赖登塔尔认为，数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始，沿着数学发现过程中人类的活动轨迹，从生活中的问题到数学问题，从具体问题到抽象概念，从特殊关系到一般规则，逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取知识得到抽象化的数学知识之后，再及时把它们应用到新的现实问题上去．按照这样的途径发展，数学教育才能较好地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系，才能有益于学生理解数学，热爱数学和使数学成为生活中有用的本领．在上述课程观念的指导下，荷兰现实数学课程的基本特征主要表现为两个核心概念：情景问题与数学化．①情景问题——数学课程应当从与现实生活密切相关的情景问题出发，学生在课堂上通过这些情景问题自己去发现数学概念和解决实际问题；②数学化——数学化是一种由现实问题到数学问题，由具体问题到抽象概念的认识转化活动，是人类发现活动在数学领域里的具体体现．情景问题解释了数学课程如何从学生熟悉的现实生活开始和结束；数学化则具体指出怎么才能使数学课程帮助学生重复人类数学发现的过程．弗赖登塔尔倡导的这种数学课程经过三十年来荷兰几代数学教育工作者的探索和实践，得以不断丰富、完善和发展，形成了今天的富有特色的荷兰现实数学课程．荷兰的数学教育是成功的典范之一，值得我们进一步去了解．了解荷兰的数学课程发展、把握世界数学课程发展的脉搏，就一定要了解弗赖登塔尔的思想和实践．弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，他首先以代数拓扑学和泛函分析研究方面的杰出工作确立了其作为国际著名数学家的地位，曾任荷兰数学会的两届主席．作为著名的数学家，弗赖登塔尔非常关注教育问题，他很早就把学习和教学本身作为自己思考和研究的对象．他本人对此有一个非常简单的解释：我一生都是做教师，之所以从很早就开始思考教育方面的问题，是为了把教师这一行做好．弗赖登塔尔在数学教育研究中敢于独立思考、大胆质疑．对布卢姆的“掌握学习法”、“教育目标分类学”提出过探究与质疑、对皮亚杰认知结构理论方面工作也进行探究与质疑；特别重要的是在“新数运动”这样的重大事件面前，弗赖登塔尔没有盲目附和，而是采取一种冷静和客观的分析态度经思考后进行断然抵制．他认为，新数运动的倡导者当中，有许多人虽然是著名的数学家，但对教育方面的问题知之不多，其中有的人此前未做过任何数学教育方面的研究工作，由这样的数学家来主导如此重大的数学教育改革运动是不妥的；二是弗赖登塔尔认为，作为“新数学”出发点的诸如：集合，逻辑，关系等等知识内容过于复杂和抽象，不适宜在学校基础教育中引入．并明确反对受“新数运动”影响而由荷兰政府组建“数学课程现代化委员会”以及打算在中小学引进“新数学”的做法．他对“新数运动”的分析和评价，后来一一被实践所验证．他的看法以及他个人在数学教育领域的巨大影响力，使荷兰最终抵制了“新数学”，不仅免受“新数运动”的折腾，而且保持了本国数学教育改革的平稳发展．从荷兰数学教育成功的经验，我们可以得到如下启示：①成功的数学课程改革，应该集数学家、数学教育家乃至一线数学教师的经验与智慧为一体，共同协作才能成功，弗赖登塔尔本人就身兼这几种身份；②要成功，必须付出长时间持之以恒的艰苦努力，弗赖登塔尔本人的经历就是明证；③对问题一定要先思而后行，不能人云亦云，盲目附和．弗赖登塔尔对“新数运动”和对布卢姆、皮亚杰这样“大家”的观点，不是盲目附和，而是首先持一种分析的态度，投以一种探究的目光．这种孜。
21世纪以来英国数学教育改革述评
21世纪以来英国数学教育改革述评21世纪以来，英国在教育领域进行了一系列的改革，其中数学教育也得到了极大的关注。
本文将对英国数学教育改革进行评述，从改革的背景、目的、内容、成果等方面进行分析和总结。
一、改革背景英国的数学教育改革始于20世纪末，当时英国国内对教育质量提出了很高的要求，尤其是对数学教育的提高要求更为迫切。
加之当时国际上数学竞赛优秀成绩的学生多数来自于东亚和北欧等国家，英国这个历史名校发源地开始重视数学教育的改革。
二、改革目的数学教育改革的主要目的是提高学生的数学素养和数学学科能力。
在英国，数学被视为一门基础学科，一定程度上可以代表一个国家的科技水平和国民整体数学素养。
因此，数学教育改革除了有利于当代学生个人水平的提高，也可以推动整个国家的数学素养的提高。
三、改革内容1.数学课程的调整英国数学教育改革的第一步是对课程的调整。
从2000年开始，英国实施新的国家课程，对数学课程进行了修改。
通过增加新颖的教学内容和实习机会，为学生提供更加有实践意义的学习经验。
2.注重实践针对课程改革的要求，学校也提出了很多新的教学方法，比如学生课外参与数学竞赛，参与校内数学俱乐部等。
这些活动不仅能够增强学生的数学实践能力，同时也提高了学生的创新精神和解决问题的能力。
3.引进优质教材数学教育改革也推动了英国学校引进更优质的教材。
通过对国内外各种优秀数学教材的评估和筛选，英国学校逐步引进了全球数学教育的优秀教材，如新加坡数学、美国数学等教材。
4.数学教师的培训为了更好的推动数学教育的改革，英国还加强了对数学教师的培养和训练，不断提高教师的专业水平和教学素质，以更好的促进数学教育的健康发展。
四、改革成果经过多年的数学教育改革，英国数学教育的整体质量得到了极大的提高，尤其是在国际数学竞赛等方面，英国学生表现出了较大的优势。
另外，更多的英国学生选择数学作为本科专业和职业发展方向。
这说明英国数学教育改革所取得的成果是显著的。
二十世纪的数学教育
二十世纪的数学教育陈建功编者按：我们即将跨入二十一世纪，在未来的新世纪中我国的数学教育必将会呈现新的面貌。
然而新面貌不会自然产生，它需要我们理性的思考和积极的实践。
数学教育改革中，历史的经验值得注意，有识之士的意见是宝贵的。
陈建功先生（1893—1971）是我国现代数学家和数学教育家，中国科学院院士（原学部委员）。
他的《二十世纪的数学教育》一文，发表于1952年2月的《中国数学杂志》（1953年后该杂志改名为《数学通报》）第一卷第二期，当时正是新中国成立初期百废待兴的年代。
在这篇文章中，作者怀着“切望我国的数学教育有更新的革新”的殷切心情，“以中等学校的数学为核心”，对二十世纪数学教育的原则，以及数学教学内容的改革等重要问题，提出颇有见地的意见在世纪之交，重读陈先生的《二十世纪的数学教育》一文，对于迎接二十一世纪的数学教育十分有益。
此地所说数学教育，以中等学校的数学为核心；关于高等学校方面的数学，和小学校的算术教育，不预备在此地有所详述。
本文说数学教育，以二十世纪的数学教育为主，读了下文，自然明白。
“他山之石，可以攻玉”，把外国的数学教育，罗罗嗦嗦说了许多的话。
笔者切望着我国的数学教育有更一进步的革新。
支配数学教育的目标、材料和方法，有三大原则：实用性原则数学在日常生活中已见其有其实用价值的；如土地改革运动中的分田量地问题，关于买卖、租税、保险、奖券的计算；酒瓶的容量，箱子的体积，都是数学的应用。
不但如是，数学也是物质支配和社会组织之一武器，对于自然科学、产业技术、社会科学的理解、研究和进展，都是需要数学的。
假如数学没有实用，它就不应该列入于教科之中。
论理的原则然而仅仅乎实用原则，不足以支配整个的数学教育。
数学具有特殊的方法和观念，组成有系统的体系。
数学并不是公式的堆垒，其所用之方法，也具有教育上的价值。
断片的推理，不但见诸任何学科，也可从日常有条理的谈话得之。
但是，推理之成为说理的体系者，限于数学一科。
英国初中代数课程“数形结合”思想研究
英国初中代数课程“数形结合”思想研究作者：杨彦来源：《中学数学杂志(初中版)》2008年第05期苏州大学数学系 2150061 序言代数的抽象性使得学生在学习时遇到不少困难，往往需要结合一些具体的直观形象来辅助学习，这与我国课程所提倡的“数形结合”思想不谋而合. 英国作为世界课程改革的先驱之一，其课程注重实用性和能力培养，具有鲜明的国家特征. 本文试通过对其初中代数课程进行仔细研读，将课程呈现过程中“数形结合”的特点加以介绍，对比我国同类课程进行一定反思.2 英国代数课程简介2000年，英国重新制定了新的国家数学课程. 新课程初中阶段的代数课程是以数与代数相结合的形式呈现，其中代数部分是由方程、公式与恒等式（记为①），序列与函数（记为②），及函数图像（记为③）三部分组成. ①主要是代数式、方程等传统代数知识；②提供了大量几何、序数等序列模式，对模式与关系进行探求，延伸到函数知识；③除了基本函数图像之外，还涉及了许多有关函数图像的实际问题. 在此之前的课程中并未涉及任何正式代数内容，因此，课程是如何从算术自然过渡到抽象的代数内容，正是本文的关注点.3 代数课程中的“数形结合”思想英国的数学课程是按照学生能力水平进行设计，因此本文对“数形结合”特点的介绍也遵从这一特征，按照代数课程不同的水平层次结构，分层进行介绍层次1 “由数知形”且“由形识数代数课程中蕴含了大量抽象的数量关系以及符号表示，与直观形象的几何模式形成鲜明对比. 解析几何的出现，使得这两种截然相反的模式有了联结和相互表征的可能性. 在英国初中的代数课程中就包含了部分解析几何的知识，对某些特定内容（如：函数、不等式解集）要求了解其几何形式，将其蕴含之义立体化. 同样的，课程还设计了大量具体、特殊的几何模式，来归纳总结出一些形式化的代数知识，充分体现了英国课程对代数的理解：代数是从算术、从特殊例子、模式和序列中归纳总结的一种方式.图1例1 （7年级，③）开始考虑一次线性函数的性质，y是根据x的取值要确定的. 比如，建立表格并用坐标纸画出如下函数的图形(如图1)，对其进行解释说明：注意到函数y=mx的图像：均为过原点的直线不同的函数倾斜度不同和倍数的图像相同, 但它是连续的, 而不是离散的.例2 （8年级，②）生成整数序列并加以描述，将之与其几何模式联系起来.例如：2的乘幂(图图2将2的乘幂看作是：2个点组成的一排；4个点组成的方阵；2个4点方阵组成的纵排；4个4点方阵组成的方阵递增的矩形（图3）图3如图3，根据序列是递增或递减，以及递增或递减的步长是否相等来对熟悉的序列进行分类层次2 “以形助数”，帮助理解抽象代数知识代数的形式化与符号化，容易造成学生认知上的困难. 为了帮助学生从算术成功过度到代数，课程在呈现方程、代数式等传统代数知识的过程中，安排了相当多的具体事例，以一种真实、形象化的手法，借助技术与现实帮助学生从几何直观的角度去看待抽象的代数知识. 对于某些抽象难懂的数学概念与性质，改由观察其“形”或者构建有效的几何模式，来帮助学生多角度理解与记忆. 从“数”与“形”两种相反的性质着手，达到优势互补的效果图4例3 （9年级，①）利用几何方法来建议一些代数结果使用纸笔、坐标纸或者图形计算器画出方程的图像*来解方程组：-2y=4.如图4，两条直线的交点(2,3)给出了方程的近似解图*y=x如图6，将方程的解x=6，y=6与首项为1，“除以2，加上3”，代数表达式为x→x2+3的序列极限联系起来.图6图7例4 （9年级，①）用几何论据来说明这些结论展开下列代数式并化简，证明他们是等价的-a(a-b)+b(a-2b(a-b)+(a-b)(a-(a-采用不同方式来计算如图7的面积，利用几何论据来说明以上代数式是等价的层次3 “数形结合”，解决实际问题英国的数学教育重视实用性，“用数学”的意识和能力的培养贯穿课程始终，不论是在目标、还是手段和方式上都凸显这一特征. 代数课程不再拘泥于严格的逻辑体系，重视模式与关系的探求，用符号表示一般规律(经验公式)，解释表示现实生活情境的图表与图示，并学习如何用“形”帮助解决问题. 因此，教材中设计了相当多源自现实生活或跨学科的内容，借助技术在解决这些复杂的问题过程中，将数形结合的思想灌输其中，潜移默化的内化成学生数学应用的一种意识图8例5 （7年级，③）对科学或地理中的直线图像加以讨论，并做出解释. 比如：学生们在不同体积的罐子（—不等）下方点燃蜡烛，记录下燃烧时间，制成如图）讨论图像性质：这些点可以连接起来吗？需要几个这样的点才可以画出精确的图像？应该用直线把这些点连起来吗(2)回答问题：如果罐子体积是，蜡烛可以燃烧多久？呢？(3）下面哪句话最精确描述了体积与燃烧时间的关系？A 体积越大，蜡烛越快熄灭；B 最大的罐子，蜡烛灭的最慢；C 体积增加，燃烧时间加长；D 最小的罐子，蜡烛灭的最快例6 （9年级，③）如图9，根据两变量间的大概关系画出直线草图，并同某个熟悉的情境联系起来比如：水流以恒定速度流入各种形状的瓶子里，画出水面深度与时间关系的图像,若换成其他形状的瓶子，画出相应的图像,根据图像的性质，来预测瓶子的形状.图94比较与反思浓墨重彩VS蜻蜓点水综上所述，英国初中课程强调从算术“自然”过度到代数，为此在课程中安排了各种由形到数的铺垫. 采用大量来自现实的丰富素材，恰当地辅之以信息技术，在数的抽象与形的具体之间建立起潜移默化的联结，注重形到数的理解，并在理解的基础上强调现实问题解决，整个代数课程中渗透了数形结合的思想. 反观我国初中数学，虽也有形到数的过度，但类似素材在课程中相对贫乏或者有点形式化，重解题轻理解，有蜻蜓点水之嫌. 如何从算术自然过渡到代数是改革的重点.2 思想方法VS解题工具数形结合在英国初中代数课程中主要表现为一种理念和思想方法，是学生遇到代数抽象知识时帮助理解的处理手段，最终内化为解决现实问题的自觉意识. 而其对我国的师生来讲，更多的是一种行之有效的解题工具，屡试不爽. 数学能力的培养离不开解题，但在各种国际测试中，擅长解题的中国学生在解决实际问题时，并没比英国学生表现出更大的优势，甚至稍显颓势. 一些英国初中的课题，在我国要到高一才开始涉及，这一现象值得我们深思. 将一种非常有用的数学思想方法仅用作解题，岂不可惜？参考文献［1］ Department for Education and Employment:2001,Key Stage1-4,Mathematics-The National Curriculum for England.［2］国家教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)［S］.北京:北京师范大学出版社，2001.［3］邹坚.对初中学生“数形结合”能力的调查研究［J］. 数学教学,2006.(5).作者简介：杨彦，女，1983年生. 江苏苏州人，苏州大学数学课程论专业研究生.研究方向为中学数学课程与教学论。
国外小学数学教学改革的趋势
国外小学数学教学改革的趋势LT国外小学数学教学改革的趋势一小学数学教学改革的起因和发展概况近二十多年来，国外小学数学教学改革是整个数学教育现代化运动的一个组成部分。
第二次世界大战以前，中小学数学课程教材是比较稳定的，基本上没有变化。
第二次世界大战以后，由于数学本身有了很大发展，科学技术也飞速发展，数学的应用日益广泛，特别是电子计算机的出现，促使各学科广泛地应用着数学方法，从而对参加生产和各种工作人员的数学水平，提出较高的要求，并且由于知识的不断更新，要求具有独立获取新知识的能力。
而当时，学生的数学水平低下，社会上对数学教育提出了批评。
因此，传统的中小学课程、教材、教法越来越不适应这种形势的变化，迫切需要进行改革。
在四十年代末、五十年代初，有些国家已经出现了改革的方案和小规模的试验。
如1951年美国伊利诺大学成立学校数学委员会，开始研究中学数学改革问题，编写九至十二年级教材。
1956年英国就有人提出小学数学教学的目标应是给儿童打好有关数量和空间方面的数学思维的基础。
1957年苏联发射了人造卫星，出于国际竞争的需要，促使美国加速改革数学教育。
1958年由美国政府资助成立了“学校数学研究组”（简称SMSG），着手编写中小学试验教材。
1958年，伊利诺大学也拟出了算术方案，其中已涉及到解方程和不等式以及函数、运算定律等问题。
六十年代初开始较大规模的数学教育现代化运动。
1962年编出SMSG中小学数学课本。
1963年，美国坎布里奇会议上提出，从幼儿园起到中学最后一年的数学课程要达到当时大学三年级水平。
以后出现更多的改革方案，编出了各种各样的小学数学教材。
1964年英国也有人提出改革小学数学课程，使之现代化。
以后编出NMP、SMP等小学数学课本。
1967年苏联分别公布了一至三年级（小学）和四至十年级改革的数学教学大纲，并从1969年起在小学一年级换用新教材。
1968年日本公布了用现代数学观点修订的小学算术学习指导要领，并从1971年开始施行。
第一讲 数学教育改革专题探究
Learning to Know(学会数学学习)
在数学学习中，什么是最重要的？ 阅读理解 发现和提出问题，分析和解决问题 梳理、系统、积淀 表达、展示
Learning to Live and Work Together
在数学学习中，在“与人合作”中什 么重要？ 学术领导力 学术判断力 交流 宽容
此次把1963年大纲中的“计算能力”改为“运
算
能力”，“逻辑பைடு நூலகம்理能力”改为“逻辑思维能力”，
并 第一次提出了“逐步培养学生分析问题和解决问题 的能力”；同时，大纲对中学数学教学内容的改革 首次提出了“精简、增加、渗透”的原则，对中学 数学教学内容进行改革，精简了传统的中学教学内 容，增加了微积分、概率统计、向量、矩阵和逻辑
年“动乱”中， 在这段时间内我国的政治、经
济、文化受到了严重的摧残，教育是重灾区。
中学数学教学秩序遭到了严重破坏，基础削弱
了，水平降低了，造成了我国数学教学的大倒
退，教育教学改革不能继续进行。
第六阶段：从1977年～1985，是我国
中学数学教育恢复、调整、发展时期。
1976年以后，我国开始了社会主义四个 现代化建设的新时期，为了适应新时期社会主 义建设的需要，数学教学必须赶上时代的要求， 1978年2月，教育部制订了《全日制十年制学 校中学数学教学大纲〈试行草案〉》，并据此， 人民教育出版社组织编写出全国通用的十年制 中小学数学（不分科）教材一套及教学参考书。
Learning to Do（学会做事）
在数学学习中，帮助学生学会做哪些 事？ 数学建模 数学探究 组织数学研讨活动
Learning to be（学会做人）
在数学学习中，如何帮助学生自立于社会？ 发现、探索“规律” 学会思维：归纳、演绎、质疑 学会坚持
数学教育改革的目的
中学数学教育改革回顾教学目的：通过本章的学习，使学生了解中学数学改革的历程；理解中学数学课程标准的基本理念；掌握中学数学课程的目的、内容以及实施中对教师的要求。
使学生初步形成中学数学教材分析的能力。
教学重点与难点：对我国教育改革的理解与认识第一节国外中学数学教育改革一、国外中学数学教育改革回顾（一）xx的中学数学教育改革1901年，英国工程师、皇家科学院教授培利(J.Perry，1850—1920)在英国科学促进会发表演说，猛烈抨击英国的教育制度，反对为培养一个数学家而毁灭数以百万人的数学精神。
培利主张关心一般民众的数学教育，取消欧几里得《几何原本》的统治地位，提倡“实验几何”，重视实际测量、近似计算，运用坐标纸画图，尽早接触微积分。
他归纳学习数学的“理由”有：培养高尚的情操，唤起求知的喜悦；以数学为工具学习物理学；为了考试合格；给人们以运用自如的智力工具；认识独立思考的重要性，从权威的束缚下解放自己；使应用科学家认识到数学原理是科学的基础；提供有魅力的逻辑力量，防止单纯从抽象的立场去研究问题。
在20世纪的开端，在英国以培利为代表的数学教育改革运动便拉开了序幕。
（二）xx、xx的中学数学教育改革xx大数学家F．克莱因（F.Klein）继续推动世界数学教育的改革。
其要点是：教材的选择和安排，应适应学生的心理自然发展；融合各个数学学科，密切数学与其他学科的联系；不过分强调形式的训练，应重视应用；以函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础。
（三）xx的中学数学教育改革在20世纪60年代，一项由国际政治触发的数学教育改革运动风靡全球。
1957年，苏联的人造卫星早于美国上天，使美国朝野震惊。
1958年，美国国会通过国防教育法，要求政府和公众支持教育改革，用提高科学教育质量来保卫国防。
于是，一大批新的数学教材在西方各国涌现。
用“新数学”代替“旧数学”的一场改革运动席卷全世界。
二、“新数学”运动与国外中学数学教育改革“新数学”运动的指导思想是：增加现代数学内容，如集合、逻辑、群、环、域、向量和矩阵、微积分、概率论、二进制数系，等等；强调公理方法，提倡布尔巴基的结构主义。
中英数学教师交流项目实施评析
中英数学教师交流项目于2014年春季启动，目前已完成连续四轮的数学教师交流活动。
作为项目的资助方，英国教育部十分重视该项交流活动带来的实质性效果，自第一轮交流活动结束即委托第三方机构———谢菲尔德哈勒姆大学（Sheffield Hallam University）进行有针对性的项目评估，评估结果集中呈现在官方发布的中期评估报告中。
从项目实施效果来看，以上海“掌握教学法”为代表的东亚数学教学模式在经历反复的教学实验后，得到了英国中小学的初步认可与推广。
英国教育部将进一步加大财政投入以支持数学基础教育的变革。
而在确认实施效果的同时，中英双方有必要总结项目实施过程中尚存在的不足与问题，以巩固项目成果，改善项目的实施办法。
本文基于中英教师交流项目的基本情况，结合英国中期评估报告的结果，分析该项目的实施机制及影响实施效果的相关因素。
一、项目实施背景（一）英国数学教育改革的选择中英数学教师交流项目的启动与实施得益于英国政府积极借鉴国外先进经验的改革措施。
如同其他欧洲国家一样，英国基础教育在进入21世纪后持续面临国际学生评估项目（PISA）测试带来的改革压力。
自2006年以来，英国学生在PISA数学测评中的表现一直不够理想，且在之后的几次测试中，英国学生的数学成绩不但没有提升，反而呈现出下降趋势。
这一现象不仅打击了英国对基础教育的信心，而且引发了社会各界的强烈担忧，不少媒体甚至用“PISA震惊”（PISA Shock）来形容测试引发的社会影响。
国内外的种种压力迫使英国政府不得不正视数学教学中所存在的问题，并透过PISA 打开视野，寻求解决之策。
在PISA导向下，测中英数学教师交流项目实施评析文/潘闻舟姜文昕摘要：PISA测试结果推动了英国数学教育的改革。
作为英国政府借鉴其他国家优秀教学方法政策的集中体现,中英数学教师交流项目在具体实施过程中设置了明确的承接和监管机构,建立了有针对性的交流框架,制定了灵活的实施方法,采取了跟进式的效果评估监测措施。
英国初中数学教材
英国初中数学教材英国的数学教育一向以训练学生的解决问题的能力而著称，从小学到初中，这一改革已经深入学校教学中，英国最新出版的初中数学教材就被认为是最新的数学改革成果之一。
本文将重点讨论英国初中数学教材的特点及其在英国数学教育的意义。
首先，英国初中数学教材的最大特点在于其深入思考式的教学方法，这一教学方法注重学生的深度理解和应用，重视学生表达及推理能力的培养，让学生自己思考，理解和运用数学原理，让数学课变得更加生动有趣，同时也更加具有实际应用价值。
深入思考式教学方法不仅提高了学生对数学本质的理解能力，更重要的是能帮助学生提高解决复杂问题的能力，这也是英国数学教育改革的要求之一。
其次，另一个特点就是英国初中数学教材同时兼顾了理论和应用，该教材不仅仅局限于传统的理论基础，而是结合实际应用，融合了计算题和习题，让学生在计算题中练习基础应用，在习题中练习应用思维。
这样一方面，学生能更加深入地理解数学知识，另一方面也能更好的锻炼学生的思维能力和实际应用能力。
此外，英国初中数学教材在课文设计上也非常先进，教材中每一章都有明确的章节目标，而且课文内容精心设计，尤其是在学习概念方面和实际运用方面，都有详细的指引和设计，以满足不同学生的需求，从概念熟悉到实际应用全面提升。
最后，英国初中数学教材的最大价值在于其在英国数学教育改革中的重要作用。
它极大地推进了英国数学教育改革，使学生获得了理论知识和实际能力的双重提升，从而更好地发挥英国数学教育的优势，同时也为世界数学教育改革指明了方向。
总结而言，英国初中数学教材不仅做出了重大贡献，而且被广泛认为是英国数学教育改革的成果，它的深入思考式的教学方法，结合理论和应用的课文设计，及其它多种特点，共同推动了英国数学教育改革，帮助学生收获深入理解和应用能力，成为世界数学教育改革的典范。
国际数学课程改革的发展趋势
国际数学课程改革的发展趋势科学技术迅猛发展，特殊是计算机技术的飞速发展，冲击着原来数学课程与教学模式，数学教育的目的、内容重点和教学手段等诸多方面都由现了新的变化。
随着现代科学技术的迅速发展，各行各业都用到数学，数学成为公民必须的文化素质，数学教育大众化是时代的要求，国际数学课程改革正是在这样的背景上展开的。
国际数学课程改革的趋势是：强调数学课程的应用性和实践性目前，现实数学观点得到国际数学教育界的普遍认同，也为泛博数学教师所接受。
这一思想表明：第一，学校数学具有现实的性质 (数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去)；第二，学生应该用现实的方法学习数学(通过熟悉的现实生活自己逐步发现和得由数学结论)。
这种观点集中体现在强调数学应用和培养学生的实践能力方面。
数学课程的应用性和实践性成为国际数学课程改革的一个基本趋势。
英国数学课程在应用性、实践性方面的特点就令人瞩目。
世纪年代末，英国国家课程委员会认为数学教育的主要问题是基础知识的数学和应用能力的培养之间存在互相脱节的现象，因此提由了有关加强数学应用能力培养的意见。
英国数学课程十分重视培养学生数学应用能力，并形成为了系统化的体系。
这一体系表现在以下几个方面：第一，数学应用在英国数学课程标准中被确定为单独的数学目标，在所有四个学段都对学生进行应用能力的系统训练。
第二，英国国家课程委员会要求，所有学校都要重视数学应用能力的培养。
教师在制定计划时，非但要保证学生育充分时间从事数学实践活动，同时在基础知识教学和基本技能训练中，也要充分贯彻数学应用的思想。
第三，对学生数学应用能力的要求，非但反映在课程标准中，亦体现在国家统考大纲中。
第四，国家数学课程对数学应用有如下三个要求：在实践工作处理问题以及使用物质材料的过程中，获取知识和技能，增进理解；运用数学解决一系列现实生活问题，处理由课程其它领域或者其它学科提由的问题；对数学内部的规律和原理进行探索研究。
英国国家课程委员会提由自低年级起就注重培养真应用能力。
面向21世纪的小学数学课程改革与发展
面向21世纪的小学数学课程改革与发展卢江21世纪即将到来，人类社会正在步入信息时代，社会的发展要求教育培养出适应现代化社会生存与发展的人才。
数学是基础教育的核心课程，数学教育的改革与发展直接影响着教育的质量、人才素质的培养。
特别是随着信息化社会的到来，数学的应用在不断地深化和扩展，科学家们展望，在下个世纪里，数学的知识和技术将成为社会公民日常生活和工作中所必需的一种通用技术。
面向21世纪，用教育现代化的观点审视目前的中小学数学教育是十分必要的。
数学教育的改革必须在现有的数学教育成果基础上，以未来社会对人才素质的要求为依据，重新认识数学教育的目的和内容，探讨如何开发学生的潜能、发展他们的能力。
本文结合主要发达国家的改革思想、经验，以及我国小学数学课程改革中的一些成果，阐述笔者对小学数学课程和教材进一步改革的一些粗浅见解。
一、数学教育改革是科技发展、社会进步的必然趋势由于数学在科学技术发展、社会进步中的重要作用，面对未来国际间的竞争，各主要发达国家都非常重视数学教育的质量。
80年代以来，纷纷提出数学教育改革的新观点、新方案，力图通过合理、科学的变革，获得高质量的数学教育成果。
1989年，美国国家研究委员会发布了关于美国数学教育的末来的报告《人人关心数学教育的未来》，全美数学教师理事会公布了新的《学校数学课程与评价标准》等文献，阐明了改革美国数学教育的必要性、提出了数学教育改革的目标，逐步建立起数学教育改革全国性的共识。
美国有关人士认为：对所有学生进行优质的数学教育是兴旺发达的经济所必需的。
为了在未来的世界中，美国能维持其强国的地位，在本世纪末美国要有世界最好的数学教育。
1988年，英国议会颁发了教育改革法，建立了国家课程（义务教育阶段）。
国家课程数学对于英国中小学数学教育改革有着深刻的影响。
1989年英国颁布了国家《数学课程标准》，经几次修订，于1995年颁布了最新的国家《数学课程标准》。
这一课程标准在内容安排上，一改传统的安排体系，分为：运用和应用数学、数、代数、图形和空间、数据的处理五大块。
国外小学数学教学方法改革情况
一提出改革小学数学教学方法的原因小学数学教学方法的改革，早在第二次世界大战以后，有些国家就在进行研究。
例如，1956年英国就有人提出，教学方法要适应儿童不同能力的发展。
但是大力地宣传和推进改革，还是六十年代以后的事。
在提倡数学教育现代化运动的初期，主要是数学教学内容的改革。
六十年代以后，由于小学数学教学目的的改变和教学内容的改革，传统的教学方法越来越不适应新形势的要求，纷纷提出要加以改革。
归纳起来，主要有以下几点理由。
（一）传统的教学方法不能适应发展学生能力的要求这不只是数学一科的问题。
许多心理学家、教育学家指出，传统的教学方法主要特点，一是“单纯地传授知识”，忽视培养学生能力，特别是思维能力；二是把儿童的接受能力估计过低，“多次单调的重复”，不能调动学生的学习积极性。
他们认为，在科学技术迅速发展、知识不断增加的情况下，单是传授知识已经不够了，必须培养学生的能力，“教会学生独立工作和创造性思考的本领。
”根据这一新的要求，有必要对传统的教学方法做相应的改革。
（二）教材的改革必须伴随以教学方法的改革实行数学教育现代化，中小学数学的教学内容增加很多。
这些内容要提早教给儿童，再用传统的教学方法显然是不行的，必须相应地改革教学方法。
瑞士心理学家皮亚杰提出，要“制定现代的教学方法来教现代数学”。
美国心理学家布鲁纳说，“选择一定的教法，有可能把自然科学和数学的基本概念教给比传统年龄轻得多的儿童。
”美国数学教育全国咨询委员会通过调查，认为数学教育现代化未能成功，不完全是教材问题，跟教法没有作相应的改革有很大关系。
1980年第四届国际数学教育会议期间，有很多关于教学方法的专题讨论。
（三）现代教学技术有了很大的发展，也促进了教学方法的改革二小学数学教学方法改革的趋向根据所看到的一些材料，在小学数学教学方法改革方面，大致有以下几个趋向。
（一）强调提高教学效率（二）强调发挥学生的积极性，鼓励学生独立发现和探索传统的教学法是灌输式，把学生看作容器，不注意发展学生的智力，不能适应时代的要求。
培利—克莱因的数学教育改革
培利—克莱因的数学教育改革19世纪末期，欧洲许多国家生产力和科学技术迅猛发展，对人才的需求发生了巨大变化。
当时号称“世界银行”、“世界工厂”的老牌资本主义国家英国率先开始了对19世纪数学教育的批判。
同时，其他一些资本主义国家也都积极地响应。
由此导致了20世纪初世界范围的数学教育改革运动。
其代表人物首推英国的培利(J．Perry，1850～1920)和德国的克莱因(F．Klein，1849一1925)。
1901年，培利在题为《数学的教学》的著名报告中，针对传统数学教育的诸多弊端，提出了数学教育改革的鲜明主张。
◆要从欧几里得《原本》的束缚中解脱出来；◆给予实验几何充分的重视；◆重视实际的测量问题和近似计算的问题；◆充分利用坐标纸；◆增加立体几何(包括画法几何)的内容；◆更多地利用几何直观；◆尽早引入“微积分”的知识。
这些主张给当时保守的英国数学教育以强烈冲击。
为了说明这些主张，培利还论述了数学教育的作用以及数学教育的目标和意义。
◆通过数学教育培养高尚情操和愉悦的心情。
◆通过启发学生的主动思考，培养逻辑思维能力。
◆使学生认识到数学是学习、研究自然科学的有力武器。
◆通过学生亲身动手实验，训练数学技能。
◆让每个学生都能像运用自己手脚那样运用数学逻辑进行思考，这样将会终身受益，不断进步。
◆教育学生主动地探求事物本身的规律，不固执己见，也不盲从权威。
◆让从事应用科学的人懂得，数学是应用科学的基础，数学能够促进应用科学得到发展。
◆为了防止哲学空洞、抽象的发展，数学应该成为哲学思考的基础，能够给哲学研究者提供迅速、准确的逻辑思维方法。
在数学教学方法方面，培利反对“学究式”的教学，也就是把数学的过程描述为空洞的逻辑推理的过程。
提倡结合实际问题进而激发学生学习兴趣的教学方式。
在数学学习过程方面，培利提倡积极主动，独立思考的学习方式。
他说：“按我的经验，一般的人都可以成为知识的发现者和创造者。
而且这种锻炼越早越好。
对于简单的事物，与其教师指出，不如让学生自己去发现。
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一、柯克克洛夫特报告简介70年代，"新数学"运动受到公众的批评，英国一些地区开展了"回到基础"的运动，但是数学教育状况未见明显好转，许多中学毕业生缺乏生活和工作所必需的数学能力。
这种情况引起了英国政府的重视。
1978年，根据议会的建议，决定成立国家学校数学教育研究委员会，其成员有中小学教师、教育界人士、数学界人士、政府官员、企业家、工会领导人等，主席是柯克克洛夫特博士，所以这个委员会又称柯克克洛夫特委员会。
经过三年的调查研究工作，这个委员会于1982年1月公布了一份《数学算数（Mathematics Counts）》的报告，即通常所称的柯克克洛夫特报告（以下简称"报告"）。
"报告"得到了广大教师和行政官员的高度评价，得到了国会的认可，认为"报告对整个中小学数学教育做了中肯的分析唱出的改革数学教学的建议应及时采用"。
这个报告也受到许多国家数学教育家的重视，1984年在第五届国际数学教学会议（ICME5）上散发了这个报告，引起了深入的讨论。
报告包括三个部分：（1）分析成年人生活工作、以及进一步学习对教学的要求。
（2）根据上述需要建立和谐的数学课程。
（3）提出保证良好的数学教育水平的条件，特别是强调对教师的培养。
"报告"提出了六个要素，这些要素是对所有年龄和各个教学水平的学生进行成功的数学教育所必须具备的。
这六个要素是："各水平的数学教育应该预见到由教师去说明教材的可能性；教师与学生、学生与学生之间对教材的讨论；适当的实践作业；学生的基本技能的培养及其在实践中应用为目的的训练；问题解决，包括在日常生活中的应用；研究工作？"报告"否定"回到基础"的口号，单同时强调必须使学生获得一定的口算、笔算以及近似与估算的技能。
针对轻视心算的状况"报告"认为"在数学课中削弱心算和口算，意味着不能认识心算在整个数学中所占有的中心地位"，提倡心算、笔算和计算器方法的灵活运用。
"报告"强调指出，相同年龄的学生的数学学习存在很大的差别。
例如，通过对不同年龄组的儿童进行大范围的测试结果的分析，委员会得到这样的结论：在理解数字的位值时"存在着7岁的差距"。
例如写出比6399大1的数，通常是11岁的中等学生能完成的，但是确有一些14岁的学生不会做，而也有7岁的儿童能够完成。
对于其他问题再有类似的比较。
因此，在教学大纲中应该注意同一年龄的学生在理解和形成技能的水平上所存在很大的差别。
"报告"认为在编制教学大纲时从高到低的做法是不可取的。
所谓"从高到低"，就是从为知识发展水平高的学生设计的大纲出发，通过删减一些困难问题或降低其他问题的研究深度，编制出为知识水平较低的学生所用的大纲。
"报告"主张"从低到高"来编制大纲，即首先研究适合于低水平学生发展的教材内容，然后随着儿童发展水平的提高逐步扩充。
如下原则是基本的：在建立教学教育时，无论什么问题，如果不可能用适当的方法为面临研究该问题的儿童所发现，那么这样的问题就不能列入大纲之中。
因此，需要建立"区别化的大纲"，即必须针对中学生的各种能力水平设计不同的数学课程。
作为出发点，柯克克洛夫特报告列出了一张关于数学课程内容的"基础表"认为它应是全体11－16岁的中学生数学大纲的组成部分，它应是数学能力最低的那些学生（约占40％）的基本学习内容。
"基础表"将全体学生所必需的能力分成三个主要方面：（1）在不同的情境下读数学、写数学和谈论数学（2）用不同的形式进行计算：心算、笔算和"机算"（用计算机、计算器）（3）将计算和一定单位制下的度量相结合，会将一种度量单位转换成另一种度量单位。
"基础表"按如下十个标题列出了对学生知识与能力的要求：数；钱币；百分数；计算工具的使用；时间；度量；图表与图示；空间观念；比和比例；统计思想。
每一部分列出了内容要求与教学建议。
能力水平较高的学生有可能在16岁之前就完全或几乎完全掌握"基础表"的内容，因此对他们来说大纲应作适当扩充与加深。
在每一教学阶段，学生都可以在其能力许可的范围内扩充与加深自己的数学知识。
在中学学习一开始就要特别注意有天赋的学生的教育，要给他们提供足够的数学内容，否则这部分学生就会对数学失去兴趣并在以后很难恢复。
"报告"注意到考试对于学校教育工作的内容与安排的影响，提出了任何数学考试都应遵循的两条基本原则：一是试题与其他测试方法，应该考查学生懂得哪些知识，而不是考查学生不知道哪些知识；二是考试不应提出使学生为难的问题，不应伤害学生的自信心。
"数学课的限时笔试不可能真正评价学生的实际研究工作或更广意义下工作的能力，也不可能评价心算能力和数学推理的能力"。
如果考试仅仅采用限时笔试，这就迫使教师去教学生如何应付考试，在教学过程中提供类似的作业，在日常教学过程中排挤实践活动与探究工作的时间和地位。
为此，"报告"建议应注意教师对学生知识的评价。
"报告"认为需要评价（测试）数学能力水平较低的学生成绩的方法。
对"后进生"的评价，也不应局限于计算能力，而首要的是要考查他们将数学应用于解决日常生活问题，如购物、旅行、家庭经济、安排休息等能力，计算能力的考查应与这些活动结合起来进行。
委员会建议对考试方法的改革作进一步的研究，以便能考察"后进生"的进步。
对于中学高年级（16－19岁）的数学课程，"报告"认为，尽管许多人将数学作为继续学习大学课程的基础科目，但并不全部是这样的，更何况进入大学的学生也并不都是研究数学的，因此，高年级的数学课程不仅要为进一步的学习奠定基础，而且应建立和谐的课程。
"报告"十分强调数学教育的目的是培养学生的能力，认为仅仅依赖于教师讲解的教学方法是消极的被动的，最重要的是通过学生独立的研究、讨论发展解题技能，并转化为自己的思想，从而提高学生将数学应用于研究和工作的自信心。
传统的高年级数学往往被人们认为是非常专门化的枯燥的科目，与生活及其他科目（除物理外）联系很少。
"报告"认为应该把重点转移到数学应用的方法与领域的多样性上，并用各种资料去说明这些方法。
例如，社会科学使有创造精神的教师有可能去解释"数学建模"。
"报告"还认为高年级数学应包含一些应用数学的重要部分，它们既是研究的对象，也是进一步研究的工具，从而树立正确的数学观。
这样的应用数学可能有多种形式，在英格兰和威尔士的中学实践中主要是引进概率统计或力学。
报告"还提倡高年级学生阅读数学专业文献，培养独立研究数国学的能力。
另外，对于不以数学作为主攻方向的那些学生，"报告"认为应为他们设计合适的数学课程，重点要放在理解上。
其主要目的是发展数学思维和扩充已有的知识，但不必对运算能力提出更高的要求。
例如，在学习数学分析时，不应花时间在复杂函数的微分与积分的技巧上。
课本应说明应用数学知识的方法，包括研究数学的历史发展的途径。
关于计算器和计算机，"报告"认为，电子计算机的日益普及对数学教育有深远的影响。
"报告"提出应该认真研究的两个基本问题：一是用什么途径应用计算器以便改善和简化教学过程；二是在怎样的程度上采用计算器可能改变教学内容，将大纲中的重点转移到另一些课题。
"报告"建议，无论是小学还是中学，数学教学都应该把计算器作为辅助方法来应用。
"报告"还说："微机在学校中的日益普及使数学教师从根本上有可能扩充数学的实际应用，也有可能组织目前尚未知道的新的工作方法"特别应注意使用微机对于个别学生尤其是知识水平高的学生的积极作用。
此外，"报告"还非常注意教师的培养，对于数学教师的职前培训|和对在职教师的帮助等问题也提出了不少建议。
限于篇幅，在这里就不细说了。
二，英国中小学数学教学的特点。
柯克克洛夫特报告反映了英国80年代以来数学教学改革的基本思想。
从第二、三节的介绍可以看到，英国新的课程大纲和教材具体体现了"报告"的精神，采纳了"报告"的建议，从这些材料读者不难看出英国中小学数学教学的一些特点。
作为本章的小结，我们对此作一概括，并作适当的补充。
1.区别化。
区别化是英国数学教学的一个显著特点。
英国不少数学教育家的研究表明，儿童对于概念的理解存在着明显的差异，这是实行区别化的主要理论依据。
并且，在多年的实践中积累了丰富的、有创造性的经验，这已在英国中小学数学课程大纲、教材和教学方法等方面有明显的反映。
例如国家课程的水平区别化；第6学级数学课程的分流并实行必修加选修的结构，设计广泛的弹性课程；教材的多样性以及教学进度的灵活性等等。
在教学活动的组织上，同一年龄段的学生按其能力水平不同分班教学，即使同一个班级，数学课也常常创造各种条件使学生按各自。
的进度安排学习活动。
2注重应用。
英国教育改革法（ERA，1988）第一节认为，学校必须提供宽广而和谐的课程，一方面它应促进学生精神、道德、文化、智力和身体的发展，另一方面应为学生准备好成年人生活的机会、责任感与经验。
从英国中小学数学课程的目标与内容可以看出，他们首先考虑的是满足所有学生今后生活和工作的需要，柯克克洛夫特报告的"基础表"的所有内容都列入了国家课程的前几个水平中。
《国家课程中的数学》将成绩目标分成五大块并据此安排教学内它不仅将"运用和应用学"单独列为一项成绩目标，而且贯穿于整个数学课程，成为其他四项目标的灵魂与核心，强调有关知识、技能和理解力的应用。
"运用和应用数学"十分注意面对解决实际问题与日常生活问题，包括提出问题、设计任务、作出计划、收集信息、选用数学、运用策略、获得结论、检验和解释结果等等，而不是局限在书本上现成的"问题"。
例如，为研究最好的储蓄方式（或地点），就要去调查各家银行不同存款形式、期限的利率；研究公用电话的位置等等。
"数据处理"是传统中学数学没有的，在国家课程中它不仅占有很大的比重，而且其目标也突出应用于解决实际问题，而并不仅仅是理解一些统计概念，做一些用已知数据进行计算的练习。