北大附属学校2017届高一实验班选拔考试数学(试卷含参考答案)

A. 2014
B. 2015
C. 2016
D.2017
二、填空题（每小题 3 分，共 10 小题）
6.已知 x1, x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 − 6x + k = 0 的两个实数根，且 x12 x22 − x1 − x2 = 115 ,
则 x12 + x22 + 8 =
；
7.已知关于 x 的不等式 2x2 + px + q < 0 的解为 − 2 < x < 1，则不等式 px2 + qx + 2 > 0 的解为
A. 5
B. -5
C. 1
D.-1
2.设 a = 10 ， b = 7 +1， c = 3 + 2 ，则 a,b, c 的大小关系是( )
A. a > b > c
B. b > c > a C. c > a > b D. b > a > c
3.从分别写有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，
1 4×5
+L+
98 ×
1 99 ×100
=
；
15.定义：min{a, b, c}表示
a,
b,
c
中的最小值，则
min ⎩⎨⎧ 34
x
+
4 3
,
x2
,
8 x
⎫ ⎬ ⎭
的最大值是
.
数学试卷 第 2 页（共八页）
三、解答题（共 6 小题，共 55 分） 16．（本题 6 分）
已知一棵树 AB 直立于地面上，某次台风来袭将该树刮断，如图所示，被刮倾斜 15o 后折断
北大附属学校 2017 届高一实验班选拔考试
数学
（考试时间：90 分钟 满分：100 分）
友情提示：请将答案填写在答题卷中，写在试卷上不得分．
一、选择题（每小题 3 分，共 5 题，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. a 是 2 的相反数， b 是 9 的算术平方根，则 a + b = ( )
20.（本题 10 分）
如图，由 n × n 条直线将平面分成若干个边长为 1 的正方形，点 O，A，B 均在正方形格子的 顶点（格点）处，其中点 O 与点 A 位于同一水平线上，相距 a 格，点 O 与点 B 位于同一竖直线 上，相距 b 格，且 a ， b 互质. （Ⅰ）求证： ΔOAB 边上的格点个数为 a + b +1； （Ⅱ）若 8 < b < a ，在 ΔOAB 中（包括三条边）共有 67 个格点，求 a ， b 的值.
倒在地上，树的顶部恰好接触到地面 D，量得树干的倾斜角 ∠ADC = 60o , AD = 2 米，求这棵树
AB 原来的高度是多少？
17．（本题 8 分）
（Ⅰ）化简：
⎜⎛ ⎝
m −1 m
−
m m
− +
2 1
⎟⎞ ⎠ห้องสมุดไป่ตู้
÷
2m2 − m m2 + 2m +
1
×
m2 m+
1
；
（Ⅱ）已知 a = x + 2014,b = x + 2013,c = x + 2015 ，
19．（本题 10 分）
如图，点 D 是 AB 上的一点，P 是 ΔABC 外接圆上一点，使得 ∠ADP = ∠ACB ，且 AP = 2 ， ∠APD = 300 （点 O 为 ΔABC 外接圆的圆心）.
（Ⅰ）求证： AP2 = AB ⋅ AD ； （Ⅱ）求 ΔABC 外接圆的半径 R .
数学试卷 第 3 页（共八页）
；
8.二次函数 y = x2 + bx + c 的图像与 x 轴正方向交于 A，B 两点，与 y轴正方向交于点 C ，已知
AB = 3AC ， ∠CAO = 300 ，则 c =
；
9.已知函数 y =
2
，则函数的最大值是
；
1− x(1− x)
数学试卷 第 1 页（共八页）
10. 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形 OAB 内
第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是 3 的倍数的概率是( )
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
10
1
D.
2
4.设 a < b < 0 ， a2 + b2 = 4ab ，则 a + b 的值为 (
)
a−b
A. 3
B. 6
C. 2
D. 3
5.已知 x + x −1 + y −1 + y − 2014 = 2014 ，则 3x + y 的最大值是( )
；
第 10 题
第 11 题
第 12 题
x2 −1
13.已知函数 y =
的图象与函数 y = k 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围
x −1
是
；
14.在数式变换中有： 1 = 1 − 1 （其中 n 为正整数），某位同学利用这个变换关系处理 n(n +1) n n +1
以下问题：
1 1× 2
+
随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
；
11.在数学活动中，某位同学为了求
1 2
+
1 22
+
1 23
+
1 24
+L+
1 2n
的值（结果用 n
表示），设计如
图所示的几何图形，请你利用这个几何图形计算
1 2
+
1 22
+
1 23
+
1 24
+L+
1 2n
=
；
12.如图，半径为 r 的四个小圆两两外切，并都内切于半径为 R 的圆内，则 r : R =
2014
2014
2014
求代数式 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac 的值.
18．（本题 8 分）
在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 的图像与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于
A, B 两点，且使得 ΔOAB 的面积值等于| OA | + | OB | +3 . （Ⅰ）用 b 表示 k ； （Ⅱ）求 ΔOAB 面积的最小值.
2
1 ×
3
+
3
1 ×
4
+
L
+
99
1 ×100
=
⎜⎛ ⎝
1 1
−
1 2
⎟⎞ ⎠
+
⎜⎛ ⎝
1 2
−
1 3
⎟⎞ ⎠
+
⎜⎛ ⎝
1 3
−
1 4
⎟⎞ ⎠
+
L
+
⎜⎛ ⎝
1 99
−
1 100
⎟⎞ ⎠
= 1− 1 = 99 ； 100 100
现模仿该同学的处理方法，则下列式子的值：
1×
1 2×3
+
1 2×3×
4
+
3×
21．（本题 13 分）
定义 [a,b,c]为函数 y = ax2 + bx + c 的特征数，以特征数为 [1,b,−c]的函数图象经过两点
P(1, a),Q(2,10a) . （Ⅰ）若 a,b,c 都是整数，且 c < b < 8a ，求 a + b + c 的值；
（Ⅱ）若特征数为 [1,b,−c]的函数图象与 x 轴的交点为 A,B（其中 A,B 两点的横坐标都为整数），