物理第二章 流体的运动

第二章 流体的运动
流体：包括气体、液体
流体的基本特征：流动性，无固定形状 流体运动的学科称为流体动力学 ？理想流体、稳定流动
连续性方程、伯努利方程 ？？实际流体
粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律
第一节 理想流体 稳定流动
一、理想流体 实际流体
可缩体，体积随压强不同 而改变。液体的体 积变化小，气体的体积变化大。
流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所 围成的细管
2、稳定流动 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形
状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹
3、性质 （1）流线不能相交 （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流
出去
第二节 连续性方程 伯努利方程
一、理想流体的连续性方程
3、雷诺数 雷诺数Re 说明：
Re vr
（1）Re < 1000时，流体作层流
（2）Re > 1500时，流体作湍流
（3）1000 < Re < 1500时，流体流动不稳定
例2-3 主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、粘度、密度
分别为0.25m/s 、0.003Pa.s、1050kg/m3 ，求雷诺数并判断
1S1v1t 2S2v2t
1S1v1 2S2v2
Sv 常量
质量流量守恒定律
如果是不可压缩的流体，即有
1 2
S1v1 S2v2
Sv 常量
体积流量守恒定律
说明： 1、条件：（1）理想流体
（S1, v1）
（2）稳定流动 2、单位时间内质量流量：
Q= ρ Sv（单位：kg/s）
（S, v）
（S2, v2）
血液以何种形态流动。(Re=875)
结论：液体的粘度愈小、密度愈大，愈容易发生湍流，细管
不容易发生湍流；而弯曲的管子容易发生湍流。
二、 粘性流体的运动规律
几条竖立直管的液面说 明，粘性流体在水平管 作稳定流动时，液体的 压强是逐渐减少的，在 这里伯努力方程不再适 用，因为流动过程中动 能和势能都没有改变， 而压强逐渐减少，这种 现象只能用粘性流体在 流动过程中要克服粘滞 阻力作功来解释。
图2-9 小孔流速
对于任一流线，由伯努利方程得
由上式得
p0
gh
p0
1 2
v 2
v 2gh
结果表明，小孔处流速和物体自高度h处自由下落得到的速 度是相同的。这一关系是意大利物理学理学家、数学家托里 斥利（(E.Torricelli)首先发现的，又称为托里斥利定理。它 反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势 能与动能之间的转换关系。
Pa s m3
R f R f 1 R f 2 R fn
1 1 1 1
Rf Rf1 Rf2
R fn
例2-4 成年人主动脉的半径为。问在一段距离内的流阻和压 强降落是多少？设血流量为 ， 1.00104 m3 s1 3.0 10 3 Pa s
解：
Rf
8L
R 4
8 3.0 103 0.2
欧拉法： 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间 点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时 间的演化规律。
在流动过程中的任一瞬时，流体在所占据的空间每一 点都具有一定的流速v(x、y、z、t)， ，这个空间称为流 体速度场，简称流场。
1、流线和流管
流线： （与电力线和磁力线相似，假想线） 流速方向：流线上的切线方向 大小：与流线疏密有关，如A、B、C
3.14 (1.3102 )4
5.97 104（Pa s m3 )
P QRf 1.00104 5.97104 5.97 (Pa)
可见与平均动脉压13.3kPa相比，主动脉的血压降落是微不 足道的
2、斯托克司定律
分析：当物体在粘性流体中作匀速运动时，物体表面附着一层 流体，此层流体随物体一起运动，因而与周围流层之间存在内 摩擦力，所以物体在运动过程中必须克服这一阻力。如果物体 是球形的，且流体对于球体作层流运动，则球体所受的阻力为
W F1v1t F2v2t P1S1v1t P2S2v2t
W P1V P2V
故当流体从XY流到X'Y'时的机械能增量为：
E
E2
E1
(1 2
mv22
mgh2 )
(1 2
mv12
mgh1)
由功能原理有： W= E
P1V
P2V
(1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1)
最后整理得：
图2-8 文特利管
粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有
P1
1 2
v12
Hale Waihona Puke Baidu
P2
1 2
v2 2
由连续性方程有 S1v1 S2v2
由图可知 P1 P2 ( )gh
由以上3式，解得流量为
Q S1v1 S2v2 S1S2
2( )gh (S12 S22 )
二、流速和高度的关系（小孔流速）
第四节 粘性流体的流动
一、粘性流体的运动
1、层流和湍流
层流：粘性液体的分层流动，相邻两层之间 只作相对滑动，流层间没有横向滑动，机械 能不守恒，轴线上速度最大，管壁最小。
图2-11 粘性流体的流动
湍流：当液体在管中流速很大时，液体的流动不再保持分 层流动状态，而变成无规则的运动，这时流体的流动有垂 直管轴的分速度，而且还会出现涡流，整个流动显得杂乱 而不稳定
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v22
gh2
P 1 v2 gh 常量
2
伯努力方程
2、说明：
（1）成立条件：理想流体在流管中作稳定流动 （2）各项分别代表该点压强、单位体积内的重力势能、动能 （3）方程中三项都具有压强的量纲，注意各物理量的单位 （4）伯努利方程也叫能量守恒方程
（5）第一、二 项是与速度无关称为静压，第三项与速度有 关称为动压
（6）水平管：当h1=h2，有：
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
例2-1 设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，A点的压强为 2×105Pa，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60cm2，B 点比A点高2 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点 的流速和B点压强。
解：（1）
p1
gh1
1 2
v12
p2
gh2
1 2
v2 2
P1=P2=P0，h1=H，h2=H-h
解得：
v2 2gh
图 例2-2
从小孔射出来的水流作平抛运动，射到地面时间为
t 2(H h) g
其射程为
s v2t 2 h(H h)
（2）假设在另一个开一小孔，其离液面高度为h'，按上 述计算方法可求得其射程为
解：根据连续性方程有
SAvA SBvB
vA
Q SA
0.12 10 2
12(m / s)
vB
Q SB
0.12 0.6 102
20(m / s)
又根据伯努力方程有
PA
ghA
1 2
v A 2
PB
ghB
1 2
vB 2
PB
PA
ghA
1 2
v A2
ghB
1 2
vB 2
PA
g (h A
hB )
1 2
v A2
s 2 h(H h)
若有相同射程，即有s=s'
解得
h'=H-h
（3）要使s最大，只要求s的极大值即可
求得
最大射程为Ｈ
h H 2
三、压强与高度的关系（体位对血压的影响）
如果流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努力方程可得
P1 gh1 P2 gh2
高处压强小，低处压强大
解释体位对血压的影响 可见测血压要注意体位
f 6vR
斯托克司定律
说明：R是球体的半径，v是球体相对于流体的流速， η是 流体的粘度
设在粘性流体内一半径为R的小球受重力作用而下沉，
小球所受合力为
F 4 R3 g 4 R3g 6vR
3
3
小球在合力作用下加速下沉，速度增加，同时随速度增加， 阻力也愈来愈大，最后合力为零，它将作匀速运动。此时有
2、牛顿粘滞定律 f S dv 牛顿粘滞定律
dx
说明：
图2-12 粘性力 速 度梯度
（1）dv/dx表示速度梯度，S表示层与层的接触面积，η为流体的粘度 （2）粘度的物理意义：速度梯度为1时，单位面积上的粘滞阻力 （3）粘度的单位：Pa.s （4）粘度的大小由流体的性质和温度决定 （5）牛顿流体和非牛顿流体：遵守牛顿粘滞定律的流体为牛顿流体，如水 和血浆；不遵守牛顿粘滞定律的流体为非牛顿流体，如血液
实际上水柱自小孔流出时截面有所收缩，用有效截面S'代 替S，则有
Q Sv S 2gh
例2-2 一开口水槽中的水深为H，如图例2-2所示。在水面下h 深处开一小孔。问：（1）射出的水流在地板上的射程S是多 大?（2）在水槽的其他深度处，能否再开一小孔，其射出的 水流有相同的射程？（3）小孔开在水面下的深度h多大时， 射程最远？射程多长？
大容器下部有一小孔，小孔的 面积比容器内液体自由表面的 小很多，液体可视为理想流体， 根据连续性方程，小孔处流出 液体时，容器自由表面高度h 下降非常缓慢，可近似为自由 表面的速度为零。实际上，随 着液面的下降，小孔处的流速 也会逐渐下降，严格说来，并 不是稳定流动。但因小孔径极 小，若观测时间很短，液面高 度没有明显变化，仍然可以看 作稳定流动
1 2
vB 2
5.24 104 (Pa)
第三节 伯努利方程的应用
一、压强与流速的关系
水平管中作稳定流动时
P 1 v2 常量
2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
1、空吸作用
A处和C处的横截面积远大于B处的横截面积。在A处 加一个外力使管中流体由A向B 处流动。B处的流速必 远大于A处和C处的流速，B处的压强小。若增加流管 中流体的流速，可以使B 处的流速增到很大，而使B 处的压强很小，于是D容器中的流体因受大气压强的 作用被压缩到B处，而被水平管中的流体带走。这种 作用叫空吸作用。
3、单位时间内体积流量：
V=Sv（单位：m3/s）
4、S与v成反比，S大v小，S小v大。
5、流管有分支时：
Sv S1v1 S2v2
二、伯努力方程
1、伯努力方程的推导
利用功能原理来进行推导 截取一段流体XY作研究对象
各物理量见图所示，经过 t时 间变为X'和Y'
F1=P1S1 F2=P2S2 故当流体从XY流到X'Y'时外力所作功为：
都有粘性，很多流体的粘性小，在小范 围流动时，粘性造成的影响可以忽略。
理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性
二、稳定流动
研究流体运动的方法有两种
拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个 流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。 这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。
在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都 可以看成均匀的，即（ρ1、S1、v1）和（ ρ 2、S2、v2） 经过 t时间，通过截面S1流入流管质量为
m1 1(v1t)S1 1S1v1t
经过 t时间，通过截面S2流出流管质量为
m2 2 (v2t)S2 2S2v2t
根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m1=m2，即
P Q
Rf
式中
Rf
8L R 4
称为流阻
其物理意义是：当粘性流体流过一个水平均匀细管时，体积 流量与管子两端的压强差成正比，而与流阻成反比。
值得注意的是，流阻与管半径的四次方成反比，半径的微小 变化就会对流阻造成很大的影响。血管可以收缩和舒张，其 半径变化对血液流量的影响是很显著的。
流阻的单位： 流阻的串并联
图2-5 空吸作用
2、流速计（皮托管）
图2-6 流速计原理
分析：皮托管是粗细均匀的水平管，a是一根直管，b是一根直 角弯管，直管下端的管口截面与流线平行（c处），弯管下端的 管口截面与流线垂直（d处），在d处形成速度为零的滞流区。
比较图c、d两处的压强可得
Pc
1 2
v 2
Pd
由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出c、
d两点的高度差，即可求得流速
图2-7 皮托管
由上式可得
图2-7是一种皮托管的简单装置
测量时放在待测流速的流体中，2 处流速为零，形成滞流区，1孔的 孔面平行于流线，流速不为零
两处的压强差可从U形管中液面的 高度差测得，即
PA PM
1 v2
2
gh
v 2 gh
3、流量计
如图所示，在变截面的水平管的 下方，装有U形管，内装水银，测量 水平管内的流速时，可将流量计串联 于管道中，根据水银面的高度差，即 可求出流量或流速。
图2-13 粘性流体在水平管中的压强分布
结论：要使粘性流体匀速流体，两
端必须有压强差
1、泊肃叶公式 粘性流体在等截面水平细管作稳定流动时，如果雷诺数
不大，则流动的形态是层流。
泊肃叶公式： 说明：
图2-14 泊肃叶公式的 推导
Q R 4P 8L
式中R是管子的半径，η是流体的粘度，L是管子的长度。
泊肃叶公式又可写成如下形式