热力学统计物理_答案

1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：

()ln T V =αdT κdp -⎰ 如果1

1,T T p

ακ==，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为

(),,V V T p =

其全微分为

.p T

V V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有

11.p T

dV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为

.T dV dT dp V

ακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有

()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3） 若11,T T p

ακ==，式（3）可表为

11ln .V dT dp T p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体

积由0V 最终变到V ，有

000

ln =ln ln ,V T p V T p - 即

000

p V pV C T T ==（常量）， 或

.pV CT = （5）

式（5）就是由所给11,T T p

ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。

1.10 声波在气体中的传播速度为

p αρ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u 和焓h 可由声速及γ给出：

()2

1a a u u h h γγγ=+=+-200

,-1 其中00,u h 为常量。

解：根据式（1.8.9），声速a 的平方为

2v,a p γ= （1）

其中v 是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为

,m pV RT m

+= 式中m 是气体的质量，m +是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体，有 1v ,p RT m +=

（2） 代入式（1）得

2.a RT m γ

+= （3）

以,u h 表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。 由式（1.7.10）—（1.7.12）知

0,1

RT m u m u γ++=+- 0.1

RT m h m h γγ++=+- （4） 将式（3）代入，即有

2

0,(1)

a u u γγ=+- 2

0.1

a h h γ=+- （5） 式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和γ即可确定气体的比内能和比焓。

1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由1T 升至2T 。 假设γ是

常数，试证明前者的熵增加值为后者的γ倍。

解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为

0ln ln .p S C T nR p S =-+ （1）

在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为

21

ln .p p T S C T ∆= （2） 根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为

0ln ln .V S C T nR V S =++ （3）

在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为

21

ln .V V T S C T ∆= （4） 所以

.p

p V V S C S C γ∆==∆ （5）

1.21 物体的初温1T ，高于热源的温度2T ，有一热机在此物体与热源之间工

作，直到将物体的温度降低到2T 为止，若热机从物体吸取的热量为Q ，试根据

熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为

max 212()W Q T S S =--

其中12S S -是物体的熵减少量。

解：以,a b S S ∆∆和c S ∆分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵

的相加性知，整个系统的熵变为

.a b c S S S S ∆=∆+∆+∆

由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求

0.a b c S S S S ∆=∆+∆+∆≥ （1）

以12,S S 分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为

21.a S S S ∆=- （2）

热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即

0.b S ∆= （3）

以Q 表示热机从物体吸取的热量，Q '表示热机在热源放出的热量，W 表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有

,Q Q W '=+

所以热源的熵变为

22

.c Q Q W S T T '-∆== （4） 将式（2）—（4）代入式（1），即有

212

0.Q W S S T --+≥ （5） 上式取等号时，热机输出的功最大，故

()max 212.W Q T S S =-- （6）

式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。

2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：

(),p f V T =

试证明其内能与体积无关.

解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：

(),p f V T = （1） 故有

().V

p f V T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （2） 但根据式（2.2.7），有

,T V U p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以 ()0.T

U Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.

2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落. 解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S T p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭和H

T p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为 .P T

S S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS =，故有 .T P p S P

S V T p T T S p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （1） 最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.

焓(,)H T p 的全微分为