一种有限变形情况下高聚物本构模型

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　科技创新导报　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ科　研　报　告
２００８ ＮＯ．３６
Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ１　引言
粘弹性变形是指高聚物在外力作用下的既不符合虎克定律，又不符合牛顿定律，而是介于弹性和粘性之间，应力同时依赖于应变和应变率的一种变形。

许多研究者就提出过不同的模型，如一根弹簧和一个粘壶的并联模型（ｋｅｌｖｉｎ－Ｖｏｉｇｔ模型）、串联模型（Ｍａｘｗｅｌｌ模型）、标准固体模型以及四元件模型等等。

本文对经典的粘弹性模型进行了修改。

弹塑性变形采用率无关本构关系，关于有限弹塑性变形的唯象理论，Ｎｅｍａｎｔ－Ｎａｓｓｅｒ和Ｎａｇｂｄｉ做过全面的讨论。

在经典的率无关弹塑性理论中，有限变形通常分解成塑性变形和弹性变形两个部分，这两个部分分别通过各自的控制方程来描述。

但同时也存在着两个问题，（１）有限变形中变形率分解成弹性、塑性两部分之和来理解，（２）率（微分）型本构方程中张量客观率（导数）的选择。

许多研究者提出了多种客观率，其中经典的客观率有物质共旋率、相对共旋率（Ｄｉｅｎｅｓ，１９７９）、欧拉标架共旋率（Ｓｏｗｅｒｂｙ，１９８４）。

但是至今不能证明任何一种客观应力率对于弹塑性本构关系是正确的。

采用上面的几种常见客观应力率本构关系退化到弹性时，即次弹性模型，与一般的弹性理论不一致。

２　一维粘弹塑性本构模型
一维粘弹性本构模型是在标准线性固体的改进（Ｓ．Ｇ．Ｂａｒｄｅｎｈａｇｅｎ，１９９７），由Ｍａｘｗｅｌｌ模型和一个线性弹簧并联组成．线弹性弹簧应力应变
关系可以写成
，这里Ｅｓ
、εｓ
分别是应力和应变。

线性粘壶
的变形关系
是
，这里
，分别指的应力和应变率，
η
ｄ
指的是粘度。

本文把粘度看成一个关于应变率的函数，按照非牛顿体表示为（Ｂｉｒｄ　ｅｔ　ａｌ，１９９７）。

（１）
控制方程我们可以表示成，准固体模型的应力可以写成Ｍａｘｗｅｌｌ模型的应力σＶ和弹簧部分的应力σＥ。

Ｍａｘ－ｗｅｌｌ模型和线性弹簧的控制方程我们可以
分
别表
示成
，
，。

根据上式控制
方程可以写成
一维粘塑性本构关系模型的思想就是在一维粘弹性模型的基础上加上一个弹塑性弹簧。

弹塑性弹簧是一个滑动单元，弹性模量为Ｅ，当单元应力大于滑动应
力Ｙ时，模量为
，这里
是非线性弹簧的应力应变关系，
，弹塑性弹簧的
本
构关
系
根据塑性流动率我们可以写成
（２）
这里是屈服面，一维模型的
控制方程为（
）
（３）
３　三维粘弹塑性本构模型
取Ｌａｇｒａｎｇｅ坐标系ＸＡ与Ｅｕｌｅｒ坐标系x i 重合的直角坐标系，速度，变
形梯度Ｆij ，速度梯度Ｌij 和变形率张量Ｄij 。

对于各向同性材料，我们分别通过体积部分和偏量部分两部
分考
虑。

三维有限变形下的控制方
程可
以写成
（
）（Ｓ．Ｇ．　Ｂａｒｄｅｎｈａｇｅｎ，１９９７）
（４）
这里的指的是客观应力率，通过式（２）我们可以得到三维情况下
的关系为
（５）
根据一维情况下（５）式和塑性流动率，我
们可
以得
到
（６）
这里J ２是弹塑性应力的
第二
不变量
，
是
塑性
变形率，
（塑性变形是不可压缩的），是等效塑性应变率。

４　简单剪切变形计算
简单剪切变形往往作为各种理论比较的算例。

它的运动方程为x １＝X １＋kX ２，x ２＝X ２，x ３＝X ３。

式中x i 和X i （i ＝１，２，３）分别是即时和初始构形的直笛尔坐标。

我们可以求出变形梯度F
，变形率D ，物质旋率W ，相对旋率
，以及对数旋率Ωlog 。

（Ｂｒ
ｕ
ｈｎｓ，
１９９９）
采用本文给出的本构模型和旋率取作对数旋率，计算粘弹性部分简单剪切变形时的应力响应。

图１为粘弹性部分应为曲线。

５　小结与展望
本文以粘壶和线性弹簧为出发点，提出了三维有限变形下粘弹塑性本构模型，结和塑性应变流理论，提出了各向同性材料的本构关系。

近几十年来，科学家们进行了积极的探索，对高分子材料非线性粘弹性本构关系进行了较为细致的研究。

高分子材料的本构关系通常采用两种理论来描述，一种是连续介质力学理论，另一种是
分子网络理论。

无论哪一种理论都是为了能尽可能完善的对高聚物的本构进行研究。

目前已经有许多不同的高聚物本构模型，但是没有一种本构模型可以说是完美无缺的，因为在高聚物本构研究领域还有许多未能解决的问题。

参考文献
［１］　Ｂｒｕｈｎｓ　Ｏ，Ｘｉａｏ　Ｈ，Ｍｅｙｅｒｓ，Ａ．，Ｓｅｌｆ－
ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ　Ｅｌｅｒｉａｎ　ｒａｔｅ　ｔｙｐｅ
一种有限变形情况下高聚物本构模型
叶飞
（宁波大学 浙江宁波 ３１５２１１）
摘　要：根据一维弹簧和阻尼器的组合，我们模拟了高聚物率相关性、应力松弛和徐变。

以此为出发点，我们建立了三维有限变形下高聚物的本构模型。

模型中，采用了粘弹性和弹塑性并联组合，在粘弹性中，本文客观应力率采用了对数共旋应力率，弹塑性分析中采用了有限变形的弹塑性变形分解，这种分析不同于变形率的弹塑性和式分解，也不同于Ｌｅｅ的变形梯度弹塑性乘积分解，本构关系客观性要求体现在率型本构方程得积分之中。

最后，在不同在加载条件下进行了简单剪切变形计算。

关键词：高聚物材料 有限变形 简单剪切变形 本构模型 粘弹塑性中图分类号：Ｏ３４文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－０９８Ｘ（２００８）１２（ｃ）－００２１－０２
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２００８ ＮＯ．３６
Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｈｅｒａｌｄ
科　研　报　告
ｅｌａｓｔｏｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ　ｍｏｄｅｌｓ　ｂａｓｅｄ　ｕｐｏｎ　ｔｈｅ
ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ　ｓｔｒｅｓｓ　ｒａｔｅ　，１９９９　４７９－５２０
［２］　Ｂａｒｄｅｎｈａｇｅｎ　Ｓ　Ｇ，Ｓｔｏｕｔ，　Ｍ　Ｇ，Ｇｒａｙ，
Ｇ．　Ｔ．：　Ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，ｆｉｎｉｔｅ
ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｖｉｓｃｏｐｌａｓｔｉｃ　ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｐｏｌｙｍｅｒｉｃ　ｍａｔｅｒｉａｌｓ［Ｊ］．１９９７．
Ｍｅｃｈ．Ｍａｔｅｒ．２５，２３５－２５３
图１左图和右图分别为粘弹性部分正应力和剪应力与ｋ在不同应变率下变形关系
［３］　Ｓ　Ｇ　Ｂａｒｄｅｎｈａｇｅｎ：　Ｔｈｒｅｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，
ｆｉｎｉｔｅ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，　ｖｉｓｃｏｐｌａｓｔｉｃ　ｃｏｎｓｔｉ－ｔｕｔｉｖｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ｆｏｒ　ｐｏｌｙｍｅｒｉｃ　ｍａｔｅｒｉａｌｓ．１９９７．２３５－２５３
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ｒａｔｅｓ　ａｎｄ　ｓｔｒａｉｎ　ｍｅａｓｕｒｅｓ　ｉｎ　ｈｏｍｏｇｅ－ｎｅｏｕｓ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．Ｉｎｔ，Ｊ．Ｓｏｌｉｄｓ
Ｓｔｒｕｃｔ，１９８４，１０３７－１０４８
［５］　Ｍｅｔｚｇｅｒ　Ｄ　Ｒ，Ｄｕｂｅｙ，Ｒ　Ｎ，Ｃｏｒｏｔａｔｉｏｎａｌ
ｒａｔｅｓ　ｉｎ　ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｏｆ　ｅｌａｓ－ｔｉｃ－ｐｌａｓｔｉｃ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，１９８７，Ｉｎｔ．Ｊ．Ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ，３４１－３６８
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ｓｔａｔｅ　ｏｆ　ｆｉｎｉｔｅ　ｐｌａｓｔｉｃｉｔｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＡｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　，１９９０，　３１５－３９３
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京：清华大学出版社，１９９９．
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