zuheshuxue_005指数型母函数

p( n) e
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3. 与整数拆分有关的问题 (1) 无重复砝码称重问题: 若有1克、2克、3克、4克的砝码 克的砝码各 各 一枚, 问能称出哪几种重量？每种重量 有几种称法方案？ (1 x )(1 x 2 )(1 x 3 )(1 x 4 )
1 x x2 2x3 2x4 2x5 2 x 6 2 x 7 x 8 x 9 x 10 .
1. 整数的拆分 所谓整数拆分即把正整数n分解成若 干正整数n1,n2,…,nk的和 n=n1+n2+…+nk. 例如, 整数5可拆分成: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
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如果考虑次序, 就是有序拆分; 否则就 是无序拆分. 一般所说拆分都指无序的 拆分. 即在n的拆分中要求n1n2… nk 1 n的两个拆分n1n2… nk 1 , m1m2… ml 1只有满足k=l与而且 ni=mi的时候, 才认为两个拆分相同. n的不同无序拆分总数记为p(n)或pn. 可以利用字典序方法给所有拆分排序.
解释结果, 说明问题对应何种整数分拆.
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(4) 有限制的整数拆分问题: 整数n拆分成1,2,3,,m的和, 并允许 重复, 求其母函数G1(x). 如 果其中m至 少出现一次, 其母函数G2(x)如何？
G1 ( x ) (1 x x 2 ) (1 x 2 x 4 ) (1 x m x 2 m ) 1 . (1 x )(1 x 2 ) (1 x m )
x
1 x x2 x4 x 2k x e e 1 2! 4! (2k )! 2
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构造指数型母函数的目的是为了使得 母函数形式更简单, 尤其对排列类型的 递归数列更是如此. 看几个简单例子. 例5.1 设n为正整数, 则数列P(n,0), P(n,1), P(n,2),…, P(n,n)的指数型母函数 指数型母函数为 为:
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整数分拆性质(cont)
• 整数n拆分成互不相同的若干奇数的和的拆 分数, 与把n拆分成有 拆分成有自共轭 自共轭的 的Ferrers图象 的拆分数相等.
10=9+1
=
7+3
共轭图象和原 来图像相同
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II. 指数型母函数
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一般母函数是用基函数{1,x,x2,…}来定 义的. 这种母函数对于 这种母函数对于组合类型的数列 组合类型的数列的研 的研 究很有用. 但是, 对研究 对研究排列类型的数 排列类型的数 列用起来很不方便. 排列类型数列是用基函数{1, {1 x,x2/2!,…} /2! } 来定义, 这样使用起来更方便一些. 基本思想并没有变, 只是选择了新的 只是选择了新的基 基.
解释结果, 说明问题对应何种整数分拆.
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(3)可无限重复砝码称重问题: 求用1角, 2角, 3角的邮票可帖出的不 同数值的方案数.
G ( x ) (1 x x 2 ) (1 x 2 x 4 )(1 x 3 x 6 ) 1 x 2x2 3x3 4 x4 5x5 7 x6
指数型母函数不是我们学习的重点. 不加证明的介绍有关结论. 通过简单例子了解它的应用.
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(a) 设n=n1+n2+…+nk. 若元素a1有n1个, 元素a2有n2个,…,元素ak有nk个, 则由 这n个元素组成的不同的排列总数为
n! . n1 ! n2 ! nk !
(b)设n=n1+n2+…+nk. 若元素a1有n1个, 元素a2有n2个, …, 元素ak有nk个, 由这n 个元素中取r个排列数 排列数为 为pr, 则序列p0, p1,…,pn的指数型母函数 指数型母函数为 为:
例5.3 若有8个元素, 其中设a1重复3次， a2重复2次, a3重复3次. 从中取r个元素 的排列数pr, 则序列p0, p1, p2,…,p8的指 数型母函数为:
如何得出pr? 例如：p4=4! (35/12)=70.
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例5.5 确定用 确定用红 红、绿、蓝三色对1n棋盘的方 格进行染色的方案数an, 并且使得 并且使得绿色 绿色的方 的方 格数为偶数 格数为 偶数. 解 约定a0=1 =1. 1. 显然 an为三种颜色组成的n阶排 列, 每种颜色的重复数没有限制, 但是绿色在 排列中必须出现偶数次. 这样{an}的指数型 母函数为
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图 5 .1
Baidu Nhomakorabea
即上层的格子数不少于下层的格子数 目, 这样的格子图形称为Ferrers图象.
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(2) Ferrers图象具有如下性质： 每一层至少有一个格子. 如果对图象沿主对角线进行转置, 即把 第1行变为第1列互换, 第2行变为第2列 互换, , 则所得仍然是Ferrers图象. 这两个Ferrers图象称为是一对 图象称为是一对共轭的 共轭的 F Ferrers 图象. 图5.1共轭图象为 共轭图象为图 图5.2
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x x2 x n1 Ge ( x ) (1 ) n1 ! 1! 2! x x2 x n2 (1 ) n2 ! 1! 2! x x2 x nk (1 ). 1! 2! nk !
试 试给出这个指数型母函数的组合意义. 比如xk/k!项的组合含义是什么? 试给出pr的精确表达式.
x2 x4 x x2 fe ( x) 1 1 1! 2! 2 ! 4 ! 1 x 1 3x 1 n xn x x 2x (e e ) e (e e ) ( 3 1) . 2 2 2 n0 n!
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例1 由1，2，3，4，5五个数字组成的n位数，求 其中4，5出现偶数次，1，2，3出现次数不限的 数的个数an。 解 {an}的指数型母函数为 解： 2 3 x2 x4 x2 x3 Ge ( x ) 1 x 2! 3! 1 2! 4!
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基函数 基函数正好是出现在函数 正好是出现在函数ex的幂级数展 开式中的函数: xk x2 xk x e 1 x k ! 2 ! k ! k 0 设有数列a0,a1,a2,…，则称 则称下列函数 下列函数为 为 该数列的指数型母函数 该数列的 指数型母函数:
解释结果, 说明问题对应何种整数分拆.
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(2)可有限重复砝码称重问题: 若有1克的砝码3枚, 2克的4枚, 4克的2 枚.问能称出哪些重量 问能称出哪些重量？ ？各有几种方案 各有几种方案？ ？
G ( x ) (1 x x 2 x 3 ) (1 x 2 x 4 x 6 x 8 )(1 x 4 x 8 ) 1 x 2 x2 2x3 3x4 3x5 4x6 4x7 5 x 8 5 x 9 5 x 10 5 x 11 4 x 12 4 x 13 3 x 14 3 x 15 2 x 16 2 x 17 x 18 x 19 .
m 1 m 1
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n
n
2. 整数拆分的组合解释 相当于把n个无区别 个无区别的球放到 的球放到n个无标 志的盒子, 盒子允许空着, 也允许放一 个以上球 个 上球. 拆分数p(n)这是一个非常有用的组合 数, 但是它的精确表达式很难得到. 可以利用母函数, 求出给定n的拆分数. 也可以利用母函数估计p(n)的值或给 20 出上界: n
其普通型母函数如何?
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例5.2 数列1,1,1,…的指数型母函数为
fe ( x)
n 0
xn ex. n!
更一般的 更 般的, 设a为任意实数, 数列a0=1, a1, a2, a3,…的指数型母函数 指数型母函数为 为
xn (ax ) n fe ( x) a e ax . n! n0 n! n 0 n
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x x2 x3 x x2 x x2 x3 Ge ( x ) (1 )(1 )(1 ) 1! 2! 3! 1! 2! 1! 2! 3! 9 14 3 35 4 17 5 1 3x x2 x x x 2 3 12 12 35 6 8 7 1 8 x x x . 72 72 72
x x2 xk Ge ( x ) a0 a1 a2 ak 1! 2! k!
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常用公式
x x2 x3 xn e 1 n! 1! 2! 3! n x x2 x3 x n x e 1 ( 1) n! 1! 2! 3! x x3 x 2 k 1 1 x x e e 2 1! 3! ( 2k 1) )!
《组合数学》
第五讲
整数的拆分 指数型母函数
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第五讲: 第五讲 : 内容提要
I. 整数拆分与费勒斯(Ferrers Ferrers) )图像 II. 指数型母函数 III. III . 错排问题 IV. IV . Stirlling数* V. Catalan数* VI. VI . 差分表介绍
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I. 整数拆分与Ferrers图像
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图5.2
利用Ferrers图象可得到整数拆分的 十分有趣的结果.
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(3)整数分拆性质:
整数n拆分成最大数为k的拆分数与把数n 拆分成k个数的和的拆分数相等. 整数n拆分成最多不超过m个数的拆分数 与最大的数不超过m的拆分数相等. 正整数n拆分成不超过k个数的和的拆分数, 等于将n+k拆分成正好k个数的拆分数. 这些性质很容易用Ferrers图象方法证明.
解 释 结 . 果
重复次数不限制 但最大数有限制
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4. 整数拆分数列p(n)的母函数G(x):
G ( x ) (1 x x 2 ) (1 x 2 x 4 ) (1 x 3 x 6 ) 1 . (1 x )(1 x 2 )(1 x 3 )
x x2 xn f e ( x ) P( n,0) P( n,1) P( n, 2) P( n, n ) n! 1! 2! n! n! n! n 1 nx x2 x3 x n !0! 2!(n 2)! 3!(n 3)! (1 x ) n .
为何不容易得到p(n)的精确表达式? 当n给定之后情况如何? 利用分析方法可以得到上界.
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5. Ferrers图象与整数分拆性质 (1) 整数分拆的图象表示: 假定n拆分成 n=n1+n2+…+nk, n1n2…nk 1. 可建立一个正方形格子图 可建立一个正方形 格子图表示该拆分 表示该拆分: 格子按行左对齐 第1行n1个格子, 第2行n2个格子, ……, 第k行nk个格子. 如图5.1所示.
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G2 ( x ) (1 x x 2 ) (1 x x )
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( x m x 2 m )
xm (1 x )(1 x 2 ) (1 x m ) 1 G2 ( x ) (1 x )(1 x 2 ) (1 x m ) 1 . (1 x )(1 x 2 ) (1 x m 1 )
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用P(n,m)表示自然数n表示成m个正整数 之和的个数，则
P ( n ) P ( n, m )
m 1
n
用P’(n,m)表示自然数n表示成m个有序正整 数之和的个数,P’(n)为n的有序拆分总数，则 P’(n,m)=C( ) C(n-1, 1 m-1)
P ' ( n ) P ' ( n, m ) C ( n 1, m 1) 2 n 1