宽带匹配理论

宽带匹配理论
一宽带匹配的概念及其研究内容
带匹配问题是通讯雷达和其它电子系统中经常遇到的一个关于功率传输的基本问题，在网络综合，特别在微波宽带晶体管与场效应管放大器的设计中得到了广泛的应用，它所需要解决的问题是如何设计信号源与负载之间的连接网络使信号源传给负载的功率在给定的频带内保持相对稳定，且尽可能达到最大。

宽带匹配理论最早是由波特在1945年所创，他当时研究的是一类很有用的，但仅限于由电容和电阻并联组成的负载阻抗，波特应用环路积分的方法解决了RC并联负载的宽带匹配问题，证明它总是小于或至多等于由负载时间常数所决定的一个常数。

但他没有进一步研究对无耗匹配网络附加的限制条件。

1950年范罗对这个问题进行了一般性的研究，解决了任意无源负载与电阻性信号源之间的阻抗匹配问题，他不仅给出了在任意无源负载情况下的增益带宽极限而且还导出了负载对匹配网络可实现性的一组带有适当加权函数的积分约束条件。

范罗的方法在1961年被菲尔德推扩到信号源内阻是复数阻抗(只有 J∞轴传输零点)的情况。

与此同时，电路理论获得重大进步，其中之一便是将散射概念引入电路理论中，196年著名电路理论家尤拉通过引入有界实散射参量的概念发展了范罗的研究成果，创立了新的宽带匹配理论，尤拉的方法不仅将范罗方法中的积分约束方程简化为代数方程，并且能处理范罗方法所难以处理的有源负载问题。

这对当时解决隧道二极管放大器的设计问题起了重要作用。

随后范罗与尤拉的方法得到了发展和广泛的应用。

在七十年代又有不少的电路理论工作者对尤拉理论进行了扩充，其中包括美国伊利诺大学著名电路理论家陈惠开教授 (美籍华人)，他不仅对许多特定的负载导出了匹配网络元件的计算显式 (包括低通型和带通匹配网络)，而且还在1976年出版了第一本关于宽带匹配网络理论的专著《宽带匹配网络的理论与设计》，系统地阐述了这一理论和方法，并论述了对有源负载的应用。

在基于尤拉理论之上的宽带匹配的解析理论，对增益带宽约束有严谨和明晰的表达，对一般不是很复杂的负载能得出闭合形式的解。

但是，这种理论和方法在实际应用上也还存在一些不足之处：首先，它需要预先假定一个功率增益函数，但是对于某一特定的问题，如何保证所假设的增益函数是最优的这个问题尚未完全解决，因此根据所假定的增益函数设计出的系统，有可能难以取得最佳的功率传输特性。

其次，终端(源和负载)的特性需要用解析的形式给出。

但在工程应用中，特别是在微波波段的宽带匹配问题中不易办到。

因而往往仍需采用逼近方法根据测量数据来求得解析式。

此外，负载函数和增益函数都需要以一种较为复杂的方式加以处理，例如，负载函数在每个传输零点处作逻朗级数展开，反射系统的最小相位分解等，这种处理计算工作量大。

如采用计算机则需要较多的人工干预。

特别是当负载函数较为复杂以及双匹配问题中尤其如此。

最后，匹配网络的综合往往含有如理想变器，达林顿 C型节这类含互感元件，在实现时尚需作进一步逼近。

二宽带匹配的研究方法
针对上述问题，在六十年代中期开始发展了宽带匹配的数值方法。

与解析理论相比，这种方法更切合技术应用。

它不仅能直接用于宽带匹配网络的计算机辅助设计的目的，而且能解决解析方法中所遇到的困难问题，目前获得实际应用的主要方法有三种：
1直接优化法
这种CAD 方法在预设的网络拓扑下将增益直接表示成元件值的函数来进行优化，网络拓扑的假定需要由设计者根据其经验来确定,因而不免带有盲目性,同时可能使所求得的设计是局部最优的,这是直接优化法最主要的缺点。

2实频数据法
1977年美国康乃尔大学著名电路理论家卡林(H ·J ·Carlin)教授,针对直接优 化方法的缺陷而提出的。

在这种方法中,待设计的匹配网络先用它的策动点函数(阻抗或导纳,视具体终端特性而定)来表示,而整个系统的实频数据以简单的函数形式显示出来.对这个未知的策动点函数优化增益,便可得出相应于最优功率增益特性的设计.在综合匹配网络时,采用某种选定的结构不再构成一种对搜索最优设计的约束。

因此可以选择便于工程实现的网络拓扑.1983年卡林在单匹配的基础上,又提出了双匹配解析理论及实频数据法。

1982年我国学者吴泳诗在卡林的实频技术基础上，提出了一种简化实频技术，将卡林的三步设计简化为两步。

3预定增益倾斜补偿法
该方法就其实质来说只是上述两种方法的一种复合，主要用有源的宽带匹问题。

三给定论文分析
本人的给定论文是卡林的实频数据法的说明： 从摘要上看：本方法是载入一个简单的电阻发生器处理宽带匹配的方法，是一个针对于设计无算的二端口均衡器的简单的技术。

在以下的论文中主要讲了两个例子，这两个例子都是最重直接通过实验数据给出，其中一个是基于微波二极管放大器的宽带匹配问题；另一个是对于增益锥度和阻抗失配方面的微波场效应管放大器的宽带均衡器的例子。

原文分析：
核心部分介绍了实频法的具体方法和优点：
首先介绍了宽带匹配的基本知识：由如下图可以得到
所以可以总结出对实频法的具体步骤 由上图的原理图可以得到： 1传输功率增益
2
2
2
4()()4()()
()()()4()()()()q l q l q l q l q l R R R R T Z j Z j R R X X ωωωωω=
=
|ω+ω|
[ω+ω]+[ω+ω]
(1)
由上式可见()l X ω和()l R ω一旦确定了,()T ω只由()q X ω和()q R ω确定。

假定为
(q Z j ω
最小阻抗函数，则()q X ω与()q R ω满足希尔伯特变换。

1
()
()X R d λλπ
λ+∞
-∞
ω=-
-ω
⎰
(2)
1
()()
ln
d R X d d λλλπ
λ
λ+ωω-ω
⎰
(3)
2)用一组断点位于0,w1,w2...的折线段表示R(w)，这样 R(∞)可表示为：
q 01
()r ()n
k k
k R a r =ω=+
ω∑
(4)
由上述两式可以得到
q 1
()(())()n
q k k
k X H R b r =ω=ω=
ω∑
(5)
其中
1
11
()ln
()k
k k k k y b d y y π
-ωω-+ωω=
ω-ω-ω
⎰
(6)
所以在文章的例子中可以用matlab 进行仿真
第一个例子分析：
第一个例子是LCR 的负载的宽带问题，这个例子主要是做一些直截了当的一个说明性的简单的实频法的基本想法和思路，而不是一个复杂完美的优化过程。

所以直流增益水平和相关的r0的计算的低通的这个问题是被提出来。

把rk 按照线性的方法进行分组，最小增益应该被考虑到。

然后直流增益是增加，然后这个过程被重复利用知道最小增益是不在增加。

下列观测结果显示为什么这个简单的数值的方法是如此的好。

1在任何频率下的的增益相对的减弱归功于线性化的不断完善；2当总的输入
阻抗()T X ω是少于0.34()()
q l R R ω+
ω的时候，传输功率增是变小的，因为
l q
Z Z +将近似等于总的阻抗；3算法简单并且增益水平直接的依赖于未知的
rk
选择LCR 的例子是因为均衡器的参数已经被Fano 的论文所确定出来了。

主要的参数是：对于负载来说，输入L=2.3H C=1.2F R=1欧姆，理想的值是ω在0到1之间为0.924，并且他也得到了切比雪夫均衡器的传递函数。

Matlab 仿真结果如下 根据公式
2
4
6
2.2
()1 2.56 4.29a q R ω=
+ω-4.44ω+ω
(7)
2
2
4
6
8
0.4289.7()125.06153.7273.80231.54b q R +ω
ω=
+ω+ω-ω+ω
(8)
得到如下的函数图，其中得到电阻特性曲线如下，以下这两幅图是两种解决方案的当0(0)
l r R >和0
(0)
l r R <
的时候，其中0
0(0)[l r R k =±
021(0)
k T =
-
0.51 1.5
012
3负载均衡器的阻抗特性
w
r a q
0.5
1
1.5
00.511.5
2负载均衡器的阻抗特性
w
r b q
对应的最小通带增益的解决方法是raq 的那幅阻抗特性；raq 时候是当00.864
T =
Rbq 的时候是0
0.832
T =；对于0
(0)
l r R >时候的阻抗特性可以又LC 低通滤波得到。

如下图得到3要素的低通滤波
根据
2
2
2
4()()4()()
()()()4()()()()q l q l q l q l q l R R R R T Z j Z j R R X X ωωωωω=
=
|ω+ω|
[ω+ω]+[ω+ω]
可以得到上述电路的传输功率增益：如下图
下一个例子是基于雪崩二极管的微波放大器是被连接到一个三端口网络通过一个无损的均衡器传输增益如下
222
2
(()())(()())()(()())(()())
q l q l q l q l G G B B T G G B B ω-ω+ω+ωω=
ω+ω+ω+ω(9)
其中T>1，Gl<0
二极管的测量数据如下图
这个电导特性是显示在下图，在一个频率变化在15%的范围内，通过
24681
()(18.8338.5743.5315.11)G ∧
-ω=-ω+ω-ω+ω(10)
得到如下的电导特性曲线
0.20.40.6
0.81 1.2 1.4
00.511.5
2
2.5
w
G q
由此产生的曲线和均衡器如下图
第二个例子：
获得微波环境下的FET 放大器的宽带均衡器
为了说明多样化的技术和提供进一步的细节来描述数值实现的方法，这最后一个例子被列举出来。

一个FET 的散射参数的采样在下表中给出
总体设计如下图
T 代表一个无损的均衡器，为了补偿放大器的输入匹配和增益的变化。

为了达到简单明了的目的，后端均衡器是被忽略掉。

为了完成这个设计，均衡器能在端口2像我们设计前置均衡器一样的被设计。

也就是说，在假设端口2的均衡器设计完成的情况下，我们设计前端的均衡器。

如上图，在均衡器的端口2 也就是FET 的端口1的电导是
q q q l l l
Y G j B Y G j B =+=+
l Y 的值是从反射系数11S 获得，并且q
Y 是从在5到7.5GHZ 的带宽范围内的做大
平整增益获得。

又有246810
12
1
()
(1.7243.762.340.312.8 1.64)
G ∧
-ω=ω+ω-ω+ω-ω
+ω
(11)
得到图形如下
表明FET 无损均衡器的电导特性
00.20.40.60.81 1.2 1.4 1.6
下图是放大器增益特性
可以得到系统的增益
1
2
2
2
2
121
2
2
2
2
2
212
(1)(1)
()()(1)(1)()
S T G S S ρρρ--ω=
=ω---(12)
注意：当12
S =时候2
22
S S =，在上个式子中1ρ是一个归一化因子，因此
2
1
2
2
41()+(B +B )
l q
l q l q G G G G ρ-=
+(13)
2
ρ是一个简单的数值量，当后端的均衡器被忽略的时候，有
2
2
22
S ρ=,这样对
于我们要提出的问题就有了
2
2
2
1()(1)()T W ρω=-ω (14)
其中
2
2
2
21
11()/(1)W S S ω=-是被考虑成一个频率加权函数，独立于均衡器。

这个
函数显示在上图。

为了设计前置放大器，我们注意到2
22
1()(1)()
T W ρω=-ω中的因子是跳变
的，因此我们假定增益在2
()
W
ω的最小值。

这个值是在7.5GHZ 的时候
0 3.43T T ==。

设计均衡器作为一种低通结构，来自单个的电阻发生器。

频率节点被提供在ω=0.3,0.6,1.0,1.2,1.4，1.6 等于1对应的是50GHZ 。

初始化的值是在通带的带宽为0()=G ()q q G ωω假设B +B l q 为0，主要目的是在断点的每个点出都能保持0
()
T T ω=。

0G ()q ω的值在带宽范围之外的时候（ω=0.3,0.6）是
被初始化为1。

.伴随着这个初始的猜测，最小二乘法的过程是为了找到正确率高的方法。

1
2
3
(...)
T
n
δδδδ
=∆
，，，0r
r =+∆
,在这里r 是(4)中的一个矢量。

r0是
这个矢量的初始化值。

最小二乘法的误差函数是
22
()j
j
e T T ω
=[ω
-]
∑(15)
再假设r0足够小的时候随着未知的n δ的增加获得一个线性的均衡器是简单的，因为这个系统的雅可比函数是能够容易的计算出来的，最后我们通过最小二
乘得到了这个线性的特征在上图中。

对直线合理的逼近()q G ω能被一些简便的方法获得。

现在的问题是一个合理的逼近是基于一个初始化的假设方法和带宽需要在5到7.5GHZ 之间的最小二乘法的前提下。

B q 是不用因式分解，所以容易计算。

最后的补偿增益是在上图中显示出来，增益在5.44+0.09dB 之间。

最重要的是如果后置的均衡器被考虑需要 加大概3dB 的增益。

结论
这种宽带匹配理论的研究方法是简单的概念并且已经应用在实际中了。

这种方法在处理复杂负载的方向上也许是更合适的。

该技术在处理系统的实频测量数据方向上实现了均衡。

用在这个方法中的精确的测量方法是非常实用与特定的问题，这种为均衡器的电抗或者电导特性方向的直线逼近方法是一个理想的解决方法，
相反的，允许快速的算法的最终实现。

在许多情况下一个相互的程序利用APL 甚至是一个手持计算器就已经足够了。